专题16 坐标系与参数方程（高考押题）-2017年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破 10页

专题16 坐标系与参数方程（高考押题）‎ ‎2017年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破 ‎1．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin＝1，圆C的圆心的极坐标是C，圆的半径为1.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)求直线l被圆C所截得的弦长．‎ ‎2．已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．‎ 解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①‎ 将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②‎ ‎(2)将(t为参数)代入②式，‎ 得t2＋5＋18＝0.‎ 设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，‎ 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2acos(a>0)．‎ ‎(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)；‎ ‎(2)若直线l与C2相切，求a的值．‎ ‎4．已知曲线C1：x＋y＝和C2：(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．‎ ‎ (1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P，若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．‎ 解：(1)曲线C1化为ρcos θ＋ρsin θ＝，‎ ‎∴ρsin＝.‎ 曲线C2化为＋＝1.(*)‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式，‎ 得cos2θ＋sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6，‎ ‎∴曲线C2的极坐标方程为ρ2＝.‎ ‎(2)∵M(，0)，N(0，1)，所以P，‎ ‎∴OP的极坐标方程为θ＝，‎ 把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P.‎ 把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q.‎ ‎∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.‎ ‎5．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈0，2π)．‎ ‎ (1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：(t为参数，t∈R)的距离最短，并求出点D的直角坐标．‎ 解：(1)由ρ＝2sin θ，θ∈0，2π)，可得ρ2＝2ρsin θ.‎ ‎∵ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.‎ ‎(2)∵直线l的参数方程为(t为参数，t∈R)，]‎ t得直线l的普通方程为y＝－x＋5.‎ ‎∵曲线C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆，设点D(x0，y0)，且点D到直线l：y＝－x＋5的距离最短，‎ 曲线C在点D处的切线与直线l：y＝－x＋5平行，‎ 即直线CD与l的斜率的乘积等于－1，‎ 即×(－)＝－1.①‎ ‎∵x＋(y0－1)2＝1，②‎ 由①②解得x0＝－或x0＝，‎ ‎∴点D的直角坐标为或.‎ 由于点D到直线y＝－x＋5的距离最短，‎ ‎∴点D的直角坐标为.‎ ‎6．已知曲线C1：ρ＝2和曲线C2：ρcos＝，则C1上到C2的距离等于的点的个数为________．‎ 解析　将方程ρ＝2与ρcos＝化为直角坐标方程得x2＋y2＝(2)2与x－y－2＝0，知C1为以坐标原点为圆心，半径为2的圆，C2为直线，因圆心到直线x－y－2＝0的距离为，故满足条件的点的个数为3.‎ 答案　3‎ ‎7．在直角坐标系xOy中，曲线C1参数方程为(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则曲线C1与C2的交点个数为________．‎ ‎8．在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A到圆心C的距离是________．‎ 解析　将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0，2)．又易知点A的直角坐标系为(2，2)，故点A到圆心的距离为＝2.‎ 答案　2 ‎9．在极坐标系中，点M到曲线ρcos＝2上的点的距离的最小值为________．‎ 解析　依题意知，点M的直角坐标是(2，2)，曲线的直角坐标方程是x＋y－4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为＝2.‎ 答案　2‎ ‎10．在平面直角坐标系下，曲线C1：(t为参数)，‎ 曲线C2：(θ为参数)，若曲线C1，C2有公共点，则实数a的取值范围是________．‎ 解析　曲线C1的直角坐标方程为x＋2y－2a＝0，‎ 曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝4，圆心为(0，1)，半径为2，‎ 若曲线C1，C2有公共点，‎ 则有圆心到直线的距离≤2，‎ 即|a－1|≤，‎ ‎∴1－≤a≤1＋，‎ 即实数a的取值范围是1－，1＋]．‎ 答案　1－，1＋]‎ ‎11．已知曲线C的参数方程为(t为参数)，曲线C在点(1，1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．‎ ‎12．已知点P(x，y)在曲线(θ为参数，θ∈R)上，则的取值范围是________．‎ 解析　消去参数θ得曲线的标准方程为(x＋2)2＋y2＝1，‎ 圆心为(－2，0)，半径为1.‎ 设＝k，则直线y＝kx，‎ 即kx－y＝0，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d＝＝1，‎ 即|2k|＝，平方得 ‎4k2＝k2＋1，k2＝，解得k＝±，‎ 由图形知k的取值范围是－≤k≤，‎ 即的取值范围是.