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- 2021-04-15 发布
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2020届一轮复习北师大版 圆与圆的位置关系 作业
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系为 ( )
A.外离 B.相交 C.外切 D.内切
【解析】选B.圆O1的圆心坐标为(1,0),半径长r1=1;圆O2的圆心坐标为(0,2),半径长r2=2;1=r2-r1<|O1O2|=4=r1+r2,
所以两圆外离,
所以A,B两点之间的最短距离为2-4.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是________.
【解析】因为点A(a,b)在圆x2+y2=4上,
所以a2+b2=4.
又圆x2+(y-b)2=1的圆心C1(0,b),半径r1=1,
圆(x-a)2+y2=1的圆心C2(a,0),半径r2=1,
则d=|C1C2|===2,
所以d=r1+r2.所以两圆外切.
答案:外切
7.两圆x2+y2=16与(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0)在交点处的切线互相垂直,则r=________.
【解析】设一个交点为P(x0,y0),
则+=16,(x0-4)2+(y0+3)2=r2,
所以r2=41-8x0+6y0,
因为两切线互相垂直,
所以·=-1,所以3y0-4x0=-16.
所以r2=41+2(3y0-4x0)=9,所以r=3.
答案:3
8.(2018·保定高一检测)两圆相交于两点A(1,3)和B(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c的值为________.
【解析】由题意知,线段AB的中点在直线x-y+c=0上,
且kAB==-1,即m=5,
又点在该直线上,
所以-1+c=0,所以c=-2,
所以m+c=3.
答案:3
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.a为何值时,两圆x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和x2+y2+2x-2ay+a2-3=0.
(1)外切?(2)内切?
【解析】将两圆方程化成标准方程分别为(x-a)2+(y+2)2=9,(x+1)2+(y-a)2=4.
设两圆的圆心距为d,
则d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5.
(1)当d=5,即2a2+6a+5=25时,两圆外切,此时a=-5,或a=2.
(2)当d=1,即2a2+6a+5=1时,两圆内切,解得a=-1,或a=-2.
10.已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0.
(1)试判断两圆的位置关系.
(2)求公共弦所在的直线方程.
(3)求公共弦的长度.
【解析】(1)将两圆方程配方化为标准方程,
C1:(x-1)2+(y+5)2=50,
C2:(x+1)2+(y+1)2=10.
则圆C1的圆心为(1,-5),半径r1=5;
圆C2的圆心为(-1,-1),半径r2=.
又|C1C2|=2,r1+r2=5+,
r1-r2=5-.
所以r1-r2<|C1C2|0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是 ( )
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
【解析】选B.由题知圆M:x2+(y-a)2=a2,圆心(0,a)到直线x+y=0的距离d=,所以2=2,解得a=2.圆M、圆N的圆心距|MN|=,两圆半径之差为1、半径之和为3,故两圆相交.
2.(2018·遵义高一检测)若圆(x-a)2+(y-b)2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周长,则a,b应满足的关系式是 ( )
A.a2-2a-2b-3=0
B.a2+2a+2b+5=0
C.a2+2b2+2a+2b+1=0
D.3a2+2b2+2a+3b+1=0
【解析】选B.由题意知,相交弦过已知圆圆心,相交弦所在直线方程为2(1+a)x+2(1+b)y-a2-1=0,而点(-1,-1)在此直线上,故有a2+2a+2b+5=0.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2018·滁州高一检测)若圆x2+y2-2ax+a2=2和圆x2+y2-2by+b2=1外离,则a,b满足的条件是________.
【解题指南】由于两圆外离,则两圆的圆心距应大于两圆的半径之和.
【解析】圆x2+y2-2ax+a2=2可化为(x-a)2+y2=2,则圆心为(a,0),半径为;圆x2+y2-2by+b2=1可化为x2+(y-b)2=1,则圆心为(0,b),半径为1.由于两圆外离,则有>1+,即a2+b2>3+2.
答案:a2+b2>3+2
4.已知点P在圆x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆x2+y2+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是________.
【解析】由已知得C1(4,2),r1=3,C2(-2,-1),r2=2,所以|PQ|min=|C1C2|-r1-r2= -3-2=3-5.
答案:3-5
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心O2(2,1).
(1)若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程.
(2)若圆O2与圆O1交于A,B两点,且|AB|=2,求圆O2的方程.
【解析】(1)因为两圆外切,所以|O1O2|=r1+r2,r2=|O1O2|-r1=2(-1),
故圆O2的方程是(x-2)2+(y-1)2=12-8.
(2)设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=.
因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,此两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在直线的方程:4x+4y+-8=0.①
作O1H⊥AB,则|AH|=|AB|=,
|O1H|===.
又圆心(0,-1)到直线①的距离为=,
得=4或=20,
故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.
6.(2018·遵义高一检测)如图,已知圆心坐标为M(,1)的圆M与x轴及直线y=x均相切,切点分别为A,B,另一圆N与圆M,x轴及直线y=x均相切,切点分别为C,D.
(1)求圆M和圆N的方程.
(2)过B点作MN的平行线l,求直线l被圆N截得的弦的长度.
【解析】(1)由于圆M与∠BOA的两边相切,故M到OA及OB的距离均为圆M的半径,则M在∠BOA的角平分线上,同理,N也在∠BOA的角平分线上,即O,M,N三点共线,且OMN为∠BOA的角平分线,因为M的坐标为M(,1),
所以M到x轴的距离为1,即:圆M的半径为1,
所以圆M的方程为(x-)2+(y-1)2=1;
设圆N的半径为r,由Rt△OAM∽Rt△OCN,得:OM∶ON=MA∶NC,即=⇒r=3,OC=3,
所以圆N的方程为:(x-3)2+(y-3)2=9.
(2)由对称性可知,所求弦长等于过A点的MN的平行线被圆N截得的弦长,此弦所在直线方程为y=(x-),即x-y-=0,
圆心N到该直线的距离d==,则弦长=2=.
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