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- 2021-04-17 发布
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2016-2017学年河南省驻马店市西平高中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=4，sinA=2sinB，则b=（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
2．在△ABC中，已知a=7，b=5，c=3，则角A大小为（ ）
A．120° B．90° C．60° D．45°
3．已知数列1，4，9，16，…，则256是数列的（ ）
A．第14项 B．第15项 C．第16项 D．第17项
4．已知{an}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
5．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（ ）
A． B． C． D．2
6．已知x＞0，y＞0且x+y=xy，则x+y的取值范围是（ ）
A．（0，1] B．[2，+∞） C．（0，4] D．[4，+∞）
7．不等式（1﹣x）（2+x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞） D．（﹣1，2）
8．已知x＞2，则x+的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
9．在△ABC中，已知a2+b2=c2+，则∠C=（ ）
A．30° B．45° C．150° D．135°
10．据科学记算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是（ ）
A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟
11．对任意的实数x，不等式mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣4，0） B．（﹣4，0] C．[﹣4，0] D．[﹣4，0）
12．数列{an}的前n项和为Sn，若an=，则S5等于（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA= ．
14．已知实数x、y满足则目标函数z=x﹣2y的最小值是 ．
15．若关于x的方程x2+ax+a2﹣1=0有一正根和一负根，则a的取值范围为 ．
16．已知数列{an}满足2a1+22a2+23a3+…+2nan=4n﹣1，则{an}的通项公式 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．求y=（x＞﹣1）的值域．
18．在△ABC中，sinB=sinAcosC，且△ABC的最大边长为12，最小角的正弦等于．
（1）判断△ABC的形状；
（2）求△ABC的面积．
19．等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．
20．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．
（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．
21．数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an﹣3n．
（1）设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和．
22．已知函数f（x）对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1且f（1）=1．
（1）若x∈N*，试求f（x）的解析式；
（2）若x∈N*，且x≥2时，不等式f（x）≥（a+7）x﹣（a+10）恒成立，求实数a的取值范围．
2016-2017学年河南省驻马店市西平高中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=4，sinA=2sinB，则b=（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【考点】余弦定理．
【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解．
【解答】解：∵a=4，sinA=2sinB，
∴由正弦定理，可得：b===2．
故选：C．
2．在△ABC中，已知a=7，b=5，c=3，则角A大小为（ ）
A．120° B．90° C．60° D．45°
【考点】余弦定理．
【分析】由已知利用余弦定理可求cosA的值，结合A的范围即可得解A的值．
【解答】解：∵a=7，b=5，c=3，
∴由余弦定理可得：cosA===﹣，
又∵A∈（0°，180°），
∴A=120°．
故选：A．
3．已知数列1，4，9，16，…，则256是数列的（ ）
A．第14项 B．第15项 C．第16项 D．第17项
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】根据题意，由所给数列的前几项可得数列的通项公式an=n2，256=（16）2，即256是数列的第16项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，数列1，4，9，16，…，
则其通项公式为an=n2，
而256=（16）2，即256是数列的第16项，
故选：C．
4．已知{an}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
【考点】等差数列．
【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可．
【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得
，即，
解得d=﹣，
故选B．
5．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（ ）
A． B． C． D．2
【考点】等比数列的性质．
【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3•a9=2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值．
【解答】解：设公比为q，由已知得a1q2•a1q8=2（a1q4）2，
即q2=2，又因为等比数列{an}的公比为正数，
所以q=，故a1=．
故选B．
6．已知x＞0，y＞0且x+y=xy，则x+y的取值范围是（ ）
A．（0，1] B．[2，+∞） C．（0，4] D．[4，+∞）
