高中数学知识点总结高考复习第一轮 66页

高中数学知识点总结 第一章 集合与简单逻辑（P2） 第二章 函数(P5) 第三章 数列(P14) 第四章 三角函数(P18) 第五章 平面向量(P25) 第六章 不等式(P31) 第七章 直线和圆的方程(P35) 第八章 圆锥曲线(P44) 第九章 直线 平面 简单几何体(P49) 第十章 排列组合(P62) 第十一章 导数(P67) 第一章 集合与简易逻辑 集合——知识点归纳 定义：一组对象的全体形成一个集合 特征：确定性、互异性、无序性 表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P} 韦恩图 分类：有限集、无限集 数集：自然数集 N、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R、正整数集 N 、空集φ 关系：属于∈、不属于 、包含于 (或 )、真包含于 、集合相等＝ 运算：交运算 A∩B＝{x|x∈A 且 x∈B}； 并运算 A∪B＝{x|x∈A 或 x∈B}; 补运算 ＝{x|x A 且 x∈U}，U 为全集 性质：A A； φ A； 若 A B，B C，则 A C； A∩A＝A∪A＝A； A∩φ＝φ；A∪φ＝A； A∩B＝A A∪B＝B A B； A∩C A＝φ； A∪C A＝I；C ( C A)＝A； C (A B)＝(C A)∩(C B) 方法：韦恩示意图, 数轴分析 注意：① 区别∈与 、 与 、a 与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② A B 时，A 有两种情况：A＝φ与 A≠φ ③若集合 A 中有 n 个元素，则集合 A 的所有不同的子集个数为 ，所有真子集的个数是 -1, 所有 非空真子集的个数是 ④区分集合中元素的形式：如 ； ； ； ； ； ； ⑤空集是指不含任何元素的集合 、 和 的区别；0 与三者间的关系 空集是任何集合的子集，是任何非空 集合的真子集 条件为 ，在讨论的时候不要遗忘了 的情况 ⑥符号“ ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“ ”是 表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 绝对值不等式——知识点归纳 1 绝对值不等式 * ∉ ⊆ ⊂ ACU ∉ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⇔ ⇔ ⊆ U U U U U ∪ U U ⊆ ⊆ )( Nn ∈ n2 n2 22 −n }12|{ 2 ++== xxyxA }12|{ 2 ++== xxyyB }12|),{( 2 ++== xxyyxC }12|{ 2 ++== xxxxD },,12|),{( 2 ZyZxxxyyxE ∈∈++== }12|)',{( 2 ++== xxyyxF },12|{ 2 x yzxxyzG =++== }0{ φ }{φ BA ⊆ φ=A ∉∈, ,⊄ 与 型不等式 与 型不等式的解法与解集： 不等式 的解集是 ; 不等式 的解集是 不等式 的解集为 ; 不等式 的解集为 2 解一元一次不等式 ① ② 3 韦达定理： 方程 （ ）的二实根为 、 ， 则 且 ①两个正根，则需满足 ， ②两个负根，则需满足 ， ③一正根和一负根，则需满足 4．一元二次不等式的解法步骤 对 于 一 元 二 次 不 等 式 ， 设 相 应 的 一 元 二 次 方 程 的两根为 ， ，则不等式的解的各种情况如下表： ax < )0( >> aax cbax <+ )0( >>+ ccbax )0( >< aax { }axax <<− )0( >> aax { }axaxx −<> 或, )0( ><+ ccbax { } )0(| ><+<− ccbaxcx )0( >>+ ccbax { } )0(,| >>+−<+ ccbaxcbaxx 或 )0( ≠> abax       >> a bxxa ,0       << a bxxa ,0 02 =++ cbxax 0≠a 1x 2x 2 4 0b ac∆ = − ≥      = −=+ a cxx a bxx 21 21    > >+ ≥∆ 0 0 0 21 21 xx xx 1 2 1 2 0 0 0 x x x x ∆ ≥  + <  >    < >∆ 0 0 21xx ( )2 20 0 0ax bx c ax bx c a+ + > + + < >或 ( )2 0 0ax bx c a+ + = > 2121 xxxx ≤且、 acb 42 −=∆ 0>∆ 0=∆ 0<∆ 二次函数 （ ）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 方程的根→函数草图→观察得解，对于 的情况可以化为 的情况解决 注意：含参数的不等式 ax ＋bx＋c>0 恒成立问题 含参不等式 ax ＋bx＋c>0 的解集是 R；其解答分 a＝ 0(验证 bx＋c>0 是否恒成立)、a≠0（a<0 且△<0）两种情况 简易逻辑——知识点归纳 命题 可以判断真假的语句； 逻辑联结词 或、且、非； 简单命题 不含逻辑联结词的命题； 复合命题 由简单命题与逻辑联结词构成的命题 三种形式 p 或 q、p 且 q、非 p 真假判断 p 或 q，同假为假，否则为真； p 且 q，同真为真, 否则为假； 非 p，真假相反 原命题 若 p 则 q；逆命题 若 q 则 p；否命题 若 p 则 q；逆否命题 若 q 则 p；互为逆否的两个命题是等 价的 反证法步骤 假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立 充要条件 条件 p 成立 结论 q 成立，则称条件 p 是结论 q 的充分条件， 　　　　　结论 q 成立 条件 p 成立，则称条件 p 是结论 q 的必要条件， 条件 p 成立 结论 q 成立，则称条件 p 是结论 q 的充要条件， 第二章 函数 x2x1 o y x =x2x1o y x o y x cbxaxy ++= 2 0>a cbxaxy ++= 2 cbxaxy ++= 2 cbxaxy ++= 2 ( )的根0 02 > =++ a cbxax )(, 2121 xxxx < a bxx 221 −== 的解集)0( 02 > >++ a cbxax { }21 xxxxx >< 或       −≠ a bxx 2 的解集)0( 02 > <++ a cbxax { }21 xxxx << ∅ ∅ 0a < 0a > 2 ⇔ 2 ¬ ¬ ¬ ¬ ⇒ ⇒ ⇔ 函数定义——知识点归纳 1 函数的定义：设 A、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集 合 B 中都有唯一确定的数 f（x）和它对应，那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f（x），x∈ A，其中 x 叫做自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合{f （x）|x∈A}叫做函数的值域 2 两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域 A、值域 C 和对应法则 f 当函数的定义域及从定义域到 值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定 因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两 个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数 3 映射的定义：一般地，设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应关系 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集 合 B 中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合 A、B，以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f）叫做集 合 A 到集合 B 的映射，记作 f:A→B 由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求 A、B 非空且皆为数集 4 映射的概念中象、原象的理解：(1) A 中每一个元素都有象;(2)B 中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个 原象；(3)A 中每一个元素的象唯一 函数解析式——知识点归纳 1 函数的三种表示法 （1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析 式 （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系 （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系 2 求函数解析式的题型有： （1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； （2）已知 求 或已知 求 ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式； （4） 满足某个等式，这个等式除 外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法； （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 题型讲解 例 1（1）已知 ，求 ； （2）已知 ，求 ； （3）已知 是一次函数，且满足 ，求 ； ( )f x [ ( )]f g x [ ( )]f g x ( )f x ( )f x ( )f x 3 3 1 1( )f x xx x + = + ( )f x 2( 1) lgf xx + = ( )f x ( )f x 3 ( 1) 2 ( 1) 2 17f x f x x+ − − = + ( )f x （4）已知 满足 ，求 解：（1）∵ ， ∴ （ 或 ） （2）令 （ ）， 则 ，∴ ，∴ （3）设 ， 则 ， ∴ ， ，∴ （4） ①， 把①中的 换成 ，得 ②， ① ②得 ，∴ 注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法 定义域和值域——知识点归纳 由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的 x 的取值范围 它依赖于对各种式 的认识与解不等式技能的熟练 1 求函数解析式的题型有： （1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； （2）已知 求 或已知 求 ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式； （4） 满足某个等式，这个等式除 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法； （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 2 求函数定义域一般有三类问题： （1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合； （2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义； （3）已知 的定义域求 的定义域或已知 的定义域求 的定义域： ①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域； ( )f x 12 ( ) ( ) 3f x f xx + = ( )f x 3 3 3 1 1 1 1( ) ( ) 3( )f x x x xx x x x + = + = + − + 3( ) 3f x x x= − 2x ≥ 2x ≤ − 2 1 tx + = 1t > 2 1x t = − 2( ) lg 1f t t = − 2( ) lg ( 1)1f x xx = >− ( ) ( 0)f x ax b a= + ≠ 3 ( 1) 2 ( 1) 3 3 3 2 2 2f x f x ax a b ax a b+ − − = + + − + − 5 2 17ax b a x= + + = + 2a = 7b = ( ) 2 7f x x= + 12 ( ) ( ) 3f x f xx + = x 1 x 1 32 ( ) ( )f f xx x + = 2× − 33 ( ) 6f x x x = − 1( ) 2f x x x = − ( )f x [ ( )]f g x [ ( )]f g x ( )f x ( )f x ( )f x ( )f x [ ( )]f g x [ ( )]f g x ( )f x ②若已知 的定义域 ，其复合函数 的定义域应由 解出 3 求函数值域的各种方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的 其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2) 求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域 ①直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R； 反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}； 二次函数 的定义域为 R， 当 a>0 时，值域为{ }； 当 a<0 时，值域为{ } ②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式； ③分式转化法（或改为“分离常数法”） ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域 ⑨逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围； 常用来解，型如： 单调性——知识点归纳 1 函数单调性的定义： 2 　证明函数单调性的一般方法: ①定义法：设 ；作差 （一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的 正或负号能清楚地判断出）；判断正负号 ②用导数证明： 若 在某个区间 A 内有导数，则 在 A 内为增函数； 在 A 内为减函数 ( )f x [ ],a b [ ]( )f g x ( )a g x b≤ ≤ ≠ )0( ≠= kx ky ≠ ≠ )0()( 2 ≠++= acbxaxxf a bacyy 4 )4(| 2−≥ a bacyy 4 )4(| 2−≤ ),(,)( 2 nmxcbxaxxf ∈++= )0( >+= kx kxy y x x y ),(, nmxdcx baxy ∈+ += 2121, xxAxx <∈ 且 )()( 21 xfxf − )(xf ( ) 0f x ≥’ ， )x A∈（ ⇔ )(xf ⇔∈≤ )0)( Axxf ，（’ )(xf 3 　求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法 4 复合函数 在公共定义域上的单调性： ①若 f 与 g 的单调性相同，则 为增函数； ②若 f 与 g 的单调性相反，则 为减函数 注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集 5 一些有用的结论： ①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内： 增函数 增函数 是增函数； 减函数 减函数 是减函数； 增函数 减函数 是增函数； 减函数 增函数 是减函数 　④函数 在 上单调递增；在 上是单调递 减 奇偶性——知识点归纳 1 函数的奇偶性的定义； 2 奇偶函数的性质： （1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于 轴对称，奇函数的图象关于原点对称； 3 为偶函数 4 若奇函数 的定义域包含 ，则 5 判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响； 6 牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性； 7 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： ， 8 设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇 [ ])(xgfy = [ ])(xgf [ ])(xgf +)(xf )(xg +)(xf )(xg −)(xf )(xg −)(xf )(xg )0,0( >>+= bax baxy , ,b b a a    −∞ − +∞       或 ,0 0b b a a    −        或 ， y ( )f x ( ) (| |)f x f x⇔ = ( )f x 0 (0) 0f = ( ) ( ) 0f x f x± − = ( ) 1( ) f x f x = ±− ( )f x ( )g x 1 2,D D × × × 1 判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(−x)= ±f(x)f(−x) f(x)=0； 2 讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，要重视这一点； 3 若奇函数的定义域包含 0，则 f(0)=0,因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件； 4 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性 5 若存在常数 T，使得 f(x+T)=f(x)对 f(x)定义域内任意 x 恒成立，则称 T 为函数 f(x)的周期， （5）函数的周期性 定义：若 T 为非零常数，对于定义域内的任一 x，使 恒成立 则 f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期 反函数——知识点归纳 1 反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数； 2 定义域、值域：反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若 与 互为反函 数，函数 的定义域为 、值域为 ，则 ， ； 3 单调性、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于 对称 4 求反函数的一般方法： （1）由 解出 ，（2）将 中的 互换位置，得 ，（3）求 的值域得 的定义域 二次函数——知识点归纳 二次函数是高中最重要的函数，它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系 1 二 次 函 数 的 图 象 及 性 质 : 二 次 函 数 的 图 象 的 对 称 轴 方 程 是 ， 顶 点 坐 标 是 2 二次函数的解析式的三种形式：用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即 ， 和 （顶点式） 3 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论： 