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- 2021-04-15 发布
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基础过关
第3课时 等比数列
1．等比数列的定义：＝q（q为不等于零的常数）．
2．等比数列的通项公式：
⑴ an＝a1qn－1 ⑵ an＝amqn－m
3．等比数列的前n项和公式：
Sn＝
4．等比中项：如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2＝ （或b＝ ）．
5．等比数列{an}的几个重要性质：
⑴ m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 ．
⑵ Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成 数列．
⑶ 若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列，则{an}的公比q＝ ．
典型例题
例1. 已知等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求项数n和公比q的值．
解：∵{an}是等比数列，
∴a1·an＝a2·an－1，
∴，解得或
若a1＝2，an＝64，则2·qn－1＝64
∴qn＝32q
由Sn＝，
解得q＝2，于是n＝6
若a1＝64，an＝2，则64·qn－1＝2
∴qn＝
由Sn＝
解得q＝，n＝6
变式训练1.已知等比数列{an}中，a1·a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝ ．
解：64或1
由
或 ∴ q2＝或q2＝2，∴ a11＝a7 q2，∴ a11＝64或a11＝1
例2. 设等比数列{an}的公比为q(q>0)，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大项为27，求数列的第2n项．
解：若q＝1，则na1＝40，2na1＝3280矛盾，∴ q≠1．∴
两式相除得：qn＝81，q＝1＋2a1
又∵q>0，∴ q>1，a1>0
∴ {an}是递增数列．
∴ an＝27＝a1qn－1＝
解得 a1＝1，q＝3，n＝4
变式训练2.已知等比数列{an}前n项和Sn＝2n－1，{an2}前n项和为Tn，求Tn的表达式．
解：(1) ∵a1＋2a22＝0，∴公比q＝
又∵S4－S2＝，
将q＝－代入上式得a1＝1，
∴an＝a1qn－1＝(－) n－1 (n∈N*)
(2) an≥(－) n－1≥()4
n≤5
∴原不等式的解为n＝1或n＝3或n＝5．
例3. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
解：设这四个数为a－d，a，a＋d，
依题意有：
解得： 或
∴ 这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．
变式训练3.设是等差数列的前项和，，则等于（ ）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
答案： D。解析：由得，再由。
例4. 已知函数f(x)＝(x－1)2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列(q≠1)，若a1＝f(d－1)，a3＝f(d＋1)，b1＝f(q－1)，b3＝f(q＋1)，
(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2) 设数列{cn}对任意的自然数n均有：，求数列{cn}前n项和Sn．
解：(1) a1＝(d－2)2，a3＝d2，a3－a1＝2d
即d2－(d－2)2＝2d，解之得d＝2
∴a1＝0，an＝2(n－1)
又b1＝(q－2)2，b3＝q2，b3＝b1q2
即q2＝(q－2)2 q2，解之得q＝3
∴b1＝1，bn＝3n－1
(2)
Sn＝C1＋C2＋C3＋…＋Cn
＝4(1×3°＋2×31＋3×32＋…＋n×3 n－1)
设1×3°＋2×3´＋3×32＋…＋n×3 n－1
31×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3 n
－21＋3＋32＋33＋…＋3 n－1－n×3 n＝－3 n·n
∴Sn＝2n·3n－3n＋1
变式训练4.已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是
等比数列{bn}的第二项，第三项，第四项．
⑴求数列{an}与{bn}的通项公式；
⑵设数列{cn}对任意正整数n，均有，求c1＋c2＋c3＋…＋c2007的值．
解：⑴由题意得（a1＋d）(a1＋13d)＝(a1＋4d)2(d>0) 解得d＝2，∴an＝2n－1，bn＝3n－1．
⑵当n＝1时，c1＝3 当n≥2时，∵∴ 故
归纳小结
1．在等比数列的求和公式中，当公比q≠1时，适用公式Sn＝，且要注意n表示项数；当q＝1时，适用公式Sn＝na1；若q的范围未确定时，应对q＝1和q≠1讨论求和．
2．在等比数列中，若公比q > 0且q≠1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项．
3．若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地设这四个数，一般是设为x－d，x，x＋d，再依题意列出方程求x、d即可．
4．a1与q是等比数列{an}中最活跃的两个基本量．