【考点】基本不等式．
【分析】由题意和基本不等式得：xy≤，代入已知的方程化简后，求出x+y的取值范围．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，
∴xy≤，当且仅当x=y时取等号，
代入x+y=xy得，x+y≤，
解得x+y≥4或x+y≤0（舍去），
∴x+y的取值范围是[4，+∞），
故选D．
7．不等式（1﹣x）（2+x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞） D．（﹣1，2）
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】根据一元二次不等式的解集与方程根的关系，结合二次函数可得不等式的解集
【解答】解：不等式（1﹣x）（2+x）＞0，
∴不等式（x﹣1）（x+2）＜0，
∴方程（x﹣1）（x+2）=0的两根为﹣2，1，
∴不等式（1﹣x）（2+x）＞0的解集为（﹣2，1），
故选：A．
8．已知x＞2，则x+的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【考点】基本不等式．
【分析】由题意可得x﹣2＞0，可得x+=x﹣2++2，由基本不等式可得．
【解答】解：∵x＞2，∴x﹣2＞0，
∴x+=x﹣2++2，
≥2+2=6，
当且仅当x﹣2=即x=4时，x+取最小值6，
故选：A．
9．在△ABC中，已知a2+b2=c2+，则∠C=（ ）
A．30° B．45° C．150° D．135°
【考点】余弦定理．
【分析】由余弦定理求得cos∠C= 的值，可得∠C的值．
【解答】解：在△ABC中，由于已知a2+b2=c2+，则由余弦定理可得
cos∠C===，
∴∠C=45°，
故选B．
10．据科学记算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是（ ）
A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】
设出每一秒钟的路程为一数列，由题意可知此数列为等差数列，然后根据等差数列的前n项和的公式表示出离地面的高度，让高度等于240列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．
【解答】解：设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an，
则数列{an}是首项a1=2，公差d=2的等差数列，
由求和公式有na1+=240，即2n+n（n﹣1）=240，
解得n=15，
故选C．
11．对任意的实数x，不等式mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣4，0） B．（﹣4，0] C．[﹣4，0] D．[﹣4，0）
【考点】函数恒成立问题．
【分析】当m=0时，不等式显然成立；当m≠0时，根据二次函数图象的性质得到m的取值范围．两者取并集即可得到m的取值范围．
【解答】解：当m=0时，mx2﹣mx﹣1=﹣1＜0，不等式成立；
设y=mx2﹣mx﹣1，当m≠0时函数y为二次函数，y要恒小于0，抛物线开口向下且与x轴没有交点，即要m＜0且△＜0
得到：解得﹣4＜m＜0．
综上得到﹣4＜m≤0．
故选B．
12．数列{an}的前n项和为Sn，若an=，则S5等于（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】数列的求和．
【分析】利用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：∵，
∴…+==．
∴．
故选B．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA= ．
【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．
【分析】先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，再运用两角和与差的正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB，进而可求得cosA的值．
【解答】解：由正弦定理，知
由（b﹣c）cosA=acosC可得
（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，
∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA
=sin（A+C）=sinB，
∴cosA=．
故答案为：
14．已知实数x、y满足则目标函数z=x﹣2y的最小值是 ﹣9 ．
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=x﹣2y，不难求出目标函数z=x﹣2y的最小值．
【解答】解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域，
由z=x﹣2y，得y=x﹣z，
平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z经过点A，
直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，
由得点A（3，6），
当x=3，y=6时，z=x﹣2y取最小值，为﹣9．
故答案为：﹣9
15．若关于x的方程x2+ax+a2﹣1=0有一正根和一负根，则a的取值范围为 ﹣1＜a＜1 ．
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【分析】先看二次函数的开口方向，利用0的函数值的符号确定a的范围．
【解答】解：令f（x）=x2+ax+a2﹣1，∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，
则只需f（0）＜0，即a2﹣1＜0，∴﹣1＜a＜1．
故答案为：﹣1＜a＜1．
16．已知数列{an}满足2a1+22a2+23a3+…+2nan=4n﹣1，则{an}的通项公式 an=3•2n﹣2 ．
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】数列{an}满足2a1+22a2+23a3+…+2nan=4n﹣1，当n≥2时，2nan=（4n﹣1）﹣（4n﹣1﹣1），即可得出．
【解答】解：∵数列{an}满足2a1+22a2+23a3+…+2nan=4n﹣1，
∴当n≥2时，2nan=（4n﹣1）﹣（4n﹣1﹣1），化为an=3•2n﹣2．
当n=1时，2a1=4﹣1，解得，上式也成立．
∴an=3•2n﹣2．
故答案为：an=3•2n﹣2．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．求y=（x＞﹣1）的值域．