令 f(x)=ax2+bx+c (a>0) (1)x1<α,x2<α ,则 ; (2)x1>α,x2>α,则 + )()( xfTxf =+ ( )y f x= 1( )y f x−= ( )y f x= A B 1[ ( )] ( )f f x x x B− = ∈ 1[ ( )] ( )f f x x x A− = ∈ y x= ( )y f x= 1( )x f y−= 1( )x f y−= ,x y 1( )y f x−= ( )y f x= 1( )y f x−= cbxaxy ++= 2 a bx 2 −=       −− a bac a b 4 4 2 2 ， （一般式）cbxaxxf ++= 2)( （零点式）)()()( 21 xxxxaxf −⋅−= nmxaxf +−= 2)()(    > <− ≥∆ 0)( )2/( 0 α α af ab    > >− ≥∆ 0)( )2/( 0 α α af ab (3)αβ (α<β),则 (5）若 f(x)=0 在区间(α,β)内只有一个实根，则有 4 最值问题：二次函数 f(x)=ax2+bx+c 在区间[α,β]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴−b/(2a)在区 间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴−b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边 要注意系数 a 的符号对抛 物线开口的影响 1 讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；② 2 讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区 间的相对位置 5 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系： ① f(x)=ax2+bx+c 的图像与 x 轴无交点 ax2+bx+c=0 无实根 ax2+bx+c>0(<0)的解集为 或者是 R; ② f(x)=ax2+bx+c 的图像与 x 轴相切 ax2+bx+c=0 有两个相等的实根 ax2+bx+c>0(<0)的解集为 或者 是 R; ③ f(x)=ax2+bx+c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 ax2+bx+c=0 有两个不等的实根 ax2+bx+c>0(<0)的 解集为 或者是 指数对数函数——知识点归纳 1 根式的运算性质： ①当 n 为任意正整数时，( ) =a ②当 n 为奇数时， =a；当 n 为偶数时， =|a|= ⑶根式的基本性质： ，（a 0） 2 分数指数幂的运算性质： 3 的图象和性质 a>1 0 > ≥∆ βα β α )2/( 0)( 0)( 0 ab f f    < < ≥∆ 0)( 0)( 0 β α f f 0))( <(βα ff 0∆ < ⇔ ⇔ ⇔ ∅ 0∆ = ⇔ ⇔ ⇔ ∅ 0∆ > ⇔ ⇔ ⇔ ( , )α β ( )α β< ( , ) ( , )α β−∞ +∞ n n na n na    <− ≥ )0( )0( aa aa n mnp mp aa = ≥ )()( ),()( ),( Qnbaab Qnmaa Qnmaaa nnn mnnm nmnm ∈⋅= ∈= ∈=⋅ + )10( ≠>= aaay x 且 图 象 (1)定义域：R （2）值域：（0，+∞） （3）过点（0，1），即 x=0 时，y=1 性 质 （4）在 R 上是增函数 （4）在 R 上是减函数 4 指数式与对数式的互化： 5 重要公式： ， 　对数恒等式 6 对数的运算法则 如果 有 7 对数换底公式： ( a > 0 ,a  1 ，m > 0 ,m  1,N>0) 8 两个常用的推论: ① ， ② （ a, b > 0 且均不为 1） 9 对数函数的性质： a>1 0 ≠ > > log ( ) log loga a aMN M N= + log log loga a a M M NN = − log logn m aa mM Mn = a NN m m a log loglog = 1loglog =⋅ ab ba 1logloglog =⋅⋅ acb cba bm nb a n am loglog = 值域：R 过点（1，0），即当 时， 时 时 时 时 质 在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数 10 同底的指数函数 与对数函数 互为反函数 11 指数方程和对数方程主要有以下几种类型： (1)af(x)=b⇔f(x)=logab, logaf(x)=b⇔f(x)=ab; （定义法） (2)af(x)=ag(x)⇔f(x)=g(x), logaf(x)=logag(x)⇔f(x)=g(x)>0 （转化法） (3)af(x)=bg(x)⇔f(x)logma=g(x)logmb (取对数法) (4)logaf(x)=logbg(x)⇔logaf(x)=logag(x)/logab(换底法) 函数图象变换——知识点归纳 1 作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析 式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象 2 三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等； 3 识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面 4 平移变换：（1）水平平移：函数 的图像可以把函数 的图像沿 轴方向向左 或向右 平移 个单位即可得到； （2）竖直平移：函数 的图像可以把函数 的图像沿 轴方向向上 或向下 平移 个单位即可得到 ① y=f(x) y=f(x+h); ② y=f(x) y=f(x−h); ③y=f(x) y=f(x)+h; ④y=f(x) y=f(x)−h 5 对称变换：（1）函数 的图像可以将函数 的图像关于 轴对称即可得到； （2）函数 的图像可以将函数 的图像关于 轴对称即可得到； （3）函数 的图像可以将函数 的图像关于原点对称即可得到； （4）函数 的图像可以将函数 的图像关于直线 对称得到 1=x 0=y )1,0(∈x 0y )1,0(∈x 0>y ),1( +∞∈x 0 ( 0)a < | |a ( )y f x a= + ( )y f x= x ( 0)a > ( 0)a < | |a h左移 → h右移 → h上移 → h下移 → ( )y f x= − ( )y f x= y ( )y f x= − ( )y f x= x ( )y f x= − − ( )y f x= 1( )y f x−= ( )y f x= y x= ①y=f(x) y= −f(x); ②y=f(x) y=f(−x); ③y=f(x) y=f(2a−x); ④y=f(x) y=f−1(x); ⑤y=f(x) y= −f(−x) 6 翻折变换：（1）函数 的图像可以将函数 的图像的 轴下方部分沿 轴翻折到 轴上方，去掉 原 轴下方部分，并保留 的 轴上方部分即可得到； （2）函数 的图像可以将函数 的图像右边沿 轴翻折到 轴左边替代原 轴左边部分并保留 在 轴右边部分即可得到 7 伸缩变换：（1）函数 的图像可以将函数 的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长 或压缩（ ）为原来的 倍得到； （2）函数 的图像可以将函数 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长 或压缩 （ ）为原来的 倍得到 ①y=f(x) y=f( );② y=f(x) y=ωf(x) 第三章 数列 数列定义——知识点归纳 （1）一般形式： (2)通项公式： (3)前 n 项和： 及数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系： 等差数列——知识点归纳 y=f(x) cba o y x y=|f(x)| cba o y x y=f(|x|) cba o y x 轴x→ 轴y → ax= →直线 xy= →直线 原点 → | ( ) |y f x= ( )y f x= x x x x ( )y f x= x (| |)y f x= ( )y f x= y y y ( )y f x= y ( )y af x= ( 0)a > ( )y f x= ( 1)a > 0 1a< < a ( )y f ax= ( 0)a > ( )y f x= ( 1)a > 0 1a< < 1 a ω× →x ω x ω× →y naaa ,,, 21 … )(nfan = 1 2n nS a a a= + +… 1 1 2 1 ( 1) ( 2)n n n n n S nS a a a a S S n− == + +… ⇔ =  − ≥ 1 等差数列的定义: ①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个 常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示 2 等差数列的判定方法: ②定义法：对于数列 ，若 (常数)，则数列 是等差数列 ③等差中项：对于数列 ，若 ，则数列 是等差数列 3 等差数列的通项公式: ④如果等差数列 的首项是 ，公差是 ，则等差数列的通项为 该公式整理后是关于 n 的一次函数 4 等差数列的前 n 项和: ⑤ ⑥ 对于公式 2 整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 5 等差中项: ⑥如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项 即： 或 在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项； 事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 5 等差数列的性质: ⑦等差数列任意两项间的关系：如果 是等差数列的第 项， 是等差数列的第 项，且 ，公差为 ，则有 ⑧ 对于等差数列 ，若 ，则 也就是： ⑨若数列 是等差数列， 是其前 n 项的和， ，那么 ， ， 成等差数列 如下图 所示： 6 奇数项和与偶数项和的关系： ⑩设数列 是等差数列， 是奇数项的和， 是偶数项项的和， 是前 n 项的和，则有如下性质： 前 n 项的和 当 n 为偶数时， ，其中 d 为公差； 当 n 为奇数时，则 ， ， ， ， （其中 是 等差数列的中间一项） { }na daa nn =−+1 { }na { }na 212 ++ += nnn aaa { }na { }na 1a d dnaan )1(1 −+= 2 )( 1 n n aanS += dnnnaSn 2 )1( 1 −+= a A b A a b 2 baA += baA +=2 na n ma m nm ≤ d dmnaa mn )( −+= { }na qpmn +=+ qpmn aaaa +=+ =+=+=+ −− 23121 nnn aaaaaa { }na nS *Nk ∈ kS kk SS −2 kk SS 23 −              k kkkk S SS kk SS kkk aaaaaaaa 3 232k 31221 S 321 − + − + ++++++++++ { }na 奇S 偶S nS 偶奇 SSSn += d2 nS =− 奇偶S 中偶奇 aS =− S 中奇 a2 1nS += 中偶 a2 1nS −= 1 1 S S − += n n 偶 奇 n=− +=− 偶奇 偶奇 偶奇 SS SS SS Sn 中a 7 前 n 项和与通项的关系： ⑾若等差数列 的前 项的和为 ，等差数列 的前 项的和为 ，则 等比数列——知识点归纳 1 等比数列的概念：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等 比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示（ ） 2 等比中项：如果在 与 之间插入一个数 ，使 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项 也就是，如果是的等比中项，那么 ，即 3 等比数列的判定方法： ①定义法：对于数列 ，若 ，则数列 是等比数列 ②等比中项：对于数列 ，若 ，则数列 是等比数列 4 等比数列的通项公式：如果等比数列 的首项是 ，公比是 ，则等比数列的通项为 或着 5 等比数列的前 n 项和： ○1 ○2 ○3 当 时， 当 时，前 n 项和必须具备形式 6 等比数列的性质： ①等比数列任意两项间的关系：如果 是等比数列的第 项， 是等差数列的第 项，且 ，公比为 ，则 有 ② 对于等比数列 ，若 ，则 也就是： 如图所示： ③若数列 是等比数列， 是其前 n 项的和， ，那么 ， ， 成等比数列如下图所示： 数列的求和——知识点归纳 1 等差数列的前 n 项和公式： { }na 12 −n 12 −nS { }nb 12 −n ' 12 −nS ' 12 12 − −= n n n n S S b a 0≠q a b G a G b G a b G b a G = abG =2 { }na )0(1 ≠=+ qqa a n n { }na { }na 2 12 ++ = nnn aaa { }na { }na 1a q 1 1 −= n n qaa n m n ma a q −= )1(1 )1(1 ≠− −= qq qaS n n )1(1 1 ≠− −= qq qaaS n n 1=q 1naSn = 1q ≠ ( 1),( 0)n nS A q A= − ≠ na n ma m nm ≤ q mn mn qaa −= { }na vumn +=+ vumn aaaa ⋅=⋅ =⋅=⋅=⋅ −− 23121 nnn aaaaaa        n n aa n aa nn aaaaaa ⋅ ⋅ −− − 1 12 ,,,,,, 12321 { }na nS *Nk ∈ kS kk SS −2 kk SS 23 −              k kkkk S SS kk SS kkk aaaaaaaa 3 232k 31221 S 321 − + − + ++++++++++ Sn= Sn= Sn= 当 d≠0 时，Sn 是关于 n 的二次式且常数项为 0； 当 d=0 时（a1≠0），Sn=na1 是关于 n 的正比例式 2 等比数列的前 n 项和公式： 当 q=1 时，Sn=n a1 (是关于 n 的正比例式)； 当 q≠1 时，Sn= Sn= 3 拆项法求数列的和，如 an=2n+3n 4 错位相减法求和，如 an=(2n-1)2n （非常数列的等差数列与等比数列的积的形式） 5 分裂项法求和，如 an=1/n(n+1) （分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式） 6 反序相加法求和，如 an= 7 求数列{an}的最大、最小项的方法： ①an+1-an=…… 如 an= -2n2+29n-3 ② (an>0) 如 an= ③ an=f(n) 研究函数 f(n)的增减性 如 an= 数列的综合应用——知识点归纳 1 通项与前 n 项和的关系： 2 迭加累加法： ， ， ，………， 3 迭乘累乘法： dnnna 2 )1( 1 −+ 2 )( 1 naan + dnnnan 2 )1( −− q qa n − − 1 )1(1 q qaa n − − 1 1 1 1 1n n = − + nnC100    < = > 0 0 0    < = > =+ 1 1 1 1  n n a a n n n 10 )1(9 + 1562 +n n    ≥− ==→ − )2(, )1(, 1 1 nSS naaS nn nn 1 ( ),( 2)n na a f n n−− = ≥若 )2(12 faa =−则 )3(23 faa =− )(1 nfaa nn =− − 1 (2) (3) ( )na a f f f n⇒ − = + +… ， ， ，………， 4 裂项相消法： 5 错位相减法： , 是公差 d≠0 等差数列， 是公比 q≠1 等比数列 所以有 6 通项分解法： 7 等差与等比的互变关系： 8 等比、等差数列和的形式： 9 无穷递缩等比数列的所有项和： 第四章 三角函数 角的概念的推广和弧度制——知识点归纳 1 角 和 终边相同： 2 几种终边在特殊位置时对应角的集合为： )( 1 nga a n n = − 若 )2( 1 2 ga a =则 )3( 2 3 ga a = )( 1 nga a n n = − 1 (2) ( )na g g na ⇒ = … )11(1 ))(( 1 CAnBAnBCCAnBAnan +−+−=++= nnn cba ⋅= { }nb { }nc nnnnn cbcbcbcbS ++…++= −− 112211 1121 +− ++……+= nnnnn cbcbcbqS则 13211 )()1( +−……+++=− nnnn cbdccccbSq nnn cba ±= { } { }na na b⇔ ≠成等差数列 ( b>0, b 1) 成等比数列 { } { }n na ca d⇔ + ≠成等差数列 ( c 0) 成等差数列 { } { }0 log na n b na a > ⇔成等比数列 成等差数列 { } { }k n na a⇒成等比数列 成等比数列 { } BnAnSBAnaa nnn +=⇔+=⇔ 2成等差数列 { } ( 1)( 0)n n na S A q A≠ ⇔ = − ≠( q 1) 成等比数列 { } 1lim 1n nn aa S S q→∞ ⇔ = = −( | q| <1) 成等比数列 α β Zkk ∈°×+= 360αβ 角的终边所在位置 角的集合 X 轴正半轴 Y 轴正半轴 X 轴负半轴 Y 轴负半轴 X 轴 Y 轴 坐标轴 3 弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 1 弧度角 角度制与弧度制的互化： 1 弧度 4 弧长公式： （ 是圆心角的弧度数） 5 扇形面积公式： 任意角的三角函数、诱导公式——知识点归纳 1 三角函数的定义:以角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角 的终边上任取一个异于 原点的点 ，点 P 到原点的距离记为 ，那么 ； ； ； （ ； ； ） 2 三角函数的符号： 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我 们 可 以 得 知 ： ① 正 弦 值 对 于 第 一 、 二 象 限 为 正 （ ），对于第三、四象限为负（ ）； ②余弦值 对于第一、四象限为正（ ），对于 第二、三象限为负（ ）；③正切值 对于第 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ sin + + － － cos + － － + tan + － + － cot + － + － { }Zkk ∈°×= ,360|αα { }Zkk ∈°+°×= ,90360|αα { }Zkk ∈°+°×= ,180360|αα { }Zkk ∈°+°×= ,270360|αα { }Zkk ∈°×= ,180|αα { }Zkk ∈°+°×= ,90180|αα { }Zkk ∈°×= ,90|αα π=°180 1801 π=° °≈°= 3.57180 π rl ||α= α 2||2 1 2 1 rrlS α== α α ),( yxP 2 2 2 2( | | | | 0)r r x y x y= + = + > sin y r α = cos x r α = tan y x α = cot x y α = sec r x α = csc r y α = y r 0, 0y r> > 0, 0y r< > x r 0, 0x r> > 0, 0x r< > y x α α α α α 一、三象限为正（ 同号），对于第二、四象限为负（ 异号） 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。 