专题11 综合训练3（第02期）-2017年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列 10页

‎2017届高考数学（文）大题狂练 专题11 综合训练3‎ ‎1.（本小题满分12分）‎ 在中，点在边上，平分.‎ ‎（1）利用正弦定理证明: ；‎ ‎（2）求的长.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎（2）由（1）知，，设，则，由及余弦定理知，，解得，所以.‎ 考点：正弦定理余弦定理及三角形的内角平分线等有关知识的综合运用．‎ ‎2. （本小题满分12分）‎ 设数列的前项之积为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项之和为．若对任意的，总有，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)由,再由可得数列的通项公式；(2)先求出,再根据对任意的,可得的取值范围.‎ 试题解析：解：（1）由，得，‎ 所以，‎ 所以．‎ 又，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 考点：1.等比数列的通项公式和性质；2.等比数列求和.‎ ‎3.（本小题满分12分）‎ ‎《中国好声音（ ）》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励 志专业音乐评论节目，于2012年7月13日在浙江卫视播出.每期节目有四位导师参加.导师背对歌手，‎ 当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导 训练.已知某期《中国好声音》中，6位选手唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：‎ 导师转身人数（人）‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 获得相应导师转身的选手人数（人）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ 现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况.‎ ‎（1）请列出所有的基本事件；‎ ‎（2）求两人中恰好其中一位为其转身的导师不少于3人，而另一人为其转身的导师不多于2人的概率.‎ ‎【答案】（1）所有的基本事件见解析；（2）.‎ ‎（2）事件“两人中恰好其中一位为其转身的导师人数不少于3人，而另一人为其转身的导师不多于2人”所包含的基本事件有：共9个， ……………………………9分 故所求概率为. …………………………………………………………………………………12分 考点：概率统计.‎ ‎4.（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱锥中，，，为上一点，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若分别为中点，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）首先利用长度关系得到，进而得到，再利用勾股定理得，又 得到平面，进而有，即可证得；（2）将分割成，分别计算和即可.‎ 试题解析：（1）由为中点，，知为中点.‎ ‎∵，∴‎ ‎∵，∴在中，，∴，∴‎ 又∵，∴，∴，∴‎ 又∵，∴平面，∵平面，∴，‎ 又∵，∴平面 考点：空间中线线，线面的位置关系；棱锥的体积.‎ ‎5．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知椭圆的离心率，且椭圆经过点.直线与椭圆交于不同的两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若的面积为1（为坐标原点），求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)根据题意可以得到的方程组，解方程可以求出的值，进而得到椭圆的方程；（2）将直线与椭圆联立得到，设出，利用韦达定理表示弦长，利用点到直线距离表示，利用面积公式即可得到方程，解得.‎ ‎（2）设，将直线与联立，可得，由，得，‎ ‎∴‎ 原点到直线的距离，∴，‎ 化简得，，∴，∴，∴直线的方称为.‎ 考点：椭圆的方程；直线与椭圆的位置关系.‎ ‎6．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）当时，的单调递减区间为，无单调递增区间，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（ 1）求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（2）由已知，转化为，，由（1）知，分和，，即可求解函数的极值与最值，从而得到实数的取值范围．‎ ‎（2）由已知，转化为，，由（1）知，‎ 当时，在上单调递减，值域为，故不符合题意；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ‎（或者举出反例：存在，故不符合题意）‎ 当时，，符合题意；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 当时，在上单调递增，在上单调递减，‎ 故的极大值即为最大值，‎ ‎，所以，‎ 解得；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 综上，的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：函数的综合问题．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、函数的恒成问题的转化与求解参数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想、分类讨论思想的应用，此类问题解答中合理应用函数的导数，研究函数的性质是解答的关键，试题有一定的难度，属于难题．‎ ‎7. (本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.‎ （1） 求曲线的参数方程；‎ （2） 在直角坐标系中，点是曲线上一动点，求的最大值，并求此时点的直角坐标.‎ ‎【答案】（1）（为参数）；（2）．‎ 试题解析：（1）由，得，‎ 即，即.‎ 即曲线是以点为圆心(2，2)，以为半径的圆，令为圆上任意一点，‎ 则圆的参数方程为（为参数）. (2)因为（为参数），所以.‎ 于是当时，，此时 ‎8. (本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲　‎ 设函数.‎ (1) 求证：；‎ (2) 若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由，利用绝对值不是，即可证明；（2）由，得，分类讨论，即可求解实数的取值范围.‎ 试题解析：(1)由，得，‎ 即.‎ 考点：绝对值不等式的应用.‎