详解版2014年全国120份中考试卷分类汇编：方案设计 12页

方案设计 一.选择题 二.填空题 三.解答题 ‎1．（2014•四川广安,第24题8分）在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1）的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，…依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a的值．‎ 考点：‎ 作图—应用与设计作图．‎ 分析：‎ 平行四边形ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），剪三次后余下的四边形是菱形的4种情况画出示意图．‎ 解答：‎ 解：①如图，a=4，‎ ‎②如图，a=，‎ ‎③如图，a=，‎ ‎④如图，a=，‎ 点评：‎ 此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知行四边形ABCD将平行四边形分割是解题关键．‎ ‎2. (2014年广西南宁，第24题10分）“保护好环境，拒绝冒黑烟”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．‎ ‎（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？‎ ‎（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？‎ 考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．.‎ 分析： （1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；‎ ‎（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，”列出不等式组探讨得出答案即可．‎ 解答： 解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得 ‎，‎ 解得 答：设购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．‎ ‎（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得 ‎，‎ 解得：6≤a≤8，‎ 所以a=6，7，8；‎ 则10﹣a=4，3，2；‎ 三种方案：‎ ‎①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4=1200万元；‎ ‎②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元；‎ ‎③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元；‎ 购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．‎ 点评： 此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．‎ ‎3．（2014•浙江宁波，第26题14分）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：‎ 方案一：直接锯一个半径最大的圆；‎ 方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；‎ 方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；‎ 方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．‎ ‎（1）写出方案一中圆的半径；‎ ‎（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？‎ ‎（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．‎ ‎①求y关于x的函数解析式；‎ ‎②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．‎ 考点：‎ 圆的综合题 分析：‎ ‎（1）观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．‎ ‎（2）方案二、方案三中求圆的半径是常规的利用勾股定理或三角形相似中对应边长成比例等性质解直角三角形求边长的题目．一般都先设出所求边长，而后利用关系代入表示其他相关边长，方案二中可利用△O1O2E为直角三角形，则满足勾股定理整理方程，方案三可利用△AOM∽△OFN后对应边成比例整理方程，进而可求r的值．‎ ‎（3）①类似（1）截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，虽然方案四中新拼的图象不一定为矩形，但直径也不得超过横纵向方向跨度．则选择最小跨度，取其，即为半径．由EC为x，则新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x，则需要先判断大小，而后分别讨论结论．‎ ‎②已有关系表达式，则直接根据不等式性质易得方案四中的最大半径．另与前三方案比较，即得最终结论．‎ 解答：‎ 解：（1）方案一中的最大半径为1．‎ 分析如下：‎ 因为长方形的长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．‎ ‎（2）‎ 如图1，方案二中连接O1，O2，过O1作O1E⊥AB于E，‎ 方案三中，过点O分别作AB，BF的垂线，交于M，N，此时M，N恰为⊙O与AB，BF的切点．‎ 方案二：‎ 设半径为r，‎ 在Rt△O1O2E中，‎ ‎∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO1﹣CO2=3﹣2r，‎ ‎∴（2r）2=22+（3﹣2r）2，‎ 解得 r=．‎ 方案三：‎ 设半径为r，‎ 在△AOM和△OFN中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOM∽△OFN，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得 r=．‎ 比较知，方案三半径较大．‎ ‎（3）方案四：‎ ‎①∵EC=x，‎ ‎∴新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x．‎ 类似（1），所截出圆的直径最大为3﹣x或2+x较小的．‎ ‎1．当3﹣x＜2+x时，即当x＞时，r=（3﹣x）；‎ ‎2．当3﹣x=2+x时，即当x=时，r=（3﹣）=；‎ ‎3．当3﹣x＞2+x时，即当x＜时，r=（2+x）．‎ ‎②当x＞时，r=（3﹣x）＜（3﹣）=；‎ 当x=时，r=（3﹣）=；‎ 当x＜时，r=（2+x）＜（2+）=，‎ ‎∴方案四，当x=时，r最大为．‎ ‎∵1＜＜＜，‎ ‎∴方案四时可取的圆桌面积最大．‎ 点评：‎ 本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容，题目虽看似新颖不易找到思路，但仔细观察每一小问都是常规的基础考点，所以总体来说是一道质量很高的题目，值得认真练习．‎ ‎4. （2014•湘潭，第21题）某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：‎ A型 B型 价格（万元/台）‎ ‎12‎ ‎10‎ 月污水处理能力（吨/月）‎ ‎200‎ ‎160‎ 经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨．‎ ‎（1）该企业有几种购买方案？‎ ‎（2）哪种方案更省钱，说明理由．‎ 考点：‎ 一元一次不等式组的应用 分析：‎ ‎（1）设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8﹣x）台，根据企业最多支出89万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可．‎ ‎（2）计算出每一方案的花费，通过比较即可得到答案．‎ 解答：‎ 解：设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8﹣x）台，‎ 根据题意，得 ‎，‎ 解这个不等式组，得：2.5≤x≤4.5．‎ ‎∵x是整数，‎ ‎∴x=3或x=4．‎ 当x=3时，8﹣x=5；‎ 当x=4时，8﹣x=4．‎ 答：有2种购买方案：第一种是购买3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备；‎ 第二种是购买4台A型污水处理设备，4台B型污水处理设备；‎ ‎（2）当x=3时，购买资金为12×1+10×5=62（万元），‎ 当x=4时，购买资金为12×4+10×4=88（万元）．‎ 因为88＞62，‎ 所以为了节约资金，应购污水处理设备A型号3台，B型号5台．‎ 答：购买3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备更省钱．‎ 点评：‎ 本题考查了一元一次不等式组的应用，本题是“方案设计”问题，一般可把它转化为求不等式组的整数解问题，通过表格获取相关信息，在实际问题中抽象出不等式组是解决这类问题的关键．