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- 2021-04-19 发布
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拉萨中学高三年级（2019届）第七次月考理科数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟，请将答案填写在答题卡上）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设是虚数单位,若复数,则的共轭复数为( )
A. B. C. D.
2.已知集合,,则 ( )
A. B. C. D.
3.已知，，则=（ ）
A. B. C. D.
4.向图中边长为2的正方形中，随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知非零向量满足,且,则向量的夹角为( )
A. B. C. D.
6.已知，“方程有解”是“函数在区间为减函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.“剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2018这2018个数中,能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列,则此数列共有( )
A. 98项 B. 97项 C. 96项 D. 95项
8.函数的图象关于( )对称．
A．x轴 B．y轴 C．原点 D．y＝x
9.已知一个简单几何的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
10.已知函数图象的一条对称轴为，其中ω为常数，且ω(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为( )
A. B. C. D.
11.已知直线的倾斜角为,直线与双曲线的左、右两支分别交于两点,且都垂直于轴(其中分别为双曲线的左、右焦点),则该双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
12.已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点关于原点对称,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，把答案填在答题卡中横线上）
13.已知二项式，则该展开式中常数项为__________（用数字作答）
14.设△的内角所对的边分别为,若,则角________.
15.在三棱锥中, 平面,,则该三棱锥的外接球的表面积为________.
16.已知函数,若存在个零点,则的取值范围是__________
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．
18． （本小题满分12分）在四棱锥中，底面为直角梯形， ，，，，是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
19．（本小题满分12分）新能源汽车的春天来了!2018年3月5日上午,李克强总理做政府工作报告时表示,将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年,自2018年1月1日至2020年12月31日,对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车,他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表:
月份
2017.12
2018.01
2018.02
2018.3
2018.4
月份编号
1
2
3
4
5
销量(万辆)
0.5
0.6
1
1.4
1.7
（1）经分析,可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量 (万辆)与月份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程,并预测2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量;
（2）2018年6月12日,中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程(新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程)对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大,某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查,得到如下一份频数表:
补贴金额预期值区间
(万元)
频数
20
60
60
30
20
10
①求这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值的样本方差及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替;估计值精确到0.1);
②将频率视为概率,现用随机抽样方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中随机抽取3人,记被抽取3人中对补贴金额的心理预期值不低于3万元的人数为,求的分布列及数学期望.
参考公式及数据:①回归方程,其中,;②.
20．（本小题满分12分）已知椭圆过点（2，0）,且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程;
（2）若动点在直线上,过作直线交椭圆于两点,且为线段中点,再过作直线.求直线是否恒过定点,如果是则求出该定点的坐标,不是请说明理由。
21．（本小题满分12分）已知函数.
（1）当时,求曲线在点处的切线方程；
（2）令,讨论的单调性；
（3）当时, 恒成立,求实数的取值范围.( 为自然对数的底数, …).
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为 (为参数),以坐标原点为极点, 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
1.求直线的普通方程以及曲线的参数方程;
2.当时, 为曲线上动点,求点到直线距离的最大值.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若,求不等式的解集;
（2）若的解集包含,求实数的取值范围.
拉萨中学2019届高三第七次月考理科数学参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
B
A
C
B
C
C
D
B
D
D
一、 填空题：
13. ； 14. ； 15. ； 16.
二、 解答题：
17.解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
由于n＝1时，a1＝1适合上式，
故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，
则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则
A＝2＋22＋23＋…＋22n＝＝22n＋1－2.
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n，
故数列{bn}的前2n项和Tn＝22n＋1＋n－2.
18. （1）在直角梯形中，，，又为中点，在中，；在中，，所以，且 ，
所以平面，
所以平面平面；
（2）以为原点,为轴,建立空间直角坐标系,
,
有
令平面的法向量为,
由,可得一个,
由1可知平面的一个法向量为,
所以经计算二面角的余弦值为.
19.解析：（1）易知
,
,
则关于的线性回归方程为,
当时, ,即2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量约为2万辆.
（2）(i)根据题意,这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心里预期值的平均值,样本方差及中位数的估计值分别为:
,
中位数的估计值为.
(ii)根据给定的频数表可知,任意抽取1名拟购买新能源汽车的消费者,对补贴金额的心理预期值不低于3万元的概率为,
由题意可知,所以
20.(1)因为点在椭圆上,所以，因为，所以，
,所以椭圆的方程为.
(2)设,,
①当直线的斜率存在时,设直线的方程为
,,,
由得,
所以, 因为为中点,所以,即，所以,
因为直线,所以,所以直线的方程为，
即 ,显然直线恒过定点.
②当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时直线为轴,也过点.
综上所述直线恒过定点.
21.解析：（1）,,,
所以曲线在点处的切线方程为
（2）,定义域为,,
①当时,当时, ,在单调递增;当时, ,在单调递减;
②当时,当或时, ,在,上单调递增;
当时, ,在单调递减;
③当时, 在单调递增;
④当时,当或时, ,在,上单调递增;
当时, ,在单调递减.
综上,当时, 在单调递增,在单调递减;
当时, 在,上单调递增,在单调递减;
当时, 在单调递增;
当时, 在,上单调递增,在单调递减.
（3）当时, ,即恒成立,
设,,
显然在上单调递增,且,所以当时, ;
当时, .即在上单调递减,在上单调递增.
,
所以,所以的取值范围为.
22.解析：（1）直线的普通方程为,
曲线的极坐标方程可化为,化简可得.
（2）当时,直线的普通方程为.
有点的直角坐标方程,可设点的坐标为
因此点到直线的距离可表示为
当时, 取最大值为.
23.解析：（1）当 时, ,即或
或解得或,
所以不等式的解集为.
（2）原命题等价于在上恒成立,
即在上恒成立,
即在上恒成立,
即,所以实数的取值范围为.