3 特殊角的三角函数值： 0 sin 0 1 0 cos 1 0 0 tan 0 1 ∞ 0 ∞ cot ∞ 1 0 ∞ 0 4 三角函数的定义域、值域： 函 数 定 义 域 值 域 5 诱导公式：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。 诱导公式一： ， ，其中 诱导公式二： ； 诱导公式三： ； 诱导公式四： ； 诱导公式五： ； － sin sin －sin sin －sin －sin sin cos cos cos cos －cos －cos cos cos sin tan tan -tan -tan tan -tan tan -------- ,x y ,x y α 6 π 4 π 3 π 2 π π 2 3π α 2 1 2 2 2 3 1− α 2 3 2 2 2 1 1− α 3 3 3 α 3 3 3 siny α= R [ 1,1]− cosy α= R [ 1,1]− tany α= { | , }2 k k Z πα α π≠ + ∈ R sin( 2 ) sinkα π α+ = cos( 2 ) coskα π α+ = k Z∈ sin(180 )α+ = sinα− cos(180 )α+ = − cosα sin( ) sinα α− = − cos( ) cosα α− = sin(180 ) sinα α− = cos(180 ) cosα α− = − sin(360 ) sinα α− = − cos(360 ) cosα α− = α α απ − απ + απ −2 ）（ zk 2 ⊂ +απk απ − 2 α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α （1）要化的角的形式为 （ 为常整数）； （2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”。 同角三角函数的基本关系——知识点归纳 1 倒数关系： ， ， 2 商数关系： ， 3 平方关系： ， ， 两角和与差的正弦、余弦、正切——知识点归纳 1 和、差角公式 ； ； 2 二倍角公式 ； ； 3 降幂公式 ； ； 4 半角公式 ； ； 5 万能公式 ； ； 6 积化和差公式 ； ； ； 7 和差化积公式 180k α⋅ ± k sin csc 1α α⋅ = cos sec 1α α⋅ = tan cot 1α α⋅ = sin tancos α αα = coscot sin αα α= 2 2sin cos 1α α+ = 2 21 tan secα α+ = 2 21 cot cscα α+ = βαβαβα sincoscossin)sin( ±=± βαβαβα sinsincoscos)cos( =± tan tantan( ) 1 tan tan α βα β α β ±± =  ααα cossin22sin = ααααα 2222 sin211cos2sincos2cos −=−=−= 2 2tantan 2 1 tan αα α= − ααα 2sin2 1cossin = 2 2cos1sin 2 αα −= 2 2cos1cos2 αα += 2 cos1 2sin αα −±= 2 cos1 2cos αα +±= 1 cos sin 1 costan 2 1 cos 1 cos sin α α α α α α α − −= ± = =+ + 2 2tan 2sin 1 tan 2 α α α= + 2 2 1 tan 2cos 1 tan 2 α α α − = + 2 2tan 2tan 1 tan 2 α α α= − )]sin()[sin(2 1cossin βαβαβα −++= )]sin()[sin(2 1sincos βαβαβα −−+= )]cos()[cos(2 1coscos βαβαβα −++= )]cos()[cos(2 1sinsin βαβαβα −−+−= ； ； ； 8 三倍角公式： sin3 = cos3 = 9 辅助角公式： 三角函数的图像与性质——知识点归纳 1 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2 三角函数的单调区间： 的递增区间是 ， 递减区间是 ； 的递增区间是 ， 递减区间是 ， 1 -1 y=sinx -3π 2 -5π 2 -7π 2 7π 2 5π 2 3π 2 π 2 - π 2 -4π -3π -2π 4π3π2ππ-π o y x 1 -1 y=cosx -3π 2 -5π 2 -7π 2 7π 2 5π 2 3π 2 π 2 - π 2 -4π -3π -2π 4π 3π 2π π-π o y x y=tanx 3π 2 ππ 2 -3π 2 -π - π 2 o y x y=cotx 3π 2 ππ 2 2π-π - π 2 o y x 2cos2sin2sinsin βαβαβα −+=+ 2sin2cos2sinsin βαβαβα −+=− 2cos2cos2coscos βαβαβα −+=+ 2sin2sin2coscos βαβαβα −+−=− α αα 3sin4sin3 − α αα cos3cos4 3 − ( )2 2sin cos sina x b x a b x ϕ+ = + ⋅ + 2 2 2 2 sin cosb a a b a b ϕ ϕ= = + + 其中 ， xy sin=     +− 2222 ππππ kk ， )( Zk ∈     ++ 2 3222 ππππ kk ， )( Zk ∈ xy cos= [ ]πππ kk 22 ，− )( Zk ∈ [ ]πππ +kk 22 ， )( Zk ∈ 的递增区间是 ， 的递减区间是 3 函数 最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，频率是 ，相位是 ，初相是 ；其图 象的对称轴是直线 ，凡是该图象与直线 的交点都是该图象的对称中心 4 由 y＝sinx 的图象变换出 y＝sin(ωx＋ )的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图 象变换 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现 无论哪种变形，请切记每一个变换 总是对字母 x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y＝sinx 的图象向左( ＞0)或向右( ＜0)平移｜ ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞0)，便得 y＝sin(ωx＋ )的图象 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换 先将 y＝sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞0),再沿 x 轴向左( ＞0)或向右( ＜0＝平移 个单位，便得 y＝sin(ωx＋ )的图象 5 由 y＝Asin(ωx＋ )的图象求其函数式： 给出图象确定解析式 y=Asin（ωx+ ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ ，0）作为突破口，要从 图象的升降情况找准第一个零点的位置 6 对称轴与对称中心： 的对称轴为 ，对称中心为 ； 的对称轴为 ，对称中心为 ； 对于 和 来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系 7 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意 A、 的正负 利用单调性 三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8 求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“ 、 ”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定 tgxy =      +− 22 ππππ kk ， )( Zk ∈ ctgxy = ( )πππ +kk ， )( Zk ∈ BxAy ++= )sin( ϕω ），（其中 00 >> ωA BA + AB − ω π2=T π ω 2 =f ϕω +x ϕ )(2 Zkkx ∈+=+ ππϕω By = ϕ ϕ ϕ ϕ ω 1 ϕ ω 1 ϕ ϕ ω ϕ || ϕ ϕ ϕ ω ϕ siny x= 2x k ππ= + ( ,0) k k Zπ ∈ cosy x= x kπ= 2( ,0)k ππ + sin( )y A xω φ= + cos( )y A xω φ= + ω sin( )y A xω φ= + cos( )y A xω φ= + 义法 9 五点法作 y=Asin（ωx+ ）的简图： 五点取法是设 x=ωx+ ，由 x 取 0、 、π、 、2π来求相应的 x 值及对应的 y 值，再描点作图 三角函数的最值及综合应用——知识点归纳 1 y=asinx+bcosx 型函数最值的求法：常转化为 y= sin（x+ ） 2 y=asin2x+bsinx+c 型 常通过换元法转化为 y=at2+bt+c 型： 3 y= 型 （1）当 时，将分母与 乘转化变形为 sin（x+ ）＝ 型 （2）转化为直线的斜率求解 （特别是定义域不是 R 时，必须这样作） 4．同角的正弦余弦的和差与积的转换： 同 一 问 题 中 出 现 ， 求 它 们 的 范 围 ， 一 般 是 令 或 或 ，转化为关于 的二次函数来解决 5．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值： 如已知 ，求 的值，一般是将不包括常数项的式子的分母 1 用 代换，然后分子分母同时除以 化为关于 的表达式 6．几个重要的三角变换： sin α cos α 可凑倍角公式； 1±cos α 可用升次公式； 1±sin α 可化为 ，再用升次公式； 或 （其中 ）这一公式应用广泛，熟练掌握． 7 单位圆中的三角函数线:三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数 y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x 的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的． 8 三角函数的图象的掌握体现：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟 练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图． 9 三角函数的奇偶性 ϕ ϕ 2 π 2 π3 2 2a b+ ϕ dxc bxa + + cos sin x R∈ y ϕ ( )f y sin cos ,sin cos ,sin cosx x x x x x+ − • sin cosx x t+ = 2 1sin cos sin cos 2 tx x t x x −− = ⇒ • = 2 1sin cos 2 tx x −• = − t tan 2x = 2 2sin 2sin cos cos 4x x x x+ ⋅ + + 2 2sin cosx x+ 2cos x tan x      −± απ 2cos1 2 1 sin sin cos2 2 α αα  ± = ±   ( )ϕααα ++=+ sincossin 22 baba a b=ϕtan ① 函数 y = sin (x＋φ)是奇函数 ． ② 函数 y = sin (x＋φ)是偶函数 ． ③ 函数 y =cos (x＋φ)是奇函数 ． ④ 函数 y = cos (x＋φ)是偶函数 ． 10 正切函数的单调性 正切函数 f (x) = tan x， ，在每一个区间 上都是增函数， 但不能说 f (x ) = tan x 在其定义域上是增函数． 第五章平面向量 平面向量的基本运算——知识点归纳 1 向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量一般用 ……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如： 几何表示法 ， ；坐标表示法 向量的大小即向量的模（长度），记作| | 即向量的 大小，记作｜ ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为 0 的向量，记为 ，其方向是任意的， 与任意向量平行 零向量 ＝ ｜ ｜＝0 由于 的 方向是任意的，且规定 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个 条件．（注意与 0 的区别） ③单位向量：模为 1 个单位长度的向量 向量 为单位向量 ｜ ｜＝1  ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上 方向相同或相反的 向量，称为平行向量 记作 ∥ 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上， 故平行向量也称为共线向量  数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中 的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． πϕ k=⇔ ( )Z∈k ( )Z∈+=⇔ kk 2 ππϕ ( )Z∈+=⇔ kk 2 ππϕ ( )Z∈=⇔ kkπϕ 2 ππ +≠ kx ( )Z∈k      +− 22 ππππ kk ， ( )Z∈k cba  ,, AB AB a ),( yxyjxia =+= AB a 0 0 a 0 ⇔ a 0 0 0a ⇔ 0a a b ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为 大小相等，方向相同 2 向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设 ，则 + = = （1） ；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线， 而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这 些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形 法则可推广至多个向量相加： ，但这时必须“首尾相连”． 3 向量的减法 ① 相反向量：与 长度相等、方向相反的向量，叫做 的相反向量 记作 ,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有： （i） = ； (ii) +( )=( )+ = ； (iii)若 、 是互为相反向量，则 = , = , + = ②向量减法：向量 加上 的相反向量叫做 与 的差， 记作： 求两个向量差的运算，叫做向量的减法 ③作图法： 可以表示为从 的终点指向 的终点的向量（ 、 有共同起点） 4 实数与向量的积： ①实数λ与向量 的积是一个向量，记作λ ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ） ； （Ⅱ）当 时，λ 的方向与 的方向相同；当 时，λ 的方向与 的方向相反；当 时， ，方向是任意的 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 ba  = ),(),( 2211 yxyx =    = =⇔ 21 21 yy xx ,AB a BC b= =   a b AB BC+  AC aaa  =+=+ 00 AB BC CD PQ QR AR+ + + + + =       a a a− )( a−− a a a− a− a 0 a b a b− b a− a b 0 a b a b )( baba  −+=− ba  − b a a b a a aa  ⋅= λλ 0>λ a a 0<λ a a 0=λ 0 =aλ 5 两个向量共线定理： 向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 = 6 平面向量的基本定理： 如果 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 使： 其中不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意: （1）向量的加法与减法是互逆运算 （2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况 （4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 平面向量的坐标运算——知识点归纳 1 平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 作为基底 由平面向量 的基本定理知，该平面内的任一向量 可表示成 ，由于 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向 量 的坐标，记作 =(x,y)，其中 x 叫作 在 x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标 (1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 2 平面向量的坐标运算： (1) 若 ，则 (2) 若 ，则 (3) 若 =(x,y)，则 =( x, y) (4) 若 ，则 (5) 若 ，则 若 ，则 3 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质  运 算 类 型 几何方法 坐标方法 运算性质 b a ⇔ λ b aλ 21,ee  a 21,λλ 2211 eea  λλ += 21,ee  ,i j  a a xi yj= +  a a a a ( ) ( )1 1 2 2, , ,a x y b x y= = ( )1 2 1 2,a b x x y y± = ± ± ( ) ( )2211 ,,, yxByxA ( )2 1 2 1,AB x x y y= − − a λ a λ λ ( ) ( )1 1 2 2, , ,a x y b x y= = 1 2 2 1// 0a b x y x y⇔ − = ( ) ( )1 1 2 2, , ,a x y b x y= = 1 2 1 2a b x x y y⋅ = ⋅ + ⋅ a b⊥  02121 =⋅+⋅ yyxx 向 量 的 加 法 1 平行四边形法则 2 三角形法则 向 量 的 减 法 三角形法则 向 量 的 乘 法 是一个向量, 满足: >0 时, 与 同向; <0 时, 与 异向; =0 时, = ∥ 向 量 的 数 量 积 是一个数 或 时, =0 且 时, , 平面向量的数量积——知识点归纳 1 两个向量的数量积： 已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则 · =︱ ︱·︱ ︱cos 叫做 与 的数量积（或内积） 规定 2 向量的投影：︱ ︱cos = ∈R，称为向量 在 