‎ ‎5. （2014•益阳，第19题，10分）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：‎ 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 ‎3台 ‎5台 ‎1800元 第二周 ‎4台 ‎10台 ‎3100元 ‎（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）‎ ‎（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；‎ ‎（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？‎ ‎（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．‎ 考点：‎ 二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用．‎ 分析：‎ ‎（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；‎ ‎（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，根据金额不多余5400元，列不等式求解；‎ ‎（3）设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合（2）的条件，可知不能实现目标．‎ 解答：‎ 解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，‎ 依题意得：，‎ 解得：，‎ 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；‎ ‎（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台．‎ 依题意得：200a+170（30﹣a）≤5400，‎ 解得：a≤10．‎ 答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；‎ ‎（3）依题意有：（250﹣200）a+（210﹣170）（30﹣a）=1400，‎ 解得：a=20，‎ ‎∵a＞10，‎ ‎∴在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标．‎ 点评：‎ 本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．‎ ‎6.（2014•济宁，第20题8分）在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：‎ ‎（1）从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；‎ ‎（2）设计的整个图案是某种对称图形．‎ 王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告．‎ 名 称 四等分圆的面积 方 案 方案一 方案二 方案三 选用的工具 带刻度的三角板 ‎ 画出示意图 简述设计方案 作⊙O两条互相垂直的直径AB、CD，将⊙O的面积分成相等的四份．‎ 指出对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形 考点：‎ 利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．‎ 分析：‎ 根据圆的面积公式以及轴对称图形和中心对称图形定义分别分析得出即可．‎ 解答：‎ 解：‎ 名称 四等分圆的面积 方案 方案一 方案二 方案三 选用的工具 带刻度的三角板 带刻度三角板、量角器、圆规．‎ 带刻度三角板、圆规．‎ ‎ 画出示意图 简述设计方案 作⊙O两条互相垂直的直径AB、CD，将⊙O的面积分成相等的四份．‎ ‎（1）以点O为圆心，以3个单位长度为半径作圆；‎ ‎（2）在大⊙O上依次取三等分点A、B、C；‎ ‎（3）连接OA、OB、OC．‎ 则小圆O与三等份圆环把⊙O的面积四等分．‎ ‎（4）作⊙O的一条直径AB；‎ ‎（5）分别以OA、OB的中点为圆心，以3个单位长度为半径作⊙O1、⊙O2；‎ 则⊙O1、⊙O2和⊙O中剩余的两部分把⊙O的面积四等分．‎ 指出对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形．‎ 轴对称图形 既是轴对称图形又是中心对称图形．‎ 点评：‎ 此题主要考查了利用轴对称设计图案以及轴对称图形以及中心对称图形的性质，熟练利用扇形面积公式是解题关键．‎ ‎7. （2014•山东烟台，第23题8分）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．‎ ‎（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）‎ ‎（2）该车计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？‎ A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：‎ A型车 B型车 进货价格（元）‎ ‎1100‎ ‎1400‎ 销售价格（元）‎ 今年的销售价格 ‎2000‎ 考点：分式方程的应用，一次函数的应用.‎ 分析： （1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；‎ ‎（2）设今年新进A行车a辆，则B型车（60﹣x）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．‎ 解答：（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由题意，得 ‎，解得：x=1600．经检验，x=1600是元方程的根．‎ 答：今年A型车每辆售价1600元；‎ ‎（2）设今年新进A行车a辆，则B型车（60﹣x）辆，获利y元，由题意，得 y=（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（60﹣a），‎ y=﹣100a+36000．‎ ‎∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，∴60﹣a≤2a，‎ ‎∴a≥20．∵y=﹣100a+36000．∴k=﹣100＜0，‎ ‎∴y随a的增大而减小．∴a=20时，y最大=34000元．‎ ‎∴B型车的数量为：60﹣20=40辆．‎ ‎∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．‎ 点评：本题考查了列分式方程解实际问题的运，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．‎ ‎8. （2014•山东淄博,第17题4分）如图，在正方形网格中有一边长为4的平行四边形ABCD，请将其剪拼成一个有一边长为6的矩形．（要求：在答题卡的图中画出裁剪线即可）‎ 考点： 作图—应用与设计作图；图形的剪拼．‎ 分析： 如图先过D点向下剪出一个三角形放在平行四边形的左边，再在剪去D点下面两格的小正方形放在右面，就组成了一人矩形．‎ 解答： 解：如图：‎ 点评： 本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程．‎ ‎9．（2014•福建福州,第19题12分）现有A，B两种商品，买2件A商品和买1件B商品用了90元，买3件A商品和买2件B商品用了160元.‎ ‎（1）求A，B两种商品每件多少元？‎ ‎（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？‎ ‎10．（2014•广东梅州,第20题8分）某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．‎ ‎（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？‎ ‎（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？‎ 考点：‎ 分式方程的应用；一元一次不等式的应用．‎ 分析：‎ ‎（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；‎ ‎（2）设至少应安排甲队工作x天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．‎ 解答：‎ 解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：‎ ‎﹣=4，‎ 解得：x=50‎ 经检验x=50是原方程的解，‎ 则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），‎ 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；‎ ‎（2）设至少应安排甲队工作y天，根据题意得：‎ ‎0.4y+×0.25≤8，‎ 解得：y≥10，‎ 答：至少应安排甲队工作10天．‎ 点评：‎ 此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验．‎