初中数学中考复习课件章节考点专题突破：考点突破专题1规律探索型问题 20页

专题跟踪突破一　规律探索型问题 一、选择题 ( 每小题 6 分 ， 共 30 分 ) 1 ． ( 2013 · 泰安 ) 观察下列等式： 3 1 ＝ 3 ， 3 2 ＝ 9 ， 3 3 ＝ 27 ， 3 4 ＝ 81 ， 3 5 ＝ 243 ， 3 6 ＝ 729 ， 3 7 ＝ 2187 ， … 解答下列问题： 3 ＋ 3 2 ＋ 3 3 ＋ 3 4 ＋ … ＋ 3 2013 的末位数字是 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 3 D ． 7 C 2 ． ( 2014· 武汉 ) 观察下列一 组图形中点的个数 ， 其中第 1 个图中共有 4 个点 ， 第 2 个图中共有 10 个点 ， 第 3 个图 中共有 19 个点 ， … 按此规律第 5 个图中点的个数是 ( ) A ． 31 B ． 46 C ． 51 D ． 66 B 3 ． ( 2014 · 十堰 ) 根据如图中箭头的指向规律 ， 从 2013 到 2014 再到 2015 ， 箭头的方向是以下图示中的 ( ) . 　 A . B . C . D . D 4 ． ( 2014· 重庆 ) 下列图形都是按照一定规律组成 ， 第一个 图形中共有 2 个三角形 ， 第二个图形中共有 8 个三角形 ， 第三个图形中共有 14 个三角形 ， … ， 依此规律 ， 第五个 图形中三角形的个数是 ( ) A ． 22 B ． 24 C ． 26 D ． 28 C 5 ． ( 2014· 内江 ) 如图 ， 已知 A 1 ， A 2 ， A 3 ， … ， A n ， A n ＋ 1 是 x 轴上的 点 ， 且 OA 1 ＝ A 1 A 2 ＝ A 2 A 3 ＝ … ＝ A n A n ＋ 1 ＝ 1 ， 分别过点 A 1 ， A 2 ， A 3 ， … ， A n ， A n ＋ 1 作 x 轴的垂线交直线 y ＝ 2x 于点 B 1 ， B 2 ， B 3 ， … ， B n ， B n ＋ 1 ， 连接 A 1 B 2 ， B 1 A 2 ， B 2 A 3 ， … ， A n B n ＋ 1 ， B n A n ＋ 1 ， 依次相交于 点 P 1 ， P 2 ， P 3 ， … ， P n . △ A 1 B 1 P 1 ， △ A 2 B 2 P 2 ， △ A n B n P n 的面积依次 记为 S 1 ， S 2 ， S 3 ， … ， S n ， 则 S n 为 ( ) A . n ＋ 1 2n ＋ 1 B . n 3n － 1 C . n 2 2n － 1 D . n 2 2n ＋ 1 D 二、填空题 ( 每小题 6 分 ， 共 30 分 ) 6 ． ( 2014· 毕节 ) 观察下列一组数： 1 4 ， 3 9 ， 5 16 ， 7 25 ， 9 36 ， … ， 它们是按一定规律排列的 ， 那么这一组数的第 n 个数是 ． 7 ． ( 2014 · 娄底 ) 如图是一组有规律的图案 ， 第一个图案由 4 个 ▲ 组成 ， 第二个图案由 7 个 ▲ 组成 ， 第三个图案由 10 个 ▲ 组成 ， 第四个图案由 13 个 ▲ 组成 ， … ， 则第 n(n 为正整数 ) 个图案由 ____ 个 ▲ 组成． 3n ＋ 1 8 ． ( 2014 · 梅州 ) 如图 ， 弹性小球从点 P(0 ， 3) 出发 ， 沿所示方向运动 ， 每当小球碰到矩形 OABC 的边时反弹 ， 反弹时反射角等于入射角 ， 当小球第 1 次碰到矩形的边时的点为 P 1 ， 第 2 次碰到矩形的边时的点为 P 2 ， … ， 第 n 次碰到矩形的边时的点为 P n ， 则点 P 3 的坐标是 ；点 P 2014 的坐标是 ． (8 ， 3) (5 ， 0) 9 ． ( 2014· 菏泽 ) 下面是一个按照某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律 ， 第 n(n 是整数 ， 且 n ≥ 3) 行从左到右数 第 n － 2 个数是 ． ( 用含 n 的代数式表示 ) 10 ． ( 2013 · 潍坊 ) 当白色小正方形个数依次等于 1 ， 4 ， 9 … 时 ， 由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示．则第 n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 ． ( 用 n 表示 ， n 是正整数 ) n 2 ＋ 4n 三、解答题 ( 共 40 分 ) 11 ． (12 分 ) ( 2014 · 宜宾 ) 在平面直角坐标系中 ， 若点 P(x ， y) 的坐标 x ， y 均为整数 ， 则称点 P 为格点 ， 若一个多边形的面积记为 S ， 其内部的格点数记为 N ， 边界上的格点数记为 L ， 例如图中 △ ABC 是格点三角形 ， 对应的 S ＝ 1 ， N ＝ 0 ， L ＝ 4. (1) 求出图中格点四边形 DEFG 对应的 S ， N ， L ； (2) 已知格点多边形的面积可表示为 S ＝ N ＋ aL ＋ b ， 其中 a ， b 为常数 ， 若某格点多边形对应的 N ＝ 82 ， L ＝ 38 ， 求 S 的值． 