方向上的投影 投影的绝对值称为射影 3 数量积的几何意义： · 等于 的长度与 在 方向上的投影的乘积 4 向量的模与平方的关系： 5 乘法公式成立： 1 2 1 2( , )a b x x y y+ = + + abba  +=+ )()( cbacba  ++=++ AB BC AC+ =   1 2 1 2( , )a b x x y y− = − − )( baba  −+=− AB BA= −  OB OA AB− =   aλ λ aλ a λ aλ a λ aλ 0 ),( yxa λλλ = aa  )()( λµµλ = aaa  µλµλ +=+ )( baba  λλλ +=+ )( a bab  λ=⇔ ba  • 0 =a 0=b ba • 0 ≠a 0 ≠b ><=• bababa  ,cos|||| 1 2 1 2a b xx y y• = + abba  •=• )()()( bababa  •=•=• λλλ cbcacba  •+•=•+ )( 22 || aa  = 22|| yxa += |||||| baba  ≤• a b θ a b a b θ a b 0 0a⋅ =  b θ | | a b a ⋅   b a a b a b a 2 2| |a a a a⋅ = =    ； 6 平面向量数量积的运算律： ①交换律成立： ②对实数的结合律成立： ③分配律成立： 特别注意：（1）结合律不成立： ； （2）消去律不成立 不能得到 （3） =0 不能得到 = 或 = 7 两个向量的数量积的坐标运算： 已知两个向量 ，则 · = 8 向量的夹角：已知两个非零向量 与 ，作 = , = ,则∠AOB= （ ）叫做向量 与 的 夹角 cos = = 当且仅当两个非零向量 与 同方向时，θ=00，当且仅当 与 反方向时θ=1800，同时 与其它任何非零向量之 间不谈夹角这一问题 9 垂直：如果 与 的夹角为 900 则称 与 垂直，记作 ⊥ 10 两个非零向量垂直的充要条件： ⊥ · ＝O 平面向量数量积的性质 线段的定比分点与平移——知识点归纳 1 线段的定比分点定义：设 P1,P2 是直线 L 上的两点，点 P 是 L 上不同于 P1,P2 的任意一点，则存在一个实数 ，使 ， 叫做点 P 分有向线段 所成的比 当点 P 在线段 上时， ；当点 P 在线段 或 的延长线上时， <0 2 定比分点的向量表达式：点 P 分有向线段 所成的比是 ， 则 （O 为平面内任意点） ( ) ( ) 222 2a b a b a b a b+ ⋅ − = − = −       ( )2 2 22a b a a b b± = ± ⋅ +     22 2a a b b= ± ⋅ +   a b b a⋅ = ⋅   ( ) ( ) ( )( )a b a b a b Rλ λ λ λ⋅ = ⋅ = ⋅ ∈     ( )a b c a c b c± ⋅ = ⋅ ± ⋅      ( )c a b= ⋅ ±   ( ) ( )a b c a b c⋅ ⋅ ≠ ⋅ ⋅     a b a c⋅ = ⋅   b c= ⋅  a b⋅  a 0 b 0 1 1 2 2( , ), ( , )a x y b x y= = a b 1 2 1 2x x y y+ a b OA a OB b θ 00 1800 ≤≤ θ a b θ cos , a ba b a b •< >= •   2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx +⋅+ + a b a b 0 a b a b a b a b ⇔ a b ⇔ 02121 =+ yyxx λ 1 2PP PPλ=  λ 1 2PP 1 2PP 0>λ 1 2PP 1 2PP λ 1 2PP λ 1 2 1 1 1OP OP OP λ λ λ= ++ +    3 定比分点的坐标形式: ,其中 P1(x1,y1), P2(x2,y2), P (x,y) 4 中点坐标公式: 当 =1 时，分点 P 为线段 的中点，即有 5 的重心坐标公式： 6 图形平移的定义:设 F 是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形 F’，我们 把这一过程叫做图形的平移 7 平移公式: 设点 按向量 平移后得到点 ，则 ＝ + 或 ，曲线 按向量 平移后所得的曲线的函数解析式为： 这个公式叫做点的平移公式，它反映了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系 解三角形及应用举例——知识点归纳 1 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的直径 即 （其中 R 表示三角形的外接圆半径） 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已 知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 （从而进一步求出其他的边和角） 2 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 第一形式， = ，第二形式，cosB= 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹 角，求第三边和其他两个角 3 三角形的面积：△ABC 的面积用 S 表示，外接圆半径用 R 表示，内切圆半径用 r 表示，半周长用 p 表示则 ① ；② ； ③ ；④ ； ⑤ ；⑥ （其中 ） 4 三角形内切圆的半径： ，特别地， 5 三角学中的射影定理：在△ABC 中， ，…      + += + += λ λ λ λ 1 1 21 21 yyy xxx λ 1 2PP      += += 2 2 21 21 yyy xxx ABC∆      ++= ++= 3 3 CBA CBA yyyy xxxx ),( yxP ),( kha = ),( yxP ′′′ OP′ OP a    +=′ +=′ . , kyy hxx )(xfy = ),( kha = )( hxfky −=− RC c B b A a 2sinsinsin === 2b Bacca cos222 −+ ac bca 2 222 −+ =⋅= ahaS 2 1 == AbcS sin2 1 CBARS sinsinsin2 2= R abcS 4 = ))()(( cpbpappS −−−= prS = 2 a b cp + += 2Sr a b c ∆= + + 2 a b cr + −= 斜 直 AcCab coscos ⋅+⋅= 6 两内角与其正弦值：在△ABC 中， ，… 7 三内角与三角函数值的关系：在△ABC 中 解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理 解” 第六章 不等式 不等式的概念与性质——知识点归纳 1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系： 2．不等式的性质： （1） ， （反对称性） （2） ， （传递性） （3） ，故 （移项法则） 推论： （同向不等式相加） （4） ， 推论 1： 推论 2： 推论 3： 算术平均数与几何平均数——知识点归纳 1．常用的基本不等式和重要的不等式 （1） 当且仅当 （2） （3） ，则 （4） 2 最值定理:设 （1）如积 BABA sinsin <⇔< sin(A+B)=sinC cos(A+B) -cosC tan(A+B) -tanC= = 2cos2sin CBA =+ 2sin2cos CBA =+ tan cot2 2 A B C+ = tan tan tan tan tan tanA B C A B C+ + = ⋅ ⋅ 0>−⇔> baba 0<−⇔< baba 0=−⇔= baba abba <⇔> abba >⇔< cacbba >⇒>> , cacbba <⇒<< , cbcaba +>+⇒> bcacba −>⇒>+ dbcadcba +>+⇒>> , bcaccba >⇒>> 0, bcaccba <⇒<> 0, bdacdcba >⇒>>>> 0,0 nn baba >⇒>> 0 nn baba >⇒>> 0 0,0, 2 ≥≥∈ aaRa ”取“ == ,0a abbaRba 2,, 22 ≥+∈ 则 +∈ Rba, abba 2≥+ 2 22 )2(2 baba +≤+ xyyxyx 2,0., ≥+由 PyxPxy 2( 有最小值定值），则积 += （2）如积 即:积定和最小，和定积最大 运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 3 均值不等式: 两个正数的均值不等式： 三个正数的均值不等是： n 个正数的均值不等式： 4 四种均值的关系：两个正数 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是 不等式的证明——知识点归纳 不等式的证明方法 （1）比较法：作差比较： 作差比较的步骤： ①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差 ②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和 ③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小 （2）综合法：由因导果 （3）分析法：执果索因 基本步骤：要证……只需证……，只需证…… ①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件 ②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后 用“综合法”进行表达 （4）反证法：正难则反 （5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的 放缩法的方法有： ①添加或舍去一些项，如： ； ； ②将分子或分母放大（或缩小） ③利用基本不等式， 2 2( ）有最大值（定值），则积 SxySyx =+ abba ≥+ 2 3 3 abccba ≥++ n n n aaan aaa  21 21 ≥+++ ba、 2211 2 22 babaab ba +≤+≤≤ + BABA ≤⇔≤− 0 aa >+12 nnn >+ )1( 如： ； ④利用常用结论： Ⅰ、 ； Ⅱ、 ； （程度大） Ⅲ、 ； （程度小） （6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数 换元 如： 已知 ，可设 ； 已知 ，可设 ( )； 已知 ，可设 ； 已知 ，可设 ； （7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式； 证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据 题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技 巧和语言特点． （8）数学归纳法法 解不等式——知识点归纳 1．解不等式问题的分类 (1)解一元一次不等式． (2)解一元二次不等式． (3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式． ①解一元高次不等式； ②解分式不等式； ③解无理不等式； ④解指数不等式； 4lg16lg15lg)2 5lg3lg(5lg3log 2 =<=+<⋅ 2 )1()1( ++<+ nnnn kkk kk 2 1 1 11 < ++ =−+ kkkkk 1 1 1 )1( 11 2 −−=−< 1 11 )1( 11 2 +−=+> kkkkk )1 1 1 1(2 1 )1)(1( 1 1 11 22 +−−=+−=−< kkkkkk 222 ayx =+ θθ sin,cos ayax == 122 ≤+ yx θθ sin,cos ryrx == 10 ≤≤ r 12 2 2 2 =+ b y a x θθ sin,cos byax == 12 2 2 2 =− b y a x θθ tan,sec byax == ⑤解对数不等式； ⑥解带绝对值的不等式； ⑦解不等式组． 2．解不等式时应特别注意下列几点： (1)正确应用不等式的基本性质． (2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性． (3)注意代数式中未知数的取值范围． 3．不等式的同解性 (5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0) (6)|f(x)|＞g(x) 与 ①f(x)＞g(x)或 f(x)＜－g(x)(其中 g(x)≥0)；②g(x)＜0 同解 (9)当 a＞1 时，af(x)＞ag(x)与 f(x)＞g(x)同解， 当 0＜a＜1 时，af(x)＞ag(x)与 f(x)＜g(x)同解． 4 零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法 (1)f(x) g(x) 0 f(x) 0 g(x) 0 f(x) 0 g(x) 0 · ＞ 与 ＞ ＞ 或 ＜ ＜ 同解．       (2)f(x) g(x) 0 f(x) 0 g(x) 0 f(x) 0 g(x) 0 · ＜ 与 ＞ ＜ 或 ＜ ＞ 同解．       (3) f(x) g(x) 0 f(x) 0 g(x) 0 f(x) 0 g(x) 0 (g(x) 0)＞ 与 ＞ ＞ 或 ＜ ＜ 同解． ≠       (4) f(x) g(x) 0 f(x) 0 g(x) 0 f(x) 0 g(x) 0 (g(x) 0)＜ 与 ＞ ＜ 或 ＜ ＞ 同解． ≠       (7) f(x) g(x) f(x) [g(x)] f(x) 0 g(x) 0 f(x) 0 g(x) 0 2 ＞ 与 ＞ ≥ ≥ 或 ≥ ＜ 同解．         (8) f(x) g(x) f(x) [g(x)] f(x) 0 2 ＜ 与 ＜ ≥ 同解．    (10) a 1 log f(x) log g(x) f(x) g(x) f(x) 0a a当 ＞ 时， ＞ 与 ＞ ＞ 同解．    当 ＜ ＜ 时， ＞ 与 ＜ ＞ ＞ 同解．0 a 1 log f(x) log g(x) f(x) g(x) f(x) 0 g(x) 0 a a      步骤：①形式： ②首项系数符号>0——标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为正 ③判断或比较根的大小 绝对值不等式——知识点归纳 1．解绝对值不等式的基本思想:解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方 2．注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题 ||a|─|b||≤|a+b|≤|a|+|b|;||a|─|b||≤|a─b|≤|a|+|b|;并指出等号条件 3．(1) |f(x)|g(x)⇔f(x)>g(x)或 f(x)<─g(x) （无论 g(x)是否为正） （3）含绝对值的不等式性质（双向不等式） 左边在 时取得等号，右边在 时取得等号 第七章 直线和圆的方程 直线方程——知识点归纳 1 数轴上两点间距离公式： 2 直角坐标平面内的两点间距离公式： 3 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和 直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角 当直线和 x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为 0° 可见，直线倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180° 4 直线的斜率：倾斜角α不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用 k 表示，即 k=tanα（α≠ 90°） 倾斜角是 90°的直线没有斜率；倾斜角不是 90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞） 5 直线的方向向量：设 F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量 =（x2－x1，y2－y1）称为直线 的方向向量 向量 =（1， ）=（1，k）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率 特别地，垂直于 轴的 分母）移项，通分（不轻易去←> 0)( )( xQ xP bababa +≤±≤± )0(0 ≥≤ab )0(0 ≤≥ab AB xxAB −= 2 21 2 2121 )()( yyxxPP −+−= 21FF 12 1 xx − 21FF 12 12 xx yy − − x 直线的一个方向向量为 ＝(0,1) 6 求直线斜率的方法 ①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率 k=tanα ②公式法：已知直线过两点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且 x1≠x2，则斜率 k= ③方向向量法：若 =（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率 k= 平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率 对于直线上任意两点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当 x1=x2 时，直线斜率 k 不存在，倾斜角α=90°；当 x1≠x2 时， 直线斜率存在，是一实数，并且 k≥0 时，α=arctank；k＜0 时，α=π+arctank 7 直线方程的五种形式 点斜式： ， 斜截式： 两点式： ， 截距式： 一般式： 两直线的位置关系——知识点归纳 1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为 0 时，一条直线的倾斜角为 90°，另一条直线的倾斜角为 0°，两直线互相垂直 2．斜率存在时两直线的平行与垂直： 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行， 即 = 且 已知直线 、 的方程为 ： ， ： ∥ 的充要条件是 ⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是 和 ，则这两条直线垂直的充要条件是 ． 已知直线 和 的一般式方程为 ： ， ： ，则 ． 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 a 12 12 xx yy − − a m n )( 00 xxkyy −=− bkxy += 12 1 12 1 xx xx yy yy − −=− − 1=+ b y a x 0=++ CByAx 21 //ll ⇔ 1k 2k 21 bb ≠ 1l 2l 1l 0111 =++ CyBxA 2l 0222 =++ CyBxA )0,0( 222111 ≠≠ CBACBA 1l 2l 2 1 2 1 2 1 C C B B A A ≠= 1k 2k 121 −=kk 1l 2l 1l 0111 =++ CyBxA 2l 0222 =++ CyBxA 1l ⊥ 2l ⇔ 02121 =+ BBAA 3 直线 到 的角的定义及公式： 直线 按逆时针方向旋转到与 重合时所转的角,叫做 到 的角 到 的角 ：0°＜ ＜180°， 如果 如果 ， 4．