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- 2021-04-15 发布
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限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级 基础夯实练
1．(2018·安徽江南十校联考)直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是( )
A．[－，] B．[－2，2]
C．[－－1，－1] D．[－2－1，2－1]
解析：选D.圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d＝＝，若直线l与圆C恒有公共点，则≤2，解得－2－1≤m≤2－1，故选D.
2．若直线l：y＝kx＋1(k＜0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选A.因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2，1)，半径为，
因为直线l与圆C相切．
所以＝，解得k＝±1，
因为k＜0，所以k＝－1，
所以直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2，0)到直线l的距离d＝＝＜，所以直线l与圆D相交．
3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2
＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是( )
A．{1，－1} B．{3，－3}
C．{1，－1，3，－3} D．{5，－5，3，－3}
解析：选C.因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝1，外切时，|a|＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1，3，－3}．
4．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选D.圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，
所以圆心C1(－1，－1)，半径长r1＝2；
圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C2(2，1)，半径长r2＝1.
所以d＝＝，r1＋r2＝3，
所以d＞r1＋r2，所以两圆外离，所以两圆有4条公切线．
5．(2018·兰州市诊断考试)已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t，0)，B(t，0)，(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则当t取得最大值时，点P的坐标是( )
A. B．
C. D．
解析：选D.设P(a，b)为圆上一点，由题意知，·＝0，即(a＋t
)(a－t)＋b2＝0，a2－t2＋b2＝0，所以t2＝a2＋b2＝|OP|2，|OP|max＝2＋1＝3，即t的最大值为3，此时kOP＝，OP所在直线的倾斜角为30°，所以点P的纵坐标为，横坐标为3×＝，即P.
6．(2018·四川外国语学校月考)曲线x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )
A. B．2
C.＋1 D．－1
解析：选C.因为圆心(0，1)到直线x－y－1＝0的距离为＝＞1，所以半圆x2＋(y－1)2＝1(x≤0)到直线x－y－1＝0的距离的最大值为＋1，最小值为点(0，0)到直线x－y－1＝0的距离为，所以a－b＝＋1－＝＋1，故选C.
7．已知直线l：x＋my－3＝0与圆C：x2＋y2＝4相切，则m＝________．
解析：因为圆C：x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，直线l：x＋my－3＝0与圆C：x2＋y2＝4相切，
所以2＝，
解得m＝±.
答案：±
8．已知A是射线x＋y＝0(x≤0)上的动点，B是x轴正半轴的动点，若直线AB与圆x2＋y2＝1相切，则|AB|的最小值是________．
解析：设A(－a，a)，B(b，0)(a，b＞0)，则直线AB的方程是ax＋(a＋b)y－ab＝0.
因为直线AB与圆x2＋y2＝1相切，所以
d＝＝1，化简得2a2＋b2＋2ab＝a2b2，
利用基本不等式得a2b2＝2a2＋b2＋2ab≥2ab＋2ab，即ab≥2＋2，
从而得|AB|＝＝ab≥2＋2，
当b＝a，即a＝，b＝时，|AB|的最小值是2＋2.
答案：2＋2
9．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2，1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解：(1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
所以圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.
设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2.
又|O1O2|＝＝2，
所以r2＝|O1O2|－r1＝2－2.
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，①
又圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，②
①－②得AB所在的直线方程为4x＋4y＋r－8＝0.
设线段AB的中点为H，
因为r1＝2，所以|O1H|＝＝.
又|O1H|＝＝，所以＝，解得r＝4或r＝20.
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
10．(2018·广东汕头模拟)已知圆C经过点(2，4)，(1，3)，圆心C在直线x－y＋1＝0上，过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M，N两点．
(1)求圆C的方程；
(2)(ⅰ)请问·是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由；
(ⅱ)若·＝12(O为坐标原点)，求直线l的方程．
解：(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则依题意，得解得
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)(ⅰ)·为定值．
过点A(0，1)作直线AT与圆C相切，切点为T，易得|AT|2＝7，
∴·＝||·||cos 0°＝|AT|2＝7，
∴·为定值，且定值为7.