【考点】函数的值域．
【分析】根据基本不等式即可得到y=≥9，即可求出函数的值域．
【解答】解：∵x＞﹣1，
∴x+1＞0，
∴y===x+1++5≥2+5=9，
当且仅当x+1=，即x=1时取等号，
故y=（x＞﹣1）的值域为[9，+∞）．
18．在△ABC中，sinB=sinAcosC，且△ABC的最大边长为12，最小角的正弦等于．
（1）判断△ABC的形状；
（2）求△ABC的面积．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）由三角形的内角和定理得到B=π﹣（A+C），代入已知等式左侧，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后可得cosAsinC=0，结合sinC≠0，可得cosA=0，又A∈（0，π），可得A=，即△ABC为直角三角形．
（2）由题意，利用正弦定理可求最小边长，利用勾股定理可求另一直角边，利用三角形面积公式即可得解．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC，
∴cosAsinC=0，
∵C为三角形内角，sinC≠0，
∴cosA=0，
∴由A∈（0，π），可得A=，即△ABC为直角三角形．
（2）∵由（1）得A=，由题意△ABC的最大边长为12，最小角的正弦等于．
∴设最小边长为x，则由正弦定理可得： =，解得：x=4，
∴S△ABC=×4×=16．
19．等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】（I）由a1=2，a4=16直接求出公比q再代入等比数列的通项公式即可．
（Ⅱ）利用题中条件求出b3=8，b5=32，又由数列{bn}是等差数列求出．再代入求出通项公式及前n项和Sn．
【解答】解：（I）设{an}的公比为q
由已知得16=2q3，解得q=2
∴=2n
（Ⅱ）由（I）得a3=8，a5=32，则b3=8，b5=32
设{bn}的公差为d，则有
解得．
从而bn=﹣16+12（n﹣1）=12n﹣28
所以数列{bn}的前n项和．
20．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．
（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】（1）先根据题意画出简图确定AB、AC、∠BAC的值，根据sinθ=求出θ的余弦值，再由余弦定理求出BC的值，从而可得到船的行驶速度．
（2）先假设直线AE与BC的延长线相交于点Q，根据余弦定理求出cos∠ABC的值，进而可得到sin∠ABC的值，再由正弦定理可得AQ的长度，从而可确定Q在点A和点E之间，根据QE=AE﹣AQ求出QE的长度，然后过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离，进而在Rt△QPE中求出PE的值在于7进行比较即可得到答案．
【解答】解：（I）如图，AB=40，AC=10，．
由于0°＜θ＜90°，所以cosθ=．
由余弦定理得BC=．
所以船的行驶速度为（海里/小时）．
（II）如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q．
在△ABC中，由余弦定理得，
==．
从而．
在△ABQ中，由正弦定理得，
AQ=．
由于AE=55＞40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE﹣AQ=15．
过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．
在Rt△QPE中，PE=QE•sin∠PQE=QE•sin∠AQC=QE•sin（45°﹣∠ABC）
=．
所以船会进入警戒水域．
21．数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an﹣3n．
（1）设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和．
【考点】数列递推式；等比关系的确定；数列的求和．
【分析】（1）通过递推关系式求出an与an+1的关系，推出{an+3}即数列{bn}是等比数列，求出数列{bn}的通项公式即可求出{an}的通项公式；
（2）写出数列{nan}的通项公式，然后写出前n项和的表达式通过错位相减法求解即可．
【解答】解：（1）∵Sn=2an﹣3n，对于任意的正整数都成立，
∴Sn+1=2an+1﹣3n﹣3，
两式相减，得a n+1=2an+1﹣2an﹣3，即an+1=2an+3，
∴an+1+3=2（an+3），
所以数列{bn}是以2为公比的等比数列，
由已知条件得：S1=2a1﹣3，a1=3．
∴首项b1=a1+3=6，公比q=2，
∴an=6•2n﹣1﹣3=3•2n﹣3．
（2）∵nan=3×n•2n﹣3n
∴Sn=3（1•2+2•22+3•23+…+n•2n）﹣3（1+2+3+…+n），
2Sn=3（1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1）﹣6（1+2+3+…+n），
∴﹣Sn=3（2+22+23+…+2n﹣n•2n+1）+3（1+2+3+…+n）
=
∴Sn=
22．已知函数f（x）对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1且f（1）=1．
（1）若x∈N*，试求f（x）的解析式；
（2）若x∈N*，且x≥2时，不等式f（x）≥（a+7）x﹣（a+10）恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】抽象函数及其应用；函数恒成立问题．
【分析】（1）先求出f（x+1）与 f（x）的关系，用累加法求出f（x）的解析式．
（2）不等式等价变形为即 a≤，由基本不等式求不等号右边式子的最小值，a应小于或等于此最小值．
【解答】解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0）+0+1，f（0）=﹣1，
令y=1得，f（x+1）=f（x）+f（1）+2（x+1）+1=f（x）+2x+4，
即f（x+1）﹣f（x）=2x+4，
∴f（2）﹣f（1）=2×1+4，f（3）﹣f（2）=2×2+4，f（4）﹣f（3）=2×3+4，…
f（x）﹣f（x﹣1）=2×（x﹣1）+4，
累加得：f（x）﹣f（1）=2（1+2+3+4…+（x﹣1））+4（x﹣1）=x2+3x﹣4，又 f（1）=1，
∴f（x）═x2+3x﹣3，x∈N*．
（2）∵x≥2时，不等式f（x）≥（a+7）x﹣（a+10）恒成立，
∴x2+3x﹣3≥（a+7）x﹣（a+10）恒成立，
即 a≤==（x﹣1）+﹣2，
由基本不等式得 （x﹣1）+﹣2≥4﹣2=2 （当且仅当x=3时，等号成立），
∴（x﹣1）+﹣2 的最小值是2，，∴a≤2
