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- 2021-04-15 发布
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期中数学（理科）考试题
（90分钟 满分100）
一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分。每题只有一个正确选项，不选、多选、错选都不得分）
1．在复平面内,复数所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2．若复数满足，则复数等于
A．1+ B．1- C． D．2
3． 已知，则等于
A． B． C． D．
4．
A．4 B．2 C．-2 D．0
5．曲线y=x3+x-2 在点P0处的切线平行于直线y=4x，则点P0的坐标是
A．(0,1) B．(1,0) C．(-1,-4)或（1,0） D．(-1,-4)
6. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，下列假设正确的是
A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角至多有一个大于60度
C．假设三内角都大于60度 D． 假设三内角至多有两个大于60度
7. “∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”补充以上演绎推理的大前提是
A．四边形ABCD是矩形 B． 矩形是对角线相等的四边形
C．四边形ABCD的对角线相等 D．矩形是对边平行且相等的四边形
8．可表示为（ ）
A. B. C. D.
9．设为虚数单位，若复数满足，其中为复数的共轭复数，则（ ）
A. 1 B. C. D. 2
10．函数在定义域内可导，其图象如图所示，
记的导函数为，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
11. 设()，那么等于
A． B．
C． D．
12． 已知对于任意，有，，且时，，则时有
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题：（本大题共4小题；每小题3分，共12分。）
13. 复数的共轭复数是
14．若f(x)=x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是__________。
15．安排5名歌手的演出顺序时，要求甲不第一个出场，乙不最后一个出场，不同排法的总数是 .(用数字作答)
16．给出下列不等式:
………
则按此规律可猜想第个不等式为
三、解答题：（本大题共5小题，共52
分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．(本小题共10分) 计算：
（1）
（2）
18.(本小题10分）已知曲线C：
（1）试求曲线C在点处的切线方程；
（2）试求与直线平行的曲线C的切线方程．
19.（本小题10 分）
已知复数.
当实数取什么值时，复数是①实数； ②虚数；③纯虚数；
20.已知数列满足
1.求
2.归纳猜想出通项公式,并且用数学归纳法证明.
21.（本小题满分12分）
已知函数，其中且m为常数．
(Ⅰ)试判断当时函数在区间上的单调性,并说明理由；
(Ⅱ)设函数在处取得极值，求m的值，并讨论函数的单调性．
数学（理科）试题答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
B
D
C
C
B
B
B
A
C
B
二、填空题
13． 14.(-∞,-1)∪(2,+∞) 15.78
16.
三、解答题
17．(本小题满分10分)
(1) 165 (2)
18．(本小题满分10分)
(1) ∵，∴ …………1分
求导数得： …………2分
∴切线的斜率为． …………3分
∴所求切线方程为，即： …………5分
（2）设与直线平行的切线的切点为，
则切线的斜率为
又∵所求切线与直线平行，∴．
解得：，代入曲线方程得：切点为或 …………8分
∴所求切线方程为：或
即：或 …………10分
19. (本小题满分10分)
①当时，即或时，复数为实数.
②当时，即且时，复数为虚数.
③当时，解得
即时，复数为纯虚数.
20（本小题满分10分)
(1）
（2）归纳猜想出通项公式
证明：①当时, ,成立
②假设时成立,即,
则当时,由
得:
所以时也成立;
综合①②,对等式都成立,从而得证.
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当时，，
求导数得： ……２分
∵当时，，∴ ……４分
∴当时函数在区间上为增函数， ……5分
（Ⅱ）求导数得： ……7分
由是的极值点得，∴ ……8分
于是，定义域为， ……9分
显然函数在上单调递增，且
因此当时，；时， ……11分
所以在上单调递减，在单调递增 ……12分
