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- 2021-04-16 发布
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2018届高考数学（文）大题狂练
命题角度2：空间几何体体积与距离问题
1.如图， 是边长为的正方形， 平面， 平面， .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .
【解析】试题分析：（Ⅰ）先证明，结合，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结论；（Ⅱ）先根据勾股定理求底面三角形的三边的长，进而根据其特性求底面三角形的面积，再根据棱锥的体积公式求解即可.
（Ⅱ）设，连接， .
由（Ⅰ）知， 平面，
所以平面.
因为平面将三棱锥分为两个三棱锥和，
所以.
因为正方形的边长为， ，
所以， .
取的中点，连接，则 .
所以等腰三角形的面积为 .
所以
.
所以三棱锥的体积为.
2. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ， ，平面底面， 为的中点， 是棱上的点， ， ．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，设，试确定的值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .
【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面平面，且平面平面， 可证得平面，进而平面平面；
（Ⅱ）（Ⅱ）由， 为的中点，可得．由平面平面，可得平面．设，梯形面积为，则S△ABQ= ， ，利用即可求得.
（Ⅱ）∵， 为的中点，∴，
∵平面平面，且平面平面，
∴平面．
设，梯形面积为，则三角形的面积为，
．
又设到平面的距离为，则，
根据题意，∴，
故，
为中点，所以．
3.如图所示，菱形与正三角形所在平面互相垂直， 平面，且， .
（1）求证： 平面；
（2）若，求几何体的体积.
【答案】（1）见解析；（2）3.
【解析】试题分析：（1）过点作于，连接，可证四边形为平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理即可证明平面；（2）若，利用分割法，将几何体分成两个棱锥，结合棱锥的体积公式即可求几何体的体积.
∴平面.
又∵平面， ，∴.
∴四边形为平行四边形，∴.
∵平面 ， 平面，∴平面.
（2）连接，由题意得为正三角形，∴.
∵平面⊥平面，平面，平面平面，
平面.∵，平面 ， 平面，∴平面，
同理，由可证平面，
∵， 平面， 平面，
∴平面∥平面，∴到平面的距离等于的长.
∵为四棱锥的高，
∴
.
4.如图所示的几何体中，四边形为菱形， ， ， ， ，平面平面， ， 为的中点， 为平面内任一点.
（1）在平面内，过点是否存在直线使？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；
（2）过， ， 三点的平面将几何体截去三棱锥，求剩余几何体的体积.
【答案】（1）见解析;（2）.
【解析】试题分析：
(1)利用线面平行的判断定理结合题意可知点G存在；
(2)利用题意将所要求解的多面体的体积进行分解可得几何体的体积.
（2）连接， ，则平面将几何体分成两部分：
三棱锥与几何体（如图所示）.
因为平面平面，且交线为，
又，所以平面.
故为几何体的高.
又四边形为菱形， ， ， ，
所以 ，
所以 .
又，所以平面，
所以 ，
所以几何体的体积 .
5. 在三棱柱中， ， ， 为的中点.
（1）证明： 平面；
（2）若，点在平面的射影在上，且侧面的面积为，求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析;（2）.
【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接.利用中点可得，所以平面.（2）取中点，连接，过点作于，连接,利用等腰三角形和射影的概念可知平面，所以，所以平面，所以.利用侧面的面积可计算得三棱锥的高，由此可计算得三棱锥的体积.
试题解析：
（1）证明：连接交于点，连接.
则为的中点，又为的中点，所以，且平面， 平面，则平面.
（2）解：取的中点，连接，过点作于点，连接.
因为点在平面的射影在上，且，
所以平面，∴， ，∴平面，
则.
设，在中， ， ，
∴， ， ，
由，可得.
则
.
所以三棱锥的体积为.
6.如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形， ，且与均为正三角形， 为的重心.
（1）求证： 平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】【试题分析】（1）可直接运用线面平行的判定定理推证；（2）借助三棱锥可换底的特征，运用三棱锥的体积公式建立方程求解：
解：(1)连接并延长交于，连接.由梯形且，知，又为的重心， ，在中， ，故.又平面平面平面.
，得，
所以三棱锥的体积为.又.在中，
，故点到平面的距离为.
7.如图，在四棱锥中， ， ， ， 平面.
（1）求证： 平面；
（2）若为线段的中点，且过三点的平面与线段交于点，确定点的位置，说明理由；并求三棱锥的高.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】试题分析：（1）先分别利用勾股定理和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理进行证明；（2）利用三角形的中位线证明线线平行，进而通过四点共面确定点的位置，再利用等体积法进行求解.
因为平面， 为的中点，所以到平面的距离.
又，所以.
由题意可知，在直角三角形中， ， ，
在直角三角形中， ， ，所以.
设三棱锥的高为， ，解得： ，
故三棱锥的高为.
8.如图，边长为2的正方形和高为2的直角梯形所在的平面互相垂直， ， ， 且.
（1）求证： 平面；
（2）过作平面，垂足为，求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析;（2）.
【解析】试题分析：（1）因为，通过证明平面，可证得平面.
（2）利用等体积法可求体积.
试题解析：（1）证明：∵， ，∴，∴四边形为平行四边形，∴，
∵平面平面，且平面平面，
，∴平面，∴平面，
∵平面，∴.
在正方形中， 平面，
∵，∴平面.
（2）解：取的中点，连接，则，连接，过作于，
∵平面，∴，∴平面，∴，∴平面，∴与重合.
在中， ， ， ，由，得，∴.
过作，垂足为，易证平面，交于，则，
且.
∴.
9.如图，在各棱长为的直四棱柱中，底面为棱形， 为棱上一点，且
（1）求证：平面平面；
（2）平面将四棱柱分成上、下两部分，求这两部分的体积之比.
（棱台的体积公式为，其中分别为上、下底面面积， 为棱台的高）
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）利用直线垂直平面的判定及面面垂直的判定定理，分析出平面 又平面平面平面（2）平面分割出一个三棱台，先求其体积，再用总的体积减去此三棱台体积，即可得到下面部分的体积.
试题解析：（1）证明： 底面为菱形，
在直四棱柱中， 底面
平面
又平面平面平面
（2）解：连接，过作交于，则
则平面与侧面相交的线段为
故平面将四棱柱分成上、下两部分中的上部分由三棱台组成，
取的中点,连接
底面为菱形，
为正三角形，即也为正三角形，
又底面
平面
又四棱柱的体积为
10. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形， ,平面平面， 分别为的中点， 为的中点，过作平面分别与交于点.
（Ⅰ）当为中点时，求证：平面平面；
（Ⅱ）当时，求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明面面垂直，即证明线面垂直，根据条件可知，根据条件易证明，那么，所以平面，就证明了面面垂直；（Ⅱ）根据等体积转化.
试题解析：
解:(Ⅰ）为中点，所以四边形为矩形，所以当时， 为中点， 所以
因为平面⊥平面， ，所以
因为在面上，所以 所以⊥面
所以面⊥面
∵为中点 ∴ ∴
又∵平面∩平面 ∴,
又
∴
如图,在梯形中, ,
∴,
所以三棱锥的体积.
