【数学】2020届一轮复习（理）通用版4-4解三角形作业 19页

‎4.4　解三角形 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.正弦定理 和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题 ‎2018课标Ⅱ,6,5分 余弦定理 二倍角公式 ‎★★★‎ ‎2017课标Ⅱ,17,12分 余弦定理及 面积公式 二倍角公式和同角 三角函数的平方关系 ‎2.解三角形 及其综合 应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 ‎2017课标Ⅰ,17,12分 正弦定理、余弦定理 和三角形面积公式 两角和的余弦公式 ‎★★★‎ ‎2018课标Ⅲ,9,5分 余弦定理和三角 形面积公式 特殊角的函数值 ‎2016课标Ⅰ,17,12分 正弦、余弦定理和 三角形面积公式 两角和的正弦公式 分析解读　　1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题时,需要综合应用这两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　正弦定理和余弦定理 ‎1.(2018广东百校联盟联考,6)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=3sin B,c=‎5‎,且cos C=‎5‎‎6‎,则a=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.2‎2‎ B.3 C.3‎2‎ D.4‎ 答案　B　‎ ‎2.(2017安徽合肥一模,6)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=‎2‎‎2‎‎3‎,bcos A+acos B=2,则△ABC的外接圆面积为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.4π B.8π ‎ C.9π D.36π 答案　C　‎ ‎3.(2018广东茂名二模,14)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,a=4,b=5,c=6,则sin(A+B)‎sin2A=　　　　. ‎ 答案　1‎ 考点二　解三角形及其综合应用 ‎1.(2018福建德化一中、永安一中、漳平一中三校联考,8)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+b+csinA+sinB+sinC=‎2‎‎3‎‎3‎,A=π‎3‎,b=1,则△ABC的面积为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎3‎‎4‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎1‎‎4‎ 答案　B　‎ ‎2.如图,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10 m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于(　　)‎ A.10 m B.5‎3‎ m ‎ C.5(‎3‎-1)m D.5(‎3‎+1)m 答案　D　‎ ‎3.(2017河南天一大联考(一),14)在△ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于D,若C=π‎3‎,BC=8,BD=7,则△ABC的面积为　　　　　　　. ‎ 答案　20‎3‎或24‎‎3‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　利用正弦、余弦定理解三角形 ‎1.(2017广东珠海调研,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsin B-asin A=‎1‎‎2‎asin C,则sin B=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎7‎‎4‎ B.‎3‎‎4‎ C.‎7‎‎3‎ D.‎‎1‎‎3‎ 答案　A　‎ ‎2.(2018湖南永州二模,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=2sin B,且a+b=‎3‎c,则角C的大小为　　　　. ‎ 答案　‎π‎3‎ ‎3.(2017江西抚州7校联考,15)在△ABC中,D为线段BC上一点(不能与端点重合),∠ACB=π‎3‎,AB=‎7‎,AC=3,BD=1,则AD=　　　　. ‎ 答案　‎‎7‎ 方法2　利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 ‎1.(2018江西南城一中期中,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tanA-tanBtanA+tanB=c-bc,则这个三角形必含有(　　)‎ A.90°的内角 B.60°的内角 C.45°的内角 D.30°的内角 答案　B　‎ ‎2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若sin B+sin C=‎3‎,试判断△ABC的形状.‎ 解析　(1)由2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C,‎ 得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,‎ 所以cos A=b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc=‎1‎‎2‎,‎ 因为0°0是求解第(2)问的关键.‎ 失分警示　(1)由于忽略ab,a=5,c=6,sin B=‎3‎‎5‎.‎ ‎(1)求b和sin A的值;‎ ‎(2)求sin‎2A+‎π‎4‎的值.‎ 解析　本小题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.‎ ‎(1)在△ABC中,因为a>b,故由sin B=‎3‎‎5‎,可得cos B=‎4‎‎5‎.