高中数学选修第3章3_1_4同步练习 5页

高中数学人教A版选2-1 同步练习 已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　)‎ A．a　　　　　　　　　　　 B．b C．a＋2b D．a＋‎‎2c 解析：选D.∵a＋‎2c，a＋b，a－b为不共面向量，∴a＋‎2c与p、q能构成一个基底．‎ 空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则为(　　)‎ A.a－b＋c B．－a＋b＋c C.a＋b－c D.a＋b－c 解析：选B.＝＋＋ ‎＝＋－＋(－)‎ ‎＝－＋＋ ‎＝－a＋b＋c.‎ 在如图所示的正方体中，各棱长为1，写出下列各向量的坐标：‎ ‎(1)＝_______________________________________________________，‎ ＝________________________________________________________；‎ ‎(2)＝_________________________________________________，‎ ＝_________________________________________________________.‎ 答案：(1)(1，1，0)　(1，1，1)‎ ‎(2)(1，0，1)　(0，1，1)‎ 已知a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，且d＝α a＋β b＋γc，则α＋β＋γ＝__________．‎ 解析：由已知d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3.‎ 所以故有α＋β＋γ＝3.‎ 答案：3‎ ‎[A级　基础达标]‎ 下列说法中正确的是(　　)‎ A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}中基向量对应相等 解析：选C.A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；B项中，空间基底有无数个；D项中因为基底不惟一，所以D错．故选C.‎ O、A、B、C为空间四点，且向量，、不能构成空间的一个基底，则(　　)‎ A.、、共线 B.、共线 C.、共线 D．O、A、B、C四点共面 解析：选D.由、、不能构成基底知、、三向量共面，所以O、A、B、C四点共面．‎ 如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量的为(　　)‎ A.＋2＋2 B.－3－2 C.＋3－5 D.＋2－3 解析：选C.连接AP(图略)．‎ 根据A、B、C、P四点共面的条件即可求得：‎ ＝x＋y.‎ 即＝＋x＋y，由图知x＝3，y＝－5.‎ 设a、b、c是三个不共面向量，现从①a＋b，②a－b，③a＋c，④b＋c，⑤a＋b－c中选出一个使其与a、b构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为__________．(填写代号)‎ 解析：根据基底的定义，∵a，b，c不共面，‎ ‎∴a＋c，b＋c，a＋b－c都能与a，b构成基底．‎ 答案：③④⑤‎ 如图所示，直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B‎1C的中点，若记＝a，＝b，＝c，则＝__________(用a，b，c表示)．‎ 解析：连接A1E、A‎1C(图略)．‎ ＝＋ ‎＝＋(＋)‎ ‎＝＋(＋－)‎ ‎＝c＋(a＋b－c)‎ ‎＝a＋b.‎ 答案：a＋b 已知ABCD－A1B‎1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出，，的坐标．‎ 解：设x、y、z轴的单位向量分别为e1、e2、e3，其方向与各轴上的正方向相同，‎ 则＝＋＋ ‎＝2e1＋2e2＋2e3，‎ ‎∴＝(2，2，2)．‎ ‎∵＝＋＋＝2e1＋2e2＋e3，‎ ‎∴＝(2，2，1)．‎ ‎∵＝e2，∴＝(0，1，0)．‎ ‎[B级　能力提升]‎ 设命题p：a、b、c是三个非零向量；命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，则a、b、c不共面，所以a、b、c必须均为非零向量，即q⇒p，但三个非零向量未必可以构成基底．‎ 若向量，，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量、、成为空间一组基底的关系是(　　)‎ A.＝＋＋ B.＝＋ C.＝＋＋ D.＝2－ 解析：选C.对于选项A，由结论＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)⇔M，A，B，C四点共面知，，，共面；对于B，D选项，易知、、共面，故只有选项C中、、不共面．‎ 在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，用，，作为基向量，则＝________．‎ 解析：＝＋＋ ‎＝＋＋ ‎＝[(＋)＋(＋)＋(＋)]‎ ‎＝(＋＋)‎ ‎＝＋＋.‎ 答案：＋＋ 如图，正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中的x、y、z的值：‎ ‎(1)＝x ＋y ＋z ；‎ ‎(2)＝x ＋y ＋z .‎ 解：(1)∵＝＋＝＋＋ ‎＝－＋＋，‎ 又＝x ＋y ＋z ，‎ ‎∴x＝1，y＝－1，z＝1.‎ ‎(2)∵＝＋＝＋ ‎＝＋ ‎＝＋＋，‎ 又＝x ＋y ＋z .‎ ‎∴x＝，y＝，z＝1.‎ (创新题)已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}为空间的另一个基底，若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，试求向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标．‎ 解：设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc.‎ 又∵p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，‎ 即p＝a＋2b＋‎3c，‎ ‎∴(x＋y)a＋(x－y)b＋zc＝a＋2b＋‎3c，‎ ‎∴解得 ‎∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是.‎