直线 与 的夹角定义及公式: 到 的角是 , 到 的角是π- ,当 与 相交但不垂直时, 和π- 仅有一个角是锐角,我们把其中 的锐角叫两条直线的夹角 当直线 ⊥ 时,直线 与 的夹角是 夹角 ：0°＜ ≤90° 如果 如果 ， 5．两条直线是否相交的判断 两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组： 是否有惟一解 6．点到直线距离公式： 点 到直线 的距离为： 7．两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线 和 的一般式方程为 ： ， ： ，则 与 的距离为 8 直线系方程:若两条直线 ： ， ： 有交点，则过 与 交点的直线系方 程为 ＋ 或 + (λ为常数) 简单的线性规划及实际应用——知识点归纳 1 二元一次不等式表示平面区域: 在平面直角坐标系中，已知直线 Ax+By+C=0，坐标平面内的点 P（x0，y0） B＞0 时，①Ax0+By0+C＞0，则点 P（x0，y0）在直线的上方；②Ax0+By0+C＜0，则点 P（x0，y0）在直线的下方 对于任意的二元一次不等式 Ax+By+C＞0（或＜0），无论 B 为正值还是负值，我们都可以把 y 项的系数变形为 正数 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 1l 2l 1l 2l 1l 2l 1l 2l θ θ .2,1,01 2121 πθ =−==+ 则即 kkkk 01 21 ≠+ kk 12 12 1tan kk kk + −=θ 1l 2l 1l 2l 1θ 2l 1l 1θ 1l 2l 1θ 1θ 1l 2l 1l 2l 2 π α α .2,1,01 2121 πα =−==+ 则即 kkkk 01 21 ≠+ kk 12 12 1tan kk kk + −=α    =++ =++ 0 0 222 111 CyBxA CyBxA ),( 00 yxP 0: =++ CByAxl 22 00 BA CByAxd + ++= 1l 2l 1l 01 =++ CByAx 2l 02 =++ CByAx 1l 2l 22 21 BA CCd + −= 1l 0111 =++ CyBxA 2l 0222 =++ CyBxA 1l 2l )( 111 CyBxA ++ 0)( 222 =++ CyBxAλ )( 222 CyBxA ++ 0)( 111 =++ CyBxAλ 当 B＞0 时，①Ax+By+C＞0 表示直线 Ax+By+C=0 上方的区域；②Ax+By+C＜0 表示直线 Ax+By+C=0 下方的区 域 2 线性规划: 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目 标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解 生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题 线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量 x、y； （2）找出线性约束条件； （3）确定线性目标函数 z=f（x，y）； （4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系 f（x，y）=t（t 为参数）； （6）观察图形，找到直线 f（x，y）=t 在可行域上使 t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案 曲线和方程——知识点归纳 1．平面解析几何研究的主要问题：根据已知条件求出表示平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质 2．“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义： 在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性） (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性） 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 3．定义的理解： 设 P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x，y)|f(x，y)=0}，若设点 M 的坐标为(x 0，y0)，则用集 合的观点，上述定义中的两条可以表述为： 以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)： 为曲线 C 的方程；曲线 C 为方程 f(x，y)=0 的曲线(图形)． 在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 (1)M P (x y ) Q P Q (2)(x y ) Q M P Q P 0 0 0 0 ∈ ， ∈ ，即 ； ， ∈ ∈ ，即 ． ⇒ ⊆ ⇒ ⊆ (1)(x y ) Q M P (2)M P (x y ) Q 0 0 0 0 ， ； ， ． ∉ ⇒ ∉ ∉ ⇒ ∉ 显然，当且仅当 且 ，即 时，才能称方程 ，P Q Q P P = Q f(x y) = 0⊆ ⊆ 0),( =yxf 件．两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化 为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题．这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法 4 求简单的曲线方程的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点 M 的坐标； （2）写出适合条件 P 的点 M 的集合； （3）用坐标表示条件 P（M），列出方程 ; （4）化方程 为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的 解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程． 5 由方程画曲线(图形)的步骤： ①讨论曲线的对称性(关于 x 轴、y 轴和原点)； ②求截距： ③讨论曲线的范围； ④列表、描点、画线． 6．交点：求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组． 7．曲线系方程：过两曲线 f1(x，y)=0 和 f2(x，y)=0 的交点的曲线系方程是 f1(x，y)＋λf2(x，y)=0(λ∈R)． 求轨迹有直接法、定义法和参数法，最常使用的就是参数法 一个点的运动是受某些因素影响的 所以求轨迹问题时，我们经常要分析作图过程，顺藤摸瓜，从中找出影响动点的 因素 最后确定一个或几个因素作为基本量，找出它们和动点坐标的关系，列出方程 这就是参数法 圆的方程——知识点归纳 1．圆的定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆． 2 圆的标准方程 圆心为（a，b），半径为 r 的圆的标准方程为 方程中有三个参量 a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆 3 圆的一般方程 新疆 学案 王新敞 新疆 学案 王新敞 方程组 ， 的解是曲线与 轴交点的坐标；f x y y ( ) = =    0 0 x 方程组 ， 的解是曲线与 轴交点的坐标；f x y x ( ) = =    0 0 y 0),( =yxf 0),( =yxf 222 )()( rbyax =−+− 二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 （*）配方得 （x+ ）2+（y+ ）2= 把方程 其中，半径是 ，圆心坐标是 叫做圆的一般方程 （1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：x2、y2 项系数相等且不为零 没有 xy 项 （2）当 D2+E2－4F=0 时，方程（*）表示点（－ ，－ ）； 当 D2+E2－4F＜0 时，方程（*）不表示任何图形 （3）根据条件列出关于 D、E、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程 4 圆的参数方程 ①圆心在 O（0，0），半径为 r 的圆的参数方程是： ②圆心在点 ，半径为 的圆的参数方程是： 在①中消去θ得 x2+y2=r2，在②中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程 又叫做普通方程 5 二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件 若二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆，则有 A=C≠0，B=0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条 件，不充分 在 A=C≠0，B=0 时，二元二次方程化为 x2+y2+ x+ y+ =0， 仅当 D2+E2－4AF＞0 时表示圆 故 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是： ①A=C≠0，②B=0，③D2+E2－4AF＞0 6 线 段 AB 为 直 径 的 圆 的 方 程 ： 若 ， 则 以 线 段 AB 为 直 径 的 圆 的 方 程 是 7 经过两个圆交点的圆系方程：经过 ， 的交点的圆系 方程是： 2 D 2 E 4 422 FED −+ )04(0 2222 >−+=++++ FEDFEyDxyx 2 422 FEDr −+=      −− 22 ED， 2 D 2 E cos ( )sin x r y r α αα =  = 是参数 )( baC ， r    += += )(sin cos 是参数αα α rby rax A D A E A F ),(),( 2211 yxByxA ， 0))(())(( 2121 =−−+−− yyyyxxxx 0111 22 =++++ FyExDyx 0222 22 =++++ FyExDyx 在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程 8 经过直线与圆交点的圆系方程： 经过直线 与圆 的交点的圆系方 程是： 9 确定圆需三个独立的条件 （1）标准方程： ， （2）一般方程： ，（ 对称问题——知识点归纳 1 点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式 的应用问题 设 P（x0，y0），对称中心为 A（a，b），则 P 关于 A 的对称点为 P′（2a－x0，2b－y0） 2 点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线” 利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组， 就可求出对顶点的坐标 一般情形如下： 设点 P（x0，y0）关于直线 y=kx+b 的对称点为 P′（x′，y′），则有 ，可求出 x′、y′ 特殊地，点 P（x0，y0）关于直线 x=a 的对称点为 P′（2a－x0，y0）；点 P（x0，y0）关于直线 y=b 的对称点为 P ′（x0，2b－y0） 3 曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题：一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点， 也可选任意点实施转化） 一般结论如下： （1）曲线 f（x，y）=0 关于已知点 A（a，b）的对称曲线的方程是 f（2a－x，2b－y）=0 （2）曲线 f（x，y）=0 关于直线 y=kx+b 的对称曲线的求法： 设曲线 f（x，y）=0 上任意一点为 P（x0，y0），P 点关于直线 y=kx+b 的对称点为 P′（y，x），则由（2）知，P 与 P ′的坐标满足 0)( 222 22 111 22 =+++++++++ FyExDyxFyExDyx λ 0=++ CByAxl： 022 =++++ FEyDxyx 0)(22 =+++++++ CByAxFEyDxyx λ 222 )()( rbyax =−+− 半径圆心， −−−− rba ),( 022 =++++ FEyDxyx )0422 >−+ FED ,)2,2( 圆心−−−− ED 2 422 FEDr −+= 0 0 0 0 1 2 2 y y kx x y y x xk b ′− ⋅ = − ′− ′ ′+ + = ⋅ + 从中解出 x0、y0， 代入已知曲线 f（x，y）=0，应有 f（x0，y0）=0利用坐标代换法就可求出曲线 f（x，y）=0 关于直线 y=kx+b 的对称 曲线方程 4 两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点（x，y）关于 x 轴的对称点为（x，－y）； （2）点（x，y）关于 y 轴的对称点为（－x，y）； （3）点（x，y）关于原点的对称点为（－x，－y）； （4）点（x，y）关于直线 x－y=0 的对称点为（y，x）； （5）点（x，y）关于直线 x+y=0 的对称点为（－y，－x） 直线与圆、圆与圆的位置关系——知识点归纳 1 研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 有 三 种 ， 若 ， 则 ; ; 2 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2， ① ② ③ ④ ⑤ O2O1 O2O1 O2O1 O2O1 O2O1 0 0 0 0 1 2 2 y y kx x y y x xk b ′− ⋅ = − ′− ′ ′+ + = ⋅ + 0=++ CByAx 222 )()( rbyax =−+− 22 BA CBbAad + ++= 0<∆⇔⇔> 相离rd 0=∆⇔⇔= 相切rd 0>∆⇔⇔< 相交rd dOO =21 条公切线外离 421 ⇔⇔+> rrd 条公切线外切 321 ⇔⇔+= rrd 条公切线相交 22121 ⇔⇔+<<− rrdrr 条公切线内切 121 ⇔⇔−= rrd 无公切线内含 ⇔⇔−<< 210 rrd 3直线和圆相切： 这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率 k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上 一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况 ①过圆上一点的切线方程：圆 为切点的切线方程是 。 当点 在圆外时， 表示切点弦的方程。 一 般 地 ， 曲 线 为 切 点 的 切 线 方 程 是 ： 。 当点 在圆外时， 表示切点弦的方程。 这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。 ②过圆外一点的切线方程： 4 直线和圆相交： 这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题 5 经过两个圆交点的圆系方程：经过 ， 的交点的圆系 方程是： 。 在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程 6 经过直线与圆交点的圆系方程： 经过直线 与圆 的交点的圆系方 程是： 7 几何法: 比较圆心到直线的距离与圆半径的大小 8 代数法: 讨论圆的方程与直线方程的实数解的组数 第八章 圆锥曲线 0 r1-r2 r1+r2外切内切 相离相交内含 d ),( 00 222 yxPryx 的以=+ 2 00 ryyxx =+ 0 0( , )P x y 2 00 ryyxx =+ )(0 00 22 yxPFEyDxCyAx ，的以点=++−+ 022 00 00 =++⋅++⋅−+ FyyExxDyCyxAx 0 0( , )P x y 022 00 00 =++⋅++⋅−+ FyyExxDyCyxAx 0111 22 =++++ FyExDyx 0222 22 =++++ FyExDyx 0)( 222 22 111 22 =+++++++++ FyExDyxFyExDyx λ 0=++ CByAxl： 022 =++++ FEyDxyx 0)(22 =+++++++ CByAxFEyDxyx λ 椭圆——知识点归纳 1.定义：①平面内一个动点到两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|，即 )，这 个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)． ②点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e（0=+ c a 22 || || 1 1 PM PF || || 2 2 PM PF =11FA caFA −=22 =21FA caFA +=12 caPFca +≤≤− 1 c b 2 2 2 2 1A B A B a b= = + 12 2 2 2 =+ b y a x 12 2 2 2 =+ b x a y )0( >> ba 222 bac −= 12 2 2 2 =+ b y a x )0( >> ba )0( ，c± c ax 2 ±= a ce = a b22 c bp 2 = 2b a }{ axax ≤≤− }{ bybx ≤≤− a2 2 1 ( )aPF e x a exc = + = + 2 2 ( )aPF e x a exc = − = − 21FPF∆ 1 2 2 1 2tan 2PF F F PFS b∆ ∠= 1PF 2PF 21PFF∠ 1 2 1 2F PF F BF∠ ≤ ∠ 1PF 2PF 1PF • 2PF    θ= θ= sin cos by ax 2121 2 FFaPFPF <=− a B P M2 K2A2F2F1A1 M1 K1 o y x 做双曲线的焦点，定直线 l 叫做双曲线的准线 2 双曲线图像中线段的几何特征： ⑴实轴长 ，虚轴长 2b,焦距 ⑵顶点到焦点的距离： ， ⑶顶点到准线的距离： ； ⑷焦点到准线的距离： ⑸两准线间的距离: ⑹ 中结合定义 与余弦定理 ，将有关线段 、 、 和角结合起 来， ⑺离心率： ∈（1，+∞） ⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长 ⑼通径的长是 ，焦准距 ，焦参数 （通径长的一半） 其中 3 双曲线标准方程的两种形式： ① － =1，c= ，焦点是 F1（－c，0），F2（c，0） ② － =1，c= ，焦点是 F1（0，－c）、F2（0，c） 4 双曲线的性质： － =1（a＞0，b＞0） ⑴范围：|x|≥a，y∈R ⑵对称性：关于 x、y 轴均对称，关于原点中心对称 1 2 2A A a= 1 2 2F F c= 1 1A F = 2 2A F c a= − 1 2A F = 2 1A F a c= + 2 1 1 2 2 aAK A K a c = = − 2 1 2 2 1 aAK A K a c = = + 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 a aF K F K c F K F K cc c = = − = = +或 2 1 2 2aK K c = 21FPF∆ aPFPF 221 =− 21cos PFF∠ 1PF 2PF 21FF 1 2 2 1 2cot 2PF F F PFS b∆ ∠= 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1PF PF A F A F c be PM PM A K A K a a = = = = = = + b a b22 2b c 2b a 222 bac += aPFPF 221 =− 2 2 a x 2 2 b y 22 ba + 2 2 a y 2 2 b x 22 ba + 2 2 a x 2 2 b y M2M1 P K2K1A1 A2 F2F1 o y x M2M1 P K2K1A1 A2 F2F1 o ⑶顶点：轴端点 A1（－a，0），A2（a，0） ⑷渐近线： ①若双曲线方程为 渐近线方程 ②若渐近线方程为 双曲线可设为 ③若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在 x 轴上， ，焦点在 y 轴上） ④特别地当 离心率 两渐近线互相垂直，分别为 y= ，此时双曲线为等轴双曲线，可设为 ；y= x，y=－ x ⑸准线：l1：x=－ ，l2：x= ，两准线之距为 ⑹焦半径： ，（点 P 在双曲线的右支上 ）； ，（点 P 在双曲线的右支上 ）； 当焦点在 y 轴上时，标准方程及相应性质（略） ⑺与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是 ⑻与双曲线 共焦点的双曲线系方程是 抛物线——知识点归纳 1 抛物线的定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦 点，定直线 l 叫做抛物线的准线． 