高中数学人教a版选修4-1配套课件：2_2 圆内接四边形的性质与判定定理 26页

第 2 课时　圆内接四边形的性质与判定定理 【 课标要求 】 1 ． 理 解圆内接四边形的两条性质定理，能应用定理解决相关的几何问题． 2 ． 理 解圆内接四边形判定定理及推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题． 【 核心扫描 】 1 ． 用 圆内接四边形的判定定理判断四点共圆． ( 重点 ) 2 ． 用 圆内接四边形的性质定理解决相关问题． ( 难点 ) 自学导引 1 ． 圆内接多边形 (1) 如果 多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆． (2) 同样，如果四边形的四个顶点都在同一个圆上，则称该四边形为圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆． 2 ． 圆内接四边形的两个性质定理 (1) 定理 1 ：圆的内接四边形的 ． (2) 定理 2 ：圆内接四边形的外角等于 ． 对角互补 它的内角的对角 3 ．圆内接四边形的判定定理 (1) 圆内接四边形的判定定理 如果一个四边形的 ，那么这个四边形的四个顶点共圆． (2) 圆内接四边形的判定定理的推论 如果四边形的一个外角等于 ，那么这个四边形的四个顶点共圆． 对角互补 它的内角的对角 (3) 判断四点共圆的常用方法 ① 如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共圆； ② 如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆； ③ 如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆； ④ 如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆． 试一试： 判断下列各命题是否正确． (1) 任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个； (2) 矩形有唯一的外接圆； (3) 菱形有外接圆； (4) 正多边形有外接圆． 提示　 (1) 错误，任意三角形有唯一的外接圆； (2) 正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等； (3) 错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆； (4) 正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等． 名师点睛 1 ． (1) 要 注意圆内接四边形的四个内角都是圆周角这一特点．利用圆周角定理，把圆周角与相应的圆心角联系起来，从而得出圆内接四边形性质定理 1 ，然后在性质定理 1 的基础上，推出了性质定理 2. (2) 圆内接四边形的性质定理为证明角的相等或互补提供了理论依据，因而也为论证角边关系提供了一种新方法． 2 ． 掌握圆的内接四边形需注意的问题 (1) 在 圆内接四边形的判定定理的证明中，利用了穷举法．所谓的 “ 穷举法 ” 就是当问题的结论存在多种情形时，通过对每一种情况分别论证，最后获证结论的方法．在每一种情形的证明中都用到了反证法，要注意这些方法的应用． (2) 圆内接四边形是圆内接多边形的一种特殊情况，它们的关系可以用集合形式表示： { 圆内接四边形 } ⊆ { 圆内接多边形 } ． (3) 掌握一些常见的结论，例如，正多边形一定存在外接圆；三角形一定存在外接圆，并且三角形的外接圆的圆心 ( 即外心 ) 是三条边的垂直平分线的交点；圆内接梯形一定是等腰梯形等． (4) 要注意圆内接四边形的性质定理和判定定理的综合应用． 