(ⅱ)依题意可知，直线l的方程为y＝kx＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋1代入(x－2)2＋(y－3)2＝1并整理，得(1＋k2)x2
－4(1＋k)x＋7＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8＝12 ，即＝4，解得k＝1，又当k＝1时Δ＞0，∴直线l的方程为y＝x＋1.
B级 能力提升练
11．在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：(x－2)2＋y2＝5上的任意一点，点Q(2a，a＋2)，其中a∈R，则线段PQ长度的最小值为( )
A. B．
C. D．
解析：选A.显然点Q(2a，a＋2)是直线x－2y＋4＝0上的点，圆心C(2，0)，半径为，圆心C到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝，所以PQ长度的最小值为－＝.
12．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：选B.圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)可化为：x2＋(y－a)2＝a2，由题意，d＝，所以有，a2＝＋2，解得a＝2.所以圆M：x2＋(y－2)2＝22，圆心距为，半径和为3，半径差为1，所以二者相交．
13．(2017·抚州一模)已知直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切，则a＋b＋ab的最大值为( )
A．1 B．－1
C.＋ D．1＋
解析：选C.因为直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切，所以＝1，即a2＋b2＝1，
令a＝cos θ，b＝sin θ(θ是参数)，即
a＋b＋ab＝cos θ＋sin θ＋cos θsin θ，令
cos θ＋sin θ＝t(－≤t≤)，则
cos θsin θ＝，即a＋b＋ab＝，由二次函数的性质可知，当t＝时，a＋b＋ab的最大值为＋.
14．过点C(3，4)作圆x2＋y2＝5的两条切线，切点分别为A，B，则点C到直线AB的距离为________．
解析：以OC为直径的圆的方程为＋(y－2)2＝，AB为圆C与圆O：x2＋y2＝5的公共弦，所以AB的方程为x2＋y2－＝5－，化为3x＋4y－5＝0，C到AB的距离为d＝＝4.
答案：4
15．过点P(－1，1)作圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2＝1(t∈R)的切线，
切点分别为A，B，则·的最小值为________．
解析：圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2＝1的圆心坐标为(t，t－2)，半径为1，
所以PC＝＝≥，
PA＝PB＝，
cos∠APC＝，所以cos∠APB＝2－1＝1－，
所以·＝(PC2－1)＝－3＋PC2＋≥－3＋8＋＝，
所以·的最小值为.
答案：
C级 素养加强练
16．已知△ABC的三个顶点A(－1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圆为⊙H.
(1)若直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，求直线l的方程．
(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以点C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求⊙C的半径r的取值范围．
解：(1)线段AB的垂直平分线方程为x＝0，线段BC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0，所以外接圆圆心为H(0，3)，半径为＝，
⊙H的方程为x2＋(y－3)2＝10.
设圆心H到直线l的距离为d，
因为直线l被⊙H截得的弦长为2，所以d＝＝3.
当直线l垂直于x轴时，显然符合题意，即x＝3为所求；当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y－2＝k(x－3)，则＝3，解得k＝，直线l的方程为4x－3y－6＝0.
综上，直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0.
(2)直线BH的方程为3x＋y－3＝0，
设P(m，n)(0≤m≤1)，N(x，y)，
因为点M是线段PN的中点，所以M，
又M，N都在半径为r的⊙C上，
所以
即
因为此方程组有解，
即以(3，2)为圆心，r为半径的圆与以(6－m，4－n)为圆心，2r为半径的圆有公共点，
所以(2r－r)2≤(3－6＋m)2＋(2－4＋n)2≤(r＋2r)2，又3m＋n－3＝0，
所以r2≤10m2－12m＋10≤9r2对∀m∈[0，1]成立．
而f(m)＝10m2－12m＋10在[0，1]上的值域为，
故r2≤且10≤9r2.
又线段BH与圆C无公共点，
所以(m－3)2＋(3－3m－2)2＞r2，对∀m∈[0，1]成立，即r2＜.
故⊙C的半径r的取值范围为.