2 抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ②焦准距： ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为 。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段： 。 ⑤焦半径为半径的圆：以 P 为圆心、FP 为半径的圆必 与准线相切。所有这样 12 2 2 2 =− b y a x ⇒ ⇒=− 02 2 2 2 b y a x xa by ±= xa by ±= ⇒ 0=± b y a x ⇒ λ=− 2 2 2 2 b y a x 12 2 2 2 =− b y a x λ=− 2 2 2 2 b y a x 0>λ 0<λ ⇔= 时ba 2=e ⇔ x± λ=− 22 yx a b a b c a 2 c a 2 2 1 2 2 aK K c = ⋅ 2 1 ( )aPF e x ex ac = + = + x a≥ 2 2 ( )aPF e x ex ac = − = − x a≥ 12 2 2 2 =− b y a x λ=− 2 2 2 2 b y a x )0( ≠λ 12 2 2 2 =− b y a x 12 2 2 2 =−−+ kb y ka x FK p= 2p 2 pOF OK= = C N M1 Q M2 K F P o 的圆过定点 F、准线是公切线。 ⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点 F、过顶点 垂直于轴的直线是公切线。 ⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦 PQ 为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。 3 抛物线标准方程的四种形式： 4 抛物线 的图像和性质： ①焦点坐标是： ， ②准线方程是： 。 ③焦半径公式：若点 是抛物线 上一 点，则该点到抛物线的焦点的距 离（称为焦半径）是： ， ④焦点弦长公式：过焦点弦长 ⑤抛物线 上的动点可设为 P 或 或 P 5 一般情况归纳： 方程 图象 焦点 准线 定义特征 k>0 时开口向右 y2=kx k<0 时开口向左 (k/4,0) x= ─k/4 到焦点(k/4,0)的距离等于 到准线 x= ─k/4 的距离 k>0 时开口向上 x2=ky k<0 时开口向下 (0,k/4) y= ─k/4 到焦点(0,k/4)的距离等于 到准线 y= ─k/4 的距离 直线与圆锥曲线的位置关系——知识点归纳 1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题： 可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往通过消元后最终转化为讨论一元二 次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题，讨论时特别要注意转化的等价性，即解决直线与圆锥曲线的相交问 题要用好化归思想和等价转化思想 需要注意的是当直线平行于抛物线的对称轴或双曲线的渐近线时，直线与抛物线或双曲线有且只有一个交点 2 涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题： 主要有这样几个方面：相交弦的长，有弦长公式|AB|= |x2－x1|；弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦 等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程， ，， pxypxy 22 22 −== 。， pyxpyx 22 22 −== pxy 22 =      02 ，p 2 px −= ),( 00 yxP pxy 22 = 0 2 pPF x= + 1 2 1 22 2 p pPQ x x x x p= + + + = + + pxy 22 = ),2( 2   yp y 2(2 ,2 )P pt pt  pxyyx 2),( 2 =其中 21 k+ M1 Q M2 K F P o y x 并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决） 3 涉及到圆锥曲线焦点弦的问题： 可以利用圆锥曲线的焦半径公式（即圆锥曲线的第二定义） 4．韦达定理的运用： 由于二次曲线和二次方程的密切关系，在解决二次曲线问题时要充分重视韦达定理的运用 5 弦长公式： 若直线 与圆锥曲线交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 ； 若直线 与圆锥曲线交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 6 圆锥曲线的两个重要参数： 圆锥曲线的焦准距（焦点到准线的距离） ， 焦参数 （通径长的一半） 第九章 直线、平面、简单几何体 平面——知识点归纳 1．平面的概念： 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 2．平面的画法及其表示方法： ①常用平行四边形表示平面 通常把平行四边形的锐角画成 ，横边画成邻边的两倍 画两个平面相交时，当一 个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画 ②一般用一个希腊字母 、 、 ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面 等 3．空间图形是由点、线、面组成的 点、线、面的基本位置关系如下表所示： 图形 符号语言 文字语言（读法） 点 在直线 上A a bkxy += 2 21 2 ))(1( xxkAB −+= tmyx += 2 21 2 ))(1( yymAB −+= c bp 2 = 2b a 45 α β γ AC A a∈ A a 点 不在直线 上 点 在平面 内 点 不在平面 内 直线 、 交于 点 直线 在平面 内 直线 与平面 无公共点 直线 与平面 交于点 平面 、 相交于直线 （平面 外的直线 ）表示 或 4 平面的基本性质 公理 1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 推理模式： ． 如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面． 公理 1 说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描 述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法． 公理 2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点 的直线 推理模式： 且 且 唯一 如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上 公理 2 揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法． 公理 3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推理模式： 不共线 存在唯一的平面 ，使得 A a Aα Aα baA aα aα a Aα βα A a∉ A a A α∈ A α A α∉ A α a b A= a b A a α a α a α = ∅ a α a Aα = a α A lα β = α β l α⊄a α a a α = ∅ a Aα = A ABB α αα ∈  ⇒∈   A lA α α ββ ∈  ⇒ =∈   A l∈ l , , A B C ⇒ α , ,A B C α∈ BAα βA α 应用：①确定平面；②证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只 有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数 学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语 句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 推论 1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面 推理模式： 存在唯一的平面 ，使得 ， 推论 2 经过两条相交直线有且只有一个平面 推理模式： 存在唯一的平面 ，使得 推论 3 经过两条平行直线有且只有一个平面 推理模式： 存在唯一的平面 ，使得 5 平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间 图形 空间直线——知识点归纳 1 空间两直线的位置关系 （1）相交——有且只有一个公共点； （2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点； 2 公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式： ． 3 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4 等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等 5 空间两条异面直线的画法 6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式： 与 是异面直线 7．异面直线所成的角：已知两条异面直线 ，经过空间任一点 作直线 ， 所成的角的大小与 点 的选择无关，把 所成的锐角（或直角）叫异面直线 所成的角（或夹角）．为了简便，点 通常取在异 b a a b a b D1 C1 B1A1 D C BA A a∉ ⇒ α A α∈ l α Pba = ⇒ α ,a b α //a b ⇒ α ,a b α // , // //a b b c a c⇒ , , ,A B l B lα α α∉ ∈ ⊂ ∉ ⇒ AB l ,a b O // , //a a b b′ ′ ,a b′ ′ O ,a b′ ′ ,a b O 面直线的一条上 异面直线所成的角的范围： 8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线 垂直，记作 ． 9．求异面直线所成的角的方法： 几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与 另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 向量法：用向量的夹角公式 10 两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线 理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义． 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离． 两条异面直线的公垂线有且只有一条 计算方法：①几何法；②向量法 直线与平面平行和平面与平面平行——知识点归纳 1．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为: ， （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: ，（3）直线和平面平行（没有公共点）—— 用两分法进行两次分类． 符号表示为: ． 2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平 行． 推理模式： ． 3 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线 平行． 推理模式： ． 4．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行． 5．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的． 6．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行． 推理模式：： ， ， ， ， ． ]2,0( π ,a b a b⊥ a α a Aα = //a α , , // //l m l m lα α α⊄ ⇒ // , , //l l m l mα β α β = ⇒ a β⊂ b β⊂ a b P= //a α //b α //β α⇒ 7 平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两 个平面互相平行． 推理模式： ． 8．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 推理模式： ． 9 面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面． 推理模式： ． 直线与平面垂直和平面与平面垂直——知识点归纳 1 线面垂直定义： 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相 垂直 其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面 交点叫做垂足 直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α 2 直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 3 直线和平面垂直的性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行 4 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的 一条斜线的垂直关系； （2）推理模式： 5．三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直 推理模式： ． 注意：⑴三垂线指 PA，PO，AO 都垂直α内的直线 a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑 a 的位置，并注意两定理交替使用 6 两个平面垂直的定义： 两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面 , , , , , , // , // //a b P a b a b P a b a a b bα α β β α β′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= = ⇒     // , , //a b a bα β γ α γ β= = ⇒  // , //a aα β α β⊂ ⇒ , , PO O PA A a PA a a OA α α α α ⊥ ∈  = ⇒ ⊥ ⊂ ⊥   , , PO O PA A a AO a a AP α α α α ⊥ ∈  = ⇒ ⊥ ⊂ ⊥   a P α O A 7．两平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 推理模式： ， ． 8．两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 推理模式： 9 向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法： ①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行； ②证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直 空间向量及其运算——知识点归纳 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算 空间向量的加法、减法与数乘向量运算： ; ; 运算律：⑴加法交换律： ⑵加法结合律： ⑶数乘分配律： 3 平面向量共线定理 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向 量也叫做共线向量．向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使 ＝λ 4 共线向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． 平行于 记作 ． 当我们说向量 、 共线（或 // ）时，表示 、 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行 直线． 5． 共线向量定理：空间任意两个向量 、 （ ≠ ）， // 的充要条件是存在实数 λ，使 ＝λ a α a β⊥ ⇒ α β⊥ , , ,l a a lα β α β α⊥ = ⊥  a β⇒ ⊥ OB OA AB a b= + = +    BA OA OB a b= − = −    ( )OP a Rλ λ= ∈  abba  +=+ )()( cbacba  ++=++ baba  λλλ +=+ )( b a b a a b ba  // a b a b a b a b b 0 a b a b 推论：如果 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 的直线，那么对于任意一点 O，点 P 在直线 上的充要 条件是存在实数 t 满足等式 ．其中向量 叫做直线 的方向向量 6 空间直线的向量参数表示式： 或 ， 中点公式． 7．向量与平面平行：已知平面 和向量 ，作 ，如果直线 平行于 或在 内，那么我们说向量 平 行于平面 ，记作： ．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的 8．