题型一　用圆内接四边形的性质定理解决与线段长度有关的问题 【 例 1】 在 ⊙ O 中， AC ＝ AB ， E 是弦 BC 延长线上的一点， AE 交 ⊙ O 于点 D . 求证： AC 2 ＝ AD · AE . 反思感悟　 要证明等积式，因比例式是等积式的一种特殊形式，故可转化为比例式．只需找到包含 AC 、 AD 、 AE 的两个三角形来证明．而要证三角形相似，可借助圆内接四边形的性质，得出对应的角相等． 【 变式 1】 如 图所示， AD 是 △ ABC 外角 ∠ EAC 的角平分线， AD 与三角形的外接圆 ⊙ O 交于点 D . 求证： DB ＝ DC . 证明　 ∵ AD 是 △ ABC 的外角 ∠ EAC 的平分线， 又 ∵∠ EAD ＝ ∠ BCD ， ∠ CAD ＝ ∠ CBD . ∴ ∠ DBC ＝ ∠ DCB . ∴ DC ＝ B D . 题型二　利用圆内接四边形的性质定理求角 【 例 2】 如 图所示，已知四边形 ABCD 内接于圆，延长 AB 和 DC 相交于 E ， EG 平分 ∠ BEC ，且与 BC 、 AD 分别 相交于 F 、 G . 求证： ∠ CFG ＝ ∠ DGF . [ 思维启迪 ] 已知四边形 ABCD 内接于圆，自然想到圆内接四边形的性质定理，即 ∠ BCE ＝ ∠ BAD ，又 EG 平分 ∠ BEC ，故 △ CFE ∽△ AGE . 下面易证 ∠ CFG ＝ ∠ DGF . 证明　 因 为四边形 ABCD 是圆内接四边形， 所以 ∠ ECF ＝ ∠ EAG . 又因为 EG 平分 ∠ BEC ， 即 ∠ CEF ＝ ∠ AEG ，所以 △ EFC ∽△ EGA . 所以 ∠ EFC ＝ ∠ EGA . 而 ∠ EGD ＝ 180° － ∠ EGA ， ∠ CFG ＝ 180° － ∠ EFC ， 所以 ∠ CFG ＝ ∠ DGF . 反思感悟　 利用圆内接四边形的性质定理求角 (1) 观察图形，找出圆内接四边形的对角或外角与其内对角； (2) 利用圆内接四边形的性质定理 1 或性质定理 2 求出所要求的角． (3) 当题目中出现圆内接四边形时，首先利用性质定理，再结合其他条件进行推理证明． 【 变式 2】 如图 所示，在圆内接 四边形 ABCD 中， AC 平分 BD ， 且 AC ⊥ BD . ∠ BAD ＝ 72° ， 求四边形其余的各角． 解　 ∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ BAD ＋ ∠ BCD ＝ 180°. 又 ∵∠ BAD ＝ 72° ， ∴∠ BCD ＝ 108°. 又 ∵ AC 平分 BD ，并且 AC ⊥ BD ， ∴ AC 是四边形 ABCD 外接圆的直径． ∴∠ ABC ＝ ∠ ADC ＝ 90°. 题型三　利用圆内接四边形的判定定理证明四点共圆问题 【 例 3】 如 图所示，在 △ ABC 中， AD ＝ DB ， DF ⊥ AB 交 AC 于 F ， AE ＝ EC ， EG ⊥ AC 交 AB 于 G . 求证： (1) D 、 E 、 F 、 G 四点共圆； (2) G 、 B 、 C 、 F 四点共圆． [ 思维启迪 ] (1) 要证 D 、 E 、 F 、 G 四点共圆，只需找到过这四点的外接圆的圆心，证明圆心到四点的距离相等，可取 GF 的中点 H ，证点 H 即为圆心． (2) 要证 G 、 B 、 C 、 F 四点共圆，只需证 ∠ B ＝ ∠ AFG ( 或 ∠ C ＝ ∠ AGF ) ，由 D 、 E 为中点，可知 DE ∥ BC ， ∠ B ＝ ∠ ADE ，故只需证 ∠ ADE ＝ ∠ AFG ，由 D 、 E 、 F 、 G 四点共圆可得． 证明　 (1) 如 图，连接 GF ，取 GF 的中点 H . ∵ DF ⊥ AB ， EG ⊥ AC ， ∴△ DGF ， △ EGF 都是直角三角形．