‎ 答案　 ‎13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是(θ为参数)．‎ ‎(1)将C1的方程化为普通方程；‎ ‎(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C2的极坐标方程是θ＝，求曲线C1与C2的交点的极坐标．‎ ‎14．已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．‎ ‎(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎(2)过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|的值．‎ 解　(1)C1：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，C2：＋＝1.‎ 曲线C1为圆心是(－2，1)、半径是1的圆．‎ 曲线C2为中心是坐标原点、焦点在x轴上、长轴长是8、短轴长是6的椭圆．‎ ‎(2)曲线C2的左顶点为(－4，0)，则直线l的参数方程为(s为参数)，‎ 将其代入曲线C1整理可得：s2－3s＋4＝0，设A，B对应参数分别为s1，s2，则s1＋s2＝3，s1s2＝4.‎ 所以|AB|＝＝＝.‎ ‎15．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，已知过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为：(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N两点．‎ ‎(1)写出曲线C和直线l的普通方程；‎ ‎(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．‎ 解　(1)y2＝2ax，y＝x－2.‎ ‎16．在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝cos θ.‎ ‎(1)求曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若P，Q分别是曲线C1和C2上的任意一点，求|PQ|的最小值．学@‎ 解：(1)∵ρ＝cos θ，∴x2＋y2＝x，即＋y2＝.‎ ‎(2)设P(2cos α，sin α)，易知C2，‎ ‎∴|PC2|‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝，‎ 当cos α＝时，|PC2|取得最小值，‎ ‎|PC2|min＝，‎ ‎∴|PQ|min＝.‎ ‎17．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的极坐标方程为ρcos＝2.‎ ‎(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)求曲线C上的点到直线l的最大距离．‎ 解：(1)由ρcos＝2，得ρ(cos θ＋sin θ)＝4，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ 由 得C的普通方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)在曲线C：＋y2＝1上任取一点P(cos θ，sin θ)，‎ 则点P到直线l的距离为 d＝ ＝≤3.‎ ‎∴曲线C上的点到直线l的最大距离为3.‎ ‎18．在直角坐标平面内，直线l过点P(1，1)，且倾斜角α＝.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与圆C交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．‎ ‎19．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C1的方程为ρ(ρ－4sin θ)＝12，定点A(6，0)，点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．‎ ‎(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)根据题意得，‎ 曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝12，‎ 设点P(x′，y′)，Q(x，y)，‎ 根据中点坐标公式，得 代入x2＋y2－4y＝12，‎ 得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－1)2＝4，‎ ‎(2)直线l的直角坐标方程为y＝ax，根据题意，得圆心(3，1)到直线的距离d≤＝1，即≤1，‎ 解得0≤a≤.‎ ‎∴实数a的取值范围为.‎ ‎20．已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ.‎ ‎(1)求曲线C的参数方程；‎ ‎(2)当α＝时，求直线l与曲线C交点的极坐标．‎ 解：(1)由ρ＝2sin θ－2cos θ，‎ 可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ.‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y－2x，‎ 化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.‎ 曲线C的参数方程为 (φ为参数)．‎ ‎(2)当α＝时，直线l的方程为 化成普通方程为y＝x＋2.‎ 由　‎ 解得或 所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为，(2，π)．‎ ‎21．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l：(t为参数)与曲线C相交于M，N两点．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．‎ ‎ ‎ ‎(2)将(t为参数)代入y2＝2ax，‎ 整理得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0.‎ 设t1，t2是该方程的两根，‎ 则t1＋t2＝2 (4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)，‎ ‎∵|MN|2＝|PM|·|PN|，‎ ‎∴(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2，‎ ‎∴8(4＋a)2－4×8(4＋a)＝8(4＋a)，‎ ‎∴a＝1.‎