人教a版高中数学选修1-1课时提升作业（二十四）3-3-3函数的最大（小）值与导数探究导学课型word版含答案 6页

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业(二十四) 函数的最大(小)值与导数 (25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在上的最大值、最小值分别是 ( ) A.12,-8 B.1,-8 C.12,-15 D.5,-16 【解析】选 A.y′=6x2-6x-12,由 y′=0⇒x=-1 或 x=2(舍去).x=-2 时 y=1,x=-1 时 y=12,x=1 时 y=-8.所以 ymax=12,ymin=-8. 2.(2015·聊城高二检测)函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围为 ( ) A.0≤a<1 B.00 恒成立,所以在(-∞, +∞)上单调递增,无极值,也无最值. 4.函数 f(x)=2 + ,x∈(0,5]的最小值为 ( ) A.2 B.3 C. D.2 + 【解析】选 B.由 f′(x)= - = =0,得 x=1,且 x∈(0,1)时,f′(x)<0;x∈(1,5]时,f′ (x)>0,所以 x=1 时 f(x)最小,最小值为 f(1)=3. 5.(2015·大庆高二检测)若函数 y=x3+ x2+m 在上的最大值为 ,则 m 等于 ( ) A.0 B.1 C.2 D. 【解题指南】先求出函数 y=x3+ x2+m 在上的最大值,再依据题设条件可得到关于 m 的方程, 解方程即得出 m 的值. 【解析】选 C.y′= ′=3x2+3x=3x(x+1).由 y′=0,得 x=0 或 x=-1. 因为 f(0)=m,f(-1)=m+ . f(1)=m+ ,f(-2)=-8+6+m=m-2, 所以 f(1)=m+ 最大. 所以 m+ = .所以 m=2. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.函数 f(x)= +x(x∈)的值域为________. 【解析】f′(x)=- +1= ,所以在上 f′(x)>0 恒成立,即 f(x)在上单调递增,所以 f(x)的最大值是 f(3)= ,最小值是 f(1)= .故函数 f(x)的值域为 . 答案: 7.(2015·盐城高二检测)若函数 f(x)=x3-3x-a 在区间上的最大值、最小值分别为 m,n,则 m-n=________. 【解析】因为 f′(x)=3x2-3, 所以当 x>1 或 x<-1 时,f′(x)>0; 当-116,所以 f >f(2)>0. 所以 f(x)在 上的最大值为 f =1-ln2,最小值为 0. 【补偿训练】已知 f(x)=xlnx,求函数 f(x)在(t>0)上的最小值. 【解析】f′(x)=lnx+1,令 f′(x)=0,得 x= . 当 x∈ 时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈ 时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 由于 t>0,所以 t+2> . ①当 00 得 01,所以 f(x) 在(0,1]上是增函数,在(1,e]上是减函数.所以当 x=1 时,f(x)有最大值 f(1)=-1. 答案:-1 4.(2015·福州高二检测)已知函数 f(x)= +2lnx,若当 a>0 时,f(x)≥2 恒成立,则实数 a 的 取值范围是________. 【解题指南】可先求出 f(x)的最小值,使其最小值大于等于 2,解不等式即可求出 a 的范围. 【解析】由 f(x)= +2lnx,得 f′(x)= ,又函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 a>0,令 f′(x)=0,得 x=- (舍去)或 x= .当 0 时,f′(x)>0,故 x= 是函数 f(x)的极小值点,也是最小值点,且 f( )=lna+1.要使 f(x)≥2 恒成立,需 lna+1≥2 恒成立,则 a≥e. 答案:上的最小值. 【解析】(1)当 a=1 时,f′(x)=6x2-12x+6, 所以 f′(2)=6. 又因为 f(2)=4, 所以切线方程为 y=6x-8. (2)记 g(a)为 f(x)在闭区间上的最小值. f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a). 令 f′(x)=0,得到 x1=1,x2=a.当 a>1 时, 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x 0 (0,1) 1 (1,a) a (a,2a) 2a f′(x) + 0 - 0 + f(x) 0 单调 递增↗ 极大值 3a-1 单调 递减↘ 极小值 a2(3-a) 单调 递增↗ 4a3 比较 f(0)=0 和 f(a)=a2(3-a)的大小可得,g(a)= 当 a<-1 时,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x 0 (0,1) 1 (1,-2a) -2a f′(x) - 0 + f(x) 0 单调 递减↘ 极小值 3a-1 单调 递增↗ -28a3-24a2 得 g(a)=3a-1.综上所述,f(x)在闭区间上的最小值为 g(a)= 关闭 Word 文档返回原板块