又 ∵ 点 H 是 GF 的中点， ∴ 点 H 到 D 、 E 、 F 、 G 的距离相等， ∴ 点 H 是过 D 、 E 、 F 、 G 的外接圆的圆心， ∴ D 、 E 、 F 、 G 四点共圆． (2) 连接 DE . 由 (1) 知 D 、 G 、 F 、 E 四点共圆． 由四点共圆的性质定理的推论，得 ∠ ADE ＝ ∠ AFG . ∵ AD ＝ DB ， AE ＝ EC ， ∴ D 是 AB 的中点， E 是 AC 的中点， ∴ DE ∥ BC ， ∴∠ ADE ＝ ∠ B ， ∴∠ AFG ＝ ∠ B ， ∴ G 、 B 、 C 、 F 四点共圆． 反思感悟　 (1) 判断四点共圆的步骤： ① 观察几何图形，找到一定点、一对对角或一外角与其内对角； ② 判断四点与这一定点的关系； ③ 判断四边形的一对对角的和是否为 180° ； ④ 判断四边形一外角与其内对角是否相等； ⑤ 下结论． (2) 注意事项： 在证明一个命题成立时，要根据命题中的条件和结论画出图形，并且写出已知和求证． 【 变式 3】 已知四边形 ABCD 为平行四边形，过点 A 和点 B 的圆与 AD 、 BC 分别交于 E 、 F ，求证： C 、 D 、 E 、 F 四点共圆． 证明　 连接 EF ，因为四边形 ABCD 为平行四边形， 所以 ∠ B ＋ ∠ C ＝ 180°. 因为四边形 ABFE 内接于圆， 所以 ∠ B ＋ ∠ AEF ＝ 180°. 所以 ∠ AEF ＝ ∠ C . 所以 C 、 D 、 E 、 F 四点共圆． 方法技巧　综合运用圆内接四边形的性质定理与判定定理解决 问题 【 示例 1】 已 知 CF 是 △ ABC 的 AB 边上的高， FP ⊥ BC ， FQ ⊥ AC . 求证： A 、 B 、 P 、 Q 四点共圆． [ 思维启迪 ] 首先，连接 PQ ，要证 A 、 B 、 P 、 Q 四点共圆，只要利用判定定理或推论即可．而由题目中的垂直条件易得 Q 、 F 、 P 、 C 四点共圆，再考虑利用圆内接四边形的性质． 证明　 连 接 PQ ， 在四边形 QFPC 中， 因为 PF ⊥ BC ， FQ ⊥ AC ， 所以 ∠ FQA ＝ ∠ FPC ＝ 90°. 所以 Q 、 F 、 P 、 C 四点共圆． 所以 ∠ QFC ＝ ∠ QPC . 又因为 CF ⊥ AB ， 所以 ∠ QFC 与 ∠ QFA 互余． 而 ∠ A 与 ∠ QFA 也互余， 所以 ∠ A ＝ ∠ QFC . 所以 ∠ A ＝ ∠ QPC . 所以 A 、 B 、 P 、 Q 四点共圆． 反思感悟　 熟练掌握圆内接四边形的判定定理及其推论． 【 示例 2】 (2011 · 辽宁高考 ) 如 图， A ， B ， C ， D 四点在同一圆上， AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点，且 EC ＝ ED . (1) 证明： CD ∥ AB ； (2) 延长 CD 到 F ，延长 DC 到 G ，使得 EF ＝ EG ，证明： A ， B ， G ， F 四点共圆． [ 思维启迪 ] 利用圆内接四边形的性质与判定定理证明． 证明　 (1) 因 为 EC ＝ ED ，所以∠ EDC ＝∠ ECD . 因为 A ， B ， C ， D 四点在同一圆上，所以 ∠ EDC ＝ ∠ EBA . 故 ∠ ECD ＝ ∠ EBA . 所以 CD ∥ AB . (2) 由 (1) 知， AE ＝ BE . 因为 EF ＝ EG ， 故 ∠ EFD ＝ ∠ EGC ，从而 ∠ FED ＝ ∠ GEC . 连接 AF ， BG ，则 △ EFA ≌△ EGB ， 故 ∠ FAE ＝ ∠ GBE . 又 CD ∥ AB ， 所以 ∠ FAB ＝ ∠ GBA . 所以 ∠ AFG ＋ ∠ GBA ＝ 180°. 故 A ， B ， G ， F 四点共圆． 反思感悟　 本题考查了圆内接四边形的性质与判定定理．