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=‎13‎.‎ 由正弦定理asinA=bsinB,得sin A=asinBb=‎3‎‎13‎‎13‎.‎ 所以,b的值为‎13‎,sin A的值为‎3‎‎13‎‎13‎.‎ ‎(2)由(1)及a0,所以c=3.‎ 故△ABC的面积为‎1‎‎2‎bcsin A=‎3‎‎3‎‎2‎.‎ 解法二:由正弦定理,得‎7‎sinπ‎3‎=‎2‎sinB,‎ 从而sin B=‎21‎‎7‎,‎ 又由a>b,知A>B,所以cos B=‎2‎‎7‎‎7‎.‎ 故sin C=sin(A+B)=sinB+‎π‎3‎ ‎=sin Bcosπ‎3‎+cos Bsinπ‎3‎=‎3‎‎21‎‎14‎.‎ 所以△ABC的面积为‎1‎‎2‎absin C=‎3‎‎3‎‎2‎.‎ ‎11.(2015湖南,17,12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.‎ ‎(1)证明:B-A=π‎2‎;‎ ‎(2)求sin A+sin C的取值范围.‎ 解析　(1)证明:由a=btan A及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sin B=cos A,即sin B=sinπ‎2‎‎+A.‎ 又B为钝角,因此π‎2‎+A∈π‎2‎‎,π,故B=π‎2‎+A,即B-A=π‎2‎.‎ ‎(2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-‎2A+‎π‎2‎=π‎2‎-2A>0,‎ 所以A∈‎0,‎π‎4‎.‎ 于是sin A+sin C=sin A+sinπ‎2‎‎-2A ‎=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1‎ ‎=-2sinA-‎‎1‎‎4‎‎2‎+‎9‎‎8‎.‎ 因为0c,则bc=(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.2 C.3 D.‎‎5‎‎2‎ 答案　B　‎ ‎3.(2018江西赣州2月联考,7)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2acos A=bcos C+ccos B,且b+c=4,则a的最小值为(　　)‎ A.2 B.2‎2‎ C.3 D.2‎‎3‎ 答案　A　‎ ‎4.(2018河北衡水中学4月模拟,11)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+‎3‎asin B=b+c,b=1,点D是△ABC的重心,且AD=‎7‎‎3‎,则△ABC的外接圆的半径为(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案　A　‎ ‎5.(2018河南郑州一模,11)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccos B=2a+b,若△ABC的面积S=‎3‎c,则ab的最小值为(　　)‎ A.28 B.36 C.48 D.56‎ 答案　C　‎ ‎6.(2018山东济宁二模,12)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos B-bcos A=‎2‎‎3‎c,则tan(A-B)的最大值为(　　)‎ A.‎2‎‎5‎‎5‎ B.‎5‎‎5‎ C.‎3‎‎3‎ D.‎‎3‎ 答案　A　‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎7.(2019届安徽黄山11月八校联考,15)在△ABC中,∠B=60°,b=‎3‎,则当c+2a取最大值时,sin C=　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎7‎‎7‎ ‎8.(2018河北衡水中学、河南顶级名校3月联考,15)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,cos A=‎5‎‎5‎,cos B=‎10‎‎10‎,c=‎2‎,则a=　　　　. ‎ 答案　‎‎4‎‎5‎‎5‎ 三、解答题(共45分)‎ ‎9.(2019届广东佛山顺德第二次质检,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2bsin Ccos A+asin A=2csin B.‎ ‎(1)证明:△ABC为等腰三角形;‎ ‎(2)若D为BC边上的点,BD=2DC,且∠ADB=2∠ACD,a=3,求b的值.‎ 解析　(1)证明:由正弦定理得2bccos A+a2=2cb,‎ 由余弦定理得2bc·b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc+a2=2bc,化简得b2+c2=2bc,所以(b-c)2=0,即b=c,故△ABC为等腰三角形.‎ ‎(2)如图,由已知得BD=2,DC=1,‎ ‎∵∠ADB=2∠ACD=∠ACD+∠DAC,‎ ‎∴∠ACD=∠DAC,∴AD=CD=1.又∵cos∠ADB=-cos∠ADC,‎ ‎∴AD‎2‎+BD‎2‎-AB‎2‎‎2AD·BD=-AD‎2‎+CD‎2‎-AC‎2‎‎2AD·CD,即‎1‎‎2‎‎+‎2‎‎2‎-‎c‎2‎‎2×2×1‎=-‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎-‎b‎2‎‎2×1×1‎,‎ 得2b2+c2=9,由(1)知b=c,∴b=‎3‎.‎ ‎10.(2019届湖北、山东重点中学一联,17)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,已知acos A=R,其中R为△ABC外接圆的半径,S为△ABC的面积,a2+c2-b2=‎4‎‎3‎‎3‎S.‎ ‎(1)求sin C;‎ ‎(2)若a-b=‎2‎-‎3‎,求△ABC的周长.‎ 解析　(1)由正弦定理得a=2Rsin A,由已知得2Rsin Acos A=R,∴sin 2A=1.又∵0<2A<2π,∴2A=π‎2‎,则A=π‎4‎.‎ S=‎1‎‎2‎acsin B,∴a2+c2-b2=‎4‎‎3‎‎3‎·‎1‎‎2‎·acsin B,‎ 由余弦定理得2accos B=‎2‎‎3‎‎3‎acsin B,∴tan B=‎3‎.‎ 又0