解： (1) 观察图形 ， 可得 S ＝ 3 ， N ＝ 1 ， L ＝ 6 (2) 根据格点三角形 ABC 及格点四边形 DEFG 中的 S ， N ， L 的值可得 ， î ï í ï ì 4a ＋ b ＝ 1 ， 1 ＋ 6a ＋ b ＝ 3 ， 解得 î ï í ï ì a ＝ 1 2 ， b ＝－ 1 ， ∴ S ＝ N ＋ 1 2 L － 1 ， 将 N ＝ 82 ， L ＝ 38 代入可得 S ＝ 82 ＋ 1 2 × 38 － 1 ＝ 100 12 ． ( 12 分 ) ( 2012· 宁波 ) 用同样大小的黑色棋子按如图所示 的规律摆放： ( 1 ) 第 5 个图形有多少颗黑色棋子？ ( 2 ) 第几个图形有 2013 颗黑色棋子？请说明理由 ． 解： (1) 寻找规律：第一个图需棋子 6 ＝ 3 × 2 ， 第二个图需棋子 9 ＝ 3 × 3 ， 第三个图需棋子 12 ＝ 3 × 4 ， 第四个图需棋子 15 ＝ 3 × 5 ， ∴ 第五个图需棋子 3 × 6 ＝ 18. 答：第 5 个图形有 18 颗黑色棋子　 (2) 由 (1) 可得 ， 第 n 个图需棋子 3(n ＋ 1) 颗 ， 设第 n 个图形有 2013 颗黑色棋子 ， 则 3(n ＋ 1) ＝ 2013 ， 解得 n ＝ 670. 答：第 670 个图形有 2013 颗黑色棋子 13 ． (16 分 ) ( 2014 · 凉山州 ) 实验与探究：三角点阵前 n 行的点数计算． 如图是一个三角点阵 ， 从上向下数有无数多行 ， 其中第一行有 1 个点 ， 第二行有 2 个点 … 第 n 行有 n 个点 … 容易发现 ， 10 是三角点阵中前 4 行的点数的和 ， 你能发现 300 是前多少行的点数的和吗？ 如果要用试验的方法 ， 由上而下地逐行的相加其点数 ， 虽然你能发现 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ … ＋ 23 ＋ 24 ＝ 300. 得知 300 是前 24 行的点数的和 ， 但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前 n 行的点数的和与 n 的数量关系是 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ (n － 2) ＋ (n － 1) ＋ n ， 可以发现． 2 × [1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ … ＋ (n － 2) ＋ (n － 1) ＋ n] ＝ [1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ (n － 2) ＋ (n － 1) ＋ n] ＋ [n ＋ (n － 1) ＋ (n － 2) ＋ (n － 3) ＋ … ＋ 3 ＋ 2 ＋ 1] ． 把两个中括号中的第一项相加 ， 第二项相加 … 第 n 项相加 ， 上式等 号的后边变形为这 n 个小括号都等于 n ＋ 1 ， 整个式子等于 n ( n ＋ 1 ) ， 于是得到 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ ( n － 2 ) ＋ ( n － 1 ) ＋ n ＝ 1 2 n ( n ＋ 1 ) ， 这就是说 ， 三角点阵中前 n 项的点数的和是 1 2 n ( n ＋ 1 ) ． 下列用一元二 次方程解决上述问题： 设三角点阵中前 n 行的点数的和为 300 ， 则有 1 2 n ( n ＋ 1 ) 整理这个方程 ， 得 n 2 ＋ n － 600 ＝ 0 ， 解方程得 n 1 ＝ 24 ， n 2 ＝－ 25. 根据问题中未知数的意义确定 n ＝ 24 ， 即三角点阵中前 24 行的点数的和是 300. 请你根据上述材料回答下列问题： (1) 三角点阵中前 n 行的点数的和能是 600 吗？如果能 ， 求出 n ；如果不能 ， 试用一元二次方程说明道理． (2) 如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成 2 ， 4 ， 6 ， … ， 2n ， … ， 你能探究出前 n 行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前 n 行的点数的和能是 600 吗？如果能 ， 求出 n ；如果不能 ， 试用一元二次方程说明道理．