共面向量定理：如果两个向量 不共线， 与向量 共面的充要条件是存在实数 使 推论：空间一点 位于平面 内的充分必要条件是存在有序实数对 ，使 ① 或对空间任一点 ，有 ② 或 ③ 上面①式叫做平面 的向量表达式 9 空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组 ， 使 若三向量 不共面，我们把 叫做空间的一个基底， 叫做基向量，空间任意三个不共面的向 量都可以构成空间的一个基底 推 论 ： 设 是 不 共 面 的 四 点 ， 则 对 空 间 任 一 点 ， 都 存 在 唯 一 的 三 个 有 序 实 数 ， 使 10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量 ，在空间任取一点 ，作 ，则 叫做向 量 与 的夹角，记作 ；且规定 ，显然有 ；若 ，则称 与 互相垂直，记作： 11．向量的模：设 ，则有向线段 的长度叫做向量 的长度或模，记作： 12 ． 向 量 的 数 量 积 ： 已 知 向 量 ， 则 叫 做 的 数 量 积 ， 记 作 ， 即 l a l OP OA t= +  a a l OP OA t= +  a ( )OP OA t OB OA= + −    (1 )t OA tOB= − +  1 ( )2OP OA OB= +   α a OA a=  OA α α a α //a α ,a b p ,a b ,x y p xa yb= +   P MAB ,x y MP xMA yMB= +   O OP OM xMA yMB= + +    ,( 1)OP xOA yOB zOM x y z= + + + + =    MAB , ,a b c  p , ,x y z p xa yb zc= + +   , ,ab c  { , , }a b c  , ,a b c  , , ,O A B C P , ,x y z OP xOA yOB zOC= + +    ,a b O ,OA a OB b= =   AOB∠ a b ,a b< > 0 ,a b π≤< >≤ , ,a b b a< >=< >   , 2a b π< >= a b a b⊥  OA a=  OA a | |a ,a b | | | | cos ,a b a b⋅ ⋅ < >   ,a b a b⋅  a b⋅ = ． 已知向量 和轴 ， 是 上与 同方向的单位向量，作点 在 上的射影 ，作点 在 上的射影 ， 则 叫做向量 在轴 上或在 上的正射影 的长度 ． 13．空间向量数量积的性质： （1） ．（2） ．（3） ． 14．空间向量数量积运算律： （1） ．（2） （交换律）． （3） （分配律） 空间向量的坐标运算——知识点归纳 1 空间直角坐标系： （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 ，这个基底叫单位正交基底，用 表示； （2）在空间选定一点 和一个单位正交基底 ，以点 为原点，分别以 的方向为正方向建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系 ，点 叫原点，向量 都叫 坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系 中，对空间任一点 ，存在唯一的有序实数组 ，使 ，有 序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标，记作 ， 叫横坐标， 叫纵坐标， 叫竖坐标． 3．空间向量的直角坐标运算律： （1）若 ， ， 则 ， ， ， ， ， ． （2）若 ， ，则 ． | | | | cos ,a b a b⋅ ⋅ < >   AB a=  l e l l A l A′ B l B′ A B′ ′ AB l e A B′ ′ | | | | cos , | |A B AB a e a e′ ′ = < >= ⋅      | | cos ,a e a a e⋅ = < >     0a b a b⊥ ⇔ ⋅ =   2| |a a a= ⋅   ( ) ( ) ( )a b a b a bλ λ λ⋅ = ⋅ = ⋅     a b b a⋅ = ⋅   ( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅      1 { , , }i j k   O { , , }i j k   O , ,i j k   x y z O xyz− O , ,i j k   xOy yOz zOx O xyz− A ( , , )x y z OA xi yj zk= + +   ( , , )x y z A O xyz− ( , , )A x y z x y z 1 2 3( , , )a a a a= 1 2 3( , , )b b b b= 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b a b+ = + + +  1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b a b− = − − −  1 2 3( , , )( )a a a a Rλ λ λ λ λ= ∈ 1 1 2 2 3 3a b a b a b a b⋅ = + +  1 1 2 2 3 3// , , ( )a b a b a b a b Rλ λ λ λ⇔ = = = ∈  1 1 2 2 3 3 0a b a b a b a b⊥ ⇔ + + =  1 1 1( , , )A x y z 2 2 2( , , )B x y z 2 1 2 1 2 1( , , )AB x x y y z z= − − − 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 4 模长公式：若 ， ， 则 ， ． 5．夹角公式： ． 6．两点间的距离公式：若 ， ， 则 ， 或 空间角——知识点归纳 1．异面直线所成的角：已知两条异面直线 ，经过空间任一点 作直线 ， 所成的角的大小与 点 的选择无关，把 所成的锐角（或直角）叫异面直线 所成的角（或夹角）．为了简便，点 通常取在异 面直线的一条上 异面直线所成的角的范围： 2．求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（2）向量法 3．直线和平面所成角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 一直线垂直于平面，所成的角是直角 一直线平行于平面或在平面内，所成角为 0°角 直线和平面所成角范围： [0， ] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜 足的直线所成的一切角中最小的 角 4．公式：平面的斜线 a 与内一直线 b 相交成θ角，且 a 与相交成1 角，a 在上的射 影 c 与 b 相交成2 角，则有 5 二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面 若棱为 ，两个面分别为 的二 面角记为 ； 6．二面角的平面角： （1）过二面角的棱上的一点 分别在两个半平面内作棱的两条垂线 ，则 叫做二面角 1 2 3( , , )a a a a= 1 2 3( , , )b b b b= 2 2 2 1 2 3| |a a a a a a= ⋅ = + +   2 2 2 1 2 3| |b b b b b b= ⋅ = + +   1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos | | | | a b a b a ba ba b a b a a a b b b + +⋅⋅ = = ⋅ + + + +   1 1 1( , , )A x y z 2 2 2( , , )B x y z 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1| | ( ) ( ) ( )AB AB x x y y z z= = − + − + −  2 2 2 , 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )A Bd x x y y z z= − + − + − ,a b O // , //a a b b′ ′ ,a b′ ′ O ,a b′ ′ ,a b O ]2,0( π 2 π θϕϕ coscoscos 21 = l ,α β lα β− − O ,OA OB AOB∠ lα β− − 的平面角 （2）一个平面垂直于二面角 的棱 ，且与两半平面交线分别为 为垂足，则 也是 的平面角 说明：①二面角的平面角范围是 ； ②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 7．二面角的求法：⑴几何法；⑵向量法 8 求二面角的射影公式： ， 其中各个符号的含义是： 是二面角的一个面内图形 F 的面积， 是图形 F 在二面角的另一个面内的射影， 是二面角的大小 9．三种空间角的向量法计算公式： ⑴异面直线 所成的角 ： ； ⑵直线 与平面 (法向量 )所成的角 ： ； ⑶锐二面角 ： ，其中 为两个面的法向量 空间距离——知识点归纳 1 点到平面的距离：已知点 是平面 外的任意一点，过点 作 ，垂足为 ，则 唯一，则 是点 到平面 的距离 即 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离 结论：连结平面 外一点 与 内一点所得的线段中，垂线段 最短 2 异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线． 3．公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线 4．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段； 5．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条； 6．两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度 说明：两条异面直线的距离 即为直线 到平面 的距离 即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一 条直线且与这条直线平行的平面的距离 7 直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为 点面距离) 8．两个平行平面的公垂线、公垂线段： （1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线 （2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段 lα β− − l , ,OA OB O AOB∠ lα β− − [0 ,180 ]  S S′=θcos S S′ θ ,a b θ cos cos ,a bθ = < > a α n θ sin cos ,a nθ = < >  θ cos cos ,m nθ = < >  ,m n  P α P PA α⊥ A PA PA P α α P α PA AB a α （3）两个平行平面的公垂线段都相等 （4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长 9．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离 10．七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个 平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离， 点到平面的距离有时用“体积法”来求 10 用向量法求距离的公式： ⑴异面直线 之间的距离： ，其中 ⑵直线 与平面 之间的距离： ，其中 是平面 的法向量 ⑶两平行平面 之间的距离： ，其中 是平面 的法向量 ⑷点 A 到平面 的距离： ，其中 ， 是平面 的法向量 另法：点 平面 则 ⑸点 A 到直线 的距离： ，其中 ， 是直线 的方向向量 ⑹两平行直线 之间的距离： ，其中 ， 是 的方向向量 棱柱——知识点归纳 1 多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体 的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线 ,a b | | AB n d n ⋅ =    , , ,n a n b A a B b⊥ ⊥ ∈ ∈  a α | | AB n d n ⋅ =    ,A a B α∈ ∈ n α ,α β | | AB n d n ⋅ =    ,A Bα β∈ ∈ n α α | | AB n d n ⋅ =    B α∈ n α 0 0 0( , , ),A x y z 0Ax By Cz D+ + + = 0 0 0 2 2 2 | |Ax By Cz Dd A B C + + += + + a 2 2| | | | AB ad AB a  ⋅= −       B a∈ a a ,a b 2 2| | | | AB ad AB a  ⋅= −       ,A a B b∈ ∈ a a 2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面 体．如图的多面体则不是凸多面体 3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等 4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱 两个互相平行的面 叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫 棱柱的高（公垂线段长也简称高） 5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱 侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱 底面的是正多边形的直棱柱叫 正棱柱 棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 6．棱柱的性质 （1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形； （2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形； （3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形 7 平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平 行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体． 8．平行六面体、长方体的性质 (1)平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线 相交于一点，且在点 处互相平分． (2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和 棱锥——知识点归纳 1 棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥 其中有公共顶点的 三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点 ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的 垂线段 ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）． 2．棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示 如图棱锥可表示为 ，或 ． 3．棱锥的分类：（按底面多边形的边数） 分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥……（如图） 4．棱锥的性质： 定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的 距离与棱锥高的平方比． 中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面 5．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥． （1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）． , , ,AC BD CA DB′ ′ ′ ′ O ( )S ( )SO S ABCDE− S AC− （2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也 组成一个直角三角形 简单的多面体与球——知识点归纳 1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会 连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面 体 说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体 2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数： 正多面体 顶点数 面数 棱数 正四面体 4 4 6 正六面体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 正二十面体 12 20 30 3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数 、面数 及棱数 有关系式： 计算棱数 E 常见方法：(1)E＝V+F-2；(2)E＝各面多边形边数和的一半； (3)E＝顶点数与共顶点棱数积的一半 4．欧拉示性数：在欧拉公式中令 ， 叫欧拉示性数 说明：（1）简单多面体的欧拉示性数 （2）带一个洞的多面体的欧拉示性数 例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体 5 球的概念： 与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球 定点叫球心，定长叫球的半径 与定点距离等于定 长的点的集合叫做球面 一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球 2．球的截面： 用一平面 去截一个球 ，设 是平面 的垂线段， 为垂足，且 ，所得的截面是以球心在截面 内的射影为圆心，以 为半径的一个圆，截面是一个圆面 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆 7．经度、纬度： 经线：球面上从北极到南极的半个大圆 V F E V F E 2V F E+ − = ( )f p V F E= + − ( )f p ( ) 2f p = ( ) 0f p = ( ) 16 16 32 0f p = + − = O α O OO′ α O′ OO d′ = 2 2r R d= − O 纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆 经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与 经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数 纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成 角的度数 8．两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经 过两点的大圆在这两点间的一段劣弧 的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离 ( 为球心角的弧度数) 9 半球的底面： 已知半径为 的球 ，用过球心的平面去 截球 ，球被截面分成大小相等的两 个半球，截面圆 （包含它内部的点），叫做所得半球的底面 10．球的体积公式： 11 其它： ①在应用球体积公式时要注意公式中给出的是球半径 R，而在实际问题中常给出球的外径（直径） ②球与其它几何体的切接问题，要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关系，选择最佳角度作出 截面，以使空间问题平面化 第十章排列、组台、二项式定理 随机事件事件的概率——知识点归纳 1 事件的定义： 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件 发生的频率 总是接近某个常数，在它附 近摆动，这时就把这个常数叫做事件 的概率，记作 ． 3 概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为 ，随机事件的概率为 ，必然事件和 不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件 ）称为一个基本事件 6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基 本事件的概率都是 ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件 0 l Rϕ= ϕ R O O O 34 3V Rπ= A m n A ( )P A 1 0 0 ( ) 1P A≤ ≤ A n 1 n n A ϕ B A R R O 包含 个结果，那么事件 的概率 8 随机事件的概率、等可能事件的概率计算 首先、对于每一个随机实验来说，可能出现的实验结果是有限的；其次、所有不同的实验结果的出现是等可能 的 一定要在等可能的前提下计算基本事件的个数 只有在每一种可能出现的概率都相同的前提下，计算出的基本事件 的个数才是正确的，才能用等可能事件的概率计算公式 P（A）=m/n 来进行计算 9．等可能性事件的概率公式及一般求解方法 求解等可能性事件 A 的概率一般遵循如下步骤：（1）先确定一 次试验是什么,此时一次试验的可能性结果有多少，即求出 A （2）再确定所研究的事件 A 是什么,事件 A 包括结果有 多少,即求出 m （3）应用等可能性事件概率公式 P= 计算 确定 m、n 的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没 有固定的模式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏 互斥事件有一个发生的概率——知识点归纳 1 互斥事件的概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件 A、B 互斥，即事件 A、B 不可能同时发生，这时 P(A•B)= ０）P(A+B)=P（A）+ P(B) 一般地：如果事件 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件 彼此互斥 2．对立事件的概念:事件Ａ和事件 B 必有一个发生的互斥事件 A、B 对立，即事件 A、B 不可能同时发生，但 A、 B 中必然有一个发生 这时 P(A•B)=０, P(A+B)=P（A）+ P(B)＝１ 一般地, 3 对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解： 第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系; 第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的; 第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的 从集合角度来看，A、B 两个事件互斥，则表示 A、B 这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集 对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合 A 的对立事件记 作 ，从集合的角度来看，事件 所含结果的集合正是全集 U 中由事件 A 所含结果组成集合的补集，即 A∪ =U， A∩ = 对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件 4 事件的和的意义:事件 A、B 的和记作 A+B，表示事件 A、B 至少有一个发生 当 A、B 为互斥事件时，事件 A+B 是 由“A 发生而 B 不发生”以及“B 发生而 A 不发生”构成的， 因此当 A 和 B 互斥时，事件 A+B 的概率满足加法公 式： P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B 互斥）， 且有 P（A+ ）=P（A）+P（ ）=1 当计算事件 A 的概率 P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件 的概率则要容易些，为此有 P（A）=1－P m A ( ) mP A n = n m 1 2, , , nA A A 1 2, , , nA A A ( ) ( )APAp −= 1 A A A A ∅ A A A （ ） 5 要弄清 · ， 的区别 · 表示事件 与 同时发生，因此它们的对立事件 A 与 B 同时不发生，也等价于 A 与 B 至少有一个发生 的对立事件即 ，因此有 · ≠ ，但 · = 6．互斥事件的概率的求法:如果事件 彼此互斥，那么 ＝ 7 互斥事件有一个发生的概率 求解这类问题的数学思想方法是：在给定的命题背景下，先判断事件之间是否互斥，并理解“和事件”的意义， 计算出每个简单事件的概率，然后再利用互斥事件的概率计算公式进行加法运算 特别要注意的是，若事件 A 与 B 不 是互斥事件而是相互独立事件，那么在计算 P（A+B）的值时绝对不可以使用 P（A+B）=P（A）+P（B）这个公式， 只能从对立事件的角度出发，运用 P（A+B）=1-P（ ）进行计算 8 分类讨论思想：分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想 相互独立事件同时发生的概率——知识点归纳 1．相互独立事件：事件 （或 ）是否发生对事件 （或 ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立 事件 若 与 是相互独立事件，则 与 ， 与 ， 与 也相互独立 2 互斥事件与相互独立事件是有区别的： 两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独 立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生 3．相互独立事件同时发生的概率： 事件 相互独立， 4 独立重复试验的定义：在同样条件下进行的各次之间相互独立的一种试验 5 关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解： 6．独立重复试验的概率公式： 7 相互独立事件同时发生的概率 在同一随机实验中，两事件互斥是指两个不可能同时发生的事件；两事件相互独立是指其中的一个事件发生与 否对另一个事件的发生没有影响 对这两个概念的区分能力足以体现分析问题和解决问题的能力，这正是高考考查的 主要目的 另外要理解“积事件”的意义，特别要注意：若事件 A 与 B 不是相互独立事件而是互斥事件，那么在计算 P（AB）的值时绝对不可以使用 P（A·B）=P（A）P（B）这个公式，只能从对立事件的角度出发，运用 P（A·B）=1-P A A B BA ⋅ A B A B BA + A B BA ⋅ A B BA + 1 2, , , nA A A 1 2( )nP A A A+ + + 1 2( ) ( ) ( )nP A P A P A+ + + A B• A B B A A B A B A B A B ( ) ( ) ( )P A B P A P B⋅ = ⋅ 1 2, , , nA A A 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )n nP A A A P A P A P A⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅  （ ）进行计算 8 n 次独立重复实验恰好有 k 次发生的概率 离散型随机变量的期望与方差——知识点归纳 1 平均数的计算方法 如果有 n 个数据 x1，x2，…，xn，那么 = （x1+x2+…+xn）叫做这 n 个数据的平均数， 读作“x 拔” 2 方差的计算方法 （1）对于一组数据 x1，x2，…，xn， s2= ［（x1－ ）2+（x2－ ）2+…+（xn－ ）2］ 叫做这组数据的方差，而 s 叫做标准差 抽样方法与总体分布的估计——知识点归纳 1.简单随机抽样：设一个总体的个体数为 N．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个 个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样 ⑴用简单随机抽样从含有 N 个个体的总体中抽取一个容量为 的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到 的概率为 ；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为 ； ⑵简单随机抽样的特点是，逐个抽取，且各个个体被抽到的概率相等,是不放回抽样. ⑶简单随机抽样方法，体现了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂抽样方法的基础． 2.抽签法：先将总体中的所有个体（共有 N 个）编号（号码可从 1 到 N），并把号码写在形状、大小相同的号签 上（号签可用小球、卡片、纸条等制作），然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽 一个号签，连续抽取 n 次，就得到一个容量为 n 的样本 适用范围：总体的个体数不多时 优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法． 　 3.随机数表法： 随机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号；第二步，选定开始的数字；第三步， 获取样本号码 4.分层抽样: 当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部 分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，所分成的部分叫做层 5.常用的抽样方法及它们之间的联系和区别： 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机 抽样 抽 样 过 程 中 每 个 个 从总体中逐个抽取 总体中的个数比 较少 A B+ x n 1 x n 1 x x x n N 1 N n 系统抽样 将总体均匀分成几 个部分，按照事先 确定的规则在各部 分抽取 在起始部分抽样 时采用简单随机 抽样 总体中的个数比 较多 分层抽样 体 被 抽 取 的 概 率 是 相同的 将总体分成几层， 分层进行抽取 各层抽样时采用 简单抽样或者相 同抽样 总体由差异明显 的几部分组成 6.不放回抽样和放回抽样:在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回 抽样；如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样． 随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样 8.总体：在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体. 9.频率分布：用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容 量的比，就是该数据的频率.所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.可以用样本频率表、 样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示. 10.总体分布：从总体中抽取一个个体，就是一次随机试验，从总体中抽取一个容量为 n 的样本，就是进行了 n 次试验，试验连同所出现的结果叫随机事件，所有这些事件的概率分布规律称为总体分布. 11.总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样 本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密 度曲线． 它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间（a，b）内取值的概率等于该区 间上总体密度曲线与 x 轴、直线 x=a、x=b 所围成曲边梯形的面积。 第十一章 导数 导数的概念与和、差、积、商的导数——知识点归纳 1 导数的定义：设函数 在 处附近有定义，如果 时， 与 的比 （也叫函数的平)(xfy = 0xx = 0→∆x y∆ x∆ x y ∆ ∆ 均变化率）有极限即 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数 在 处的导数，记作 ，即 2 导数的几何意义：是曲线 上点（ ）处的切线的斜率 因此，如果 在点 可导， 则曲线 在点（ ）处的切线方程为 3 导函数(导数):如果函数 在开区间 内的每点处都有导数，此时对于每一个 ，都对应着 一个确定的导数 ，从而构成了一个新的函数 , 称这个函数 为函数 在开区间内的导函数， 简称导数， 4 可导: 如果函数 在开区间 内每一点都有导数，则称函数 在开区间 内可导 5 可导与连续的关系：如果函数 y=f(x)在点 x0 处可导，那么函数 y=f(x)在点 x0 处连续，反之不成立 函数具有连 续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件 6 求函数 的导数的一般方法： （1）求函数的改变量 （2）求平均变化率 （3）取极限，得导数 ＝ 7 常见函数的导数公式： ； 8 和差的导数： ． 单调性及其应用——知识点归纳 1 利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤 （1）求 （x） （2）确定 （x）在（a，b）内符号 （3）若 （x）>0 在（a，b）上恒成立，则 f（x）在（a，b）上是增函数；若 （x）<0 在（a，b）上恒成 立，则 f（x）在（a，b）上是减函数 2 用导数求多项式函数单调区间的一般步骤 （1）求 （x） （2） （x）>0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； x y ∆ ∆ )(xfy = 0xx → 0 / xxy = x xfxxfxf x ∆ −∆+= →∆ )()(lim)( 00 00 / )(xfy = )(, 00 xfx )(xfy = 0x )(xfy = )(, 00 xfx ))(()( 00 / 0 xxxfxfy −=− )(xfy = ),( ba ),( bax ∈ )(/ xf )(/ xf )(/ xf )(xfy = )(xfy = ),( ba )(xfy = ),( ba )(xfy = )()( xfxxfy −∆+=∆ x xfxxf x y ∆ −∆+=∆ ∆ )()( /y ( )f x′ = x y x ∆ ∆ →∆ 0 lim 0'=C 1)'( −= nn nxx )()()]()([ ''' xvxuxvxu ±=± f ′ f ′ f ′ f ′ f ′ f ′ （x）<0 的解集与定义域的交集的对应区间为减区间 函数的极值、最值及应用——知识点归纳 1 极大值： 一般地，设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)＜f(x0)，就说 f(x0)是 函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值=f(x0)，x0 是极大值点 2 极小值：一般地，设函数 f(x)在 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)＞f(x0) 就说 f(x0)是函数 f(x) 的一个极小值，记作 y 极小值=f(x0)，x0 是极小值点 3 极大值与极小值统称为极值 （ⅰ）极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数 值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （ⅱ）函数的极值不是唯一的 即一个函数 在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的 极大值未必大于极小值，如下图所示， 是极大值点， 是极小值点，而 > （ⅳ）函数的极值点一 定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能 在区间的端点 4 判别 f(x0)是极大、极小值的方法:若 满足 ，且在 的两侧 的导数异号，则 是 的极 值点， 是极值，并且如果 在 两侧满足“左正右负”，则 是 的极大值点， 是极大值； 如果 在 两侧满足“左负右正”，则 是 的极小值点， 是极小值 5 求函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数 f′(x) (2)求方程 f′(x)=0 的根 (3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查 f′ (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处 取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则 f(x)在这个根处无极值 6 函数的最大值和最小值:在闭区间 上连续的函数 在 上必有最大值与最小值．⑴在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是 比较极值点附近函数值得出的．⑶函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最小值的 充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个， 也可能没有一个 7 利用导数求函数的最值步骤:⑴求 在 内的极值；⑵将 的各极值与 、 比较得出函数 在 上的最值 f ′ 1x 4x )( 4xf )( 1xf 0x 0)( 0 =′ xf 0x )(xf 0x )(xf )( 0xf )(xf ′ 0x 0x )(xf )( 0xf )(xf ′ 0x 0x )(xf )( 0xf [ ]ba, )(xf [ ]ba, ( , )a b )(xf )(xf [ ]ba, )(xf [ ]ba, )(xf ( , )a b )(xf )(af )(bf )(xf [ ]ba,