【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系学案 26页

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)‎ 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ0‎ Δ0‎ Δ0‎ 几何观点 dr dr dr ‎2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)‎ 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d＞r1＋r2‎ d＝r1＋r2‎ ‎|r1－r2|＜d＜r1＋r2‎ d＝|r1－r2|‎ d＜|r1－r2|‎ ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)“k＝‎1”‎是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　　)‎ ‎(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　)‎ ‎(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　)‎ ‎(4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是(　　)‎ A．相离　　　　　　　　 　B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心 解析：选D　将圆C的方程化为标准方程得C：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为＝＜2，所以直线l与圆相交．又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心．‎ ‎3．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)‎ A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 解析：选B　∵两圆心距离d＝＝，r1＋r2＝2＋3＝5，|r1－r2|＝1，∴|r1－r2|0，‎ 所以直线l与圆相交．‎ 法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交．‎ 法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．‎ ‎[题型技法]　判断直线与圆的位置关系一般有两种方法 ‎(1)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．‎ ‎(2)代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系．‎ ‎[妙招]　由于本题中的直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，故可先判断该点与圆的位置关系，如果点在圆内，则一定相交；否则再利用常规方法求解．‎ ‎(二)迁移考——已知直线与圆的位置关系求参数值或取值范围 ‎2．(2018·湖南湘中名校联考)已知m＞0，n＞0，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是________．‎ 解析：因为m＞0，n＞0，直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径1，所以＝1，即|m＋n|＝.两边平方并整理得mn＝m＋n＋1.‎ 由基本不等式mn≤2可得m＋n＋1≤2，‎ 即(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，‎ 解得m＋n≥2＋2.‎ 当且仅当m＝n时等号成立．‎ 答案：[2＋2，＋∞)‎ ‎[题型技法]　已知直线与圆的位置关系求参数值或取值范围，就是利用d＝r，d>r或d4，∴点M在圆C外部．‎ 当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，‎ 即x－3＝0.‎ 又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，‎ 即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．‎ 当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，‎ 即kx－y＋1－3k＝0，‎ 则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，‎ 解得k＝.‎ ‎∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.‎ 综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.‎ ‎∵|MC|＝＝ ，‎ ‎∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.‎ ‎[解题师说]‎ ‎1．解题关键 正确判断点与圆的位置关系是求切线方程的关键一步．若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．‎ ‎2．解题方法 ‎(1)求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法 先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程．‎ ‎(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程两方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 ‎[注意]　当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况．(如典题领悟(2))‎ ‎3．常用结论 ‎(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2；‎ ‎(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；‎ ‎(3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2；‎ ‎(4)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A‎1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 　B. C. D. 解析：选A　以线段A‎1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab ‎＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝ ＝.‎ ‎2．(2018·湖南四地联考)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，过点(a，b)作圆的切线，则切线长的最小值是(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．6‎ 解析：选C　圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，‎ 所以圆心为点(－1,2)，半径为.‎ 因为圆C关于直线2ax＋by＋6＝0对称，‎ 所以圆心C在直线2ax＋by＋6＝0上，‎ 所以－‎2a＋2b＋6＝0，‎ 即b＝a－3，点(a，b)到圆心的距离 d＝＝ ‎＝＝.‎ 所以当a＝2时，d取最小值＝3，此时切线长最小，为＝＝4，所以选C.‎ 　　　　 ‎[题点全练]‎ 角度(一)　已知直线与圆的方程求圆的弦长 ‎1．若a2＋b2＝‎2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 　B．1‎ C. D. 解析：选D　因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝＝，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 ＝，所以弦长为.‎ ‎[题型技法]　解决圆的弦长问题的2种方法 几何法 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝ ·|yA－yB|(其中k≠0)．‎ 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；‎ 当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|‎ 角度(二)　已知圆的弦长求直线和圆的方程中的参数 ‎2．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝(　　)‎ A．－ B．± C．－ D．± 解析：选D　记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，|CA|＝|CB|＝可知，圆心C(1,2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是＝1，解得b＝±.‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋‎2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．‎ 解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝，因为|AB|＝2，点C到直线y＝x＋‎2a的距离d＝＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.‎ 答案：4π ‎[题型技法]‎ ‎1．解题突破口 当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形是解决此类问题的突破口．‎ ‎2．常用结论 当直线与圆相交时，讨论直线被圆截得的弦长问题是高考中常见的题型，此时要充分考虑与圆相关的平面几何知识的运用：(1)垂直于弦的直径平分这条弦；(2)圆心与弦的中点连线垂直于这条弦；(3)d2＋2＝r2.‎ ‎3．常用方法 在研究与弦的中点有关的问题时，注意运用“点差法”，即 设弦AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为(x0，y0)，由得k＝＝－＝－.该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题．‎ ‎[题“根”探求]‎ 求解与圆有关的弦长问题，其关键是建立半径、半弦、弦心距之间的关系，其解题流程为：‎ 确定圆心⇒求圆心到直线的距离d建立方程r2＝d2＋2.‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　)‎ A．2 B. C. D. 解析：选A　依题意，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为bx－ay＝0.因为直线bx－ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以＝，所以‎3a2＋3b2＝4b2，所以‎3a2＝b2，所以e＝＝＝2.‎ ‎2．若直线l：x＋y＝m与曲线C：y＝有且只有两个公共点，则m的取值范围是________．‎ 解析：画出图象如图，当直线l经过点A，B时，m＝1，此时直线l与曲线y＝有两个公共点，当直线l与曲线相切时，m＝，因此当1≤m< 时，直线l：x＋y＝m与曲线y＝有且只有两个公共点．‎ 答案：[1，)‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：‎ ‎(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；‎ ‎(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．‎ 解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：‎ 设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，‎ 所以x1x2＝－2.‎ 又C的坐标为(0,1)，‎ 故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，‎ 所以不能出现AC⊥BC的情况．‎ ‎(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为，‎ 可得BC的中垂线方程为y－＝x2.‎ 由(1)可得x1＋x2＝－m，‎ 所以AB的中垂线方程为x＝－.‎ 联立可得 所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，‎ 半径r＝.‎ 故圆在y轴上截得的弦长为2 ＝3，‎ 即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．‎ 　　　　 圆与圆的位置关系是每年高考的重点，主要考查两圆位置关系的判断或已知两圆位置关系求参数，题型多为选择题，难度适中，属于中低档题.‎ ‎[典题领悟]‎ 已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.‎ ‎(1)求证：圆C1和圆C2相交；‎ ‎(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．‎ 解：(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝，‎ 圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4，‎ 两圆圆心距d＝|C‎1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，‎ ‎|r1－r2|＝4－，‎ ‎∴|r1－r2|0，∴a＝2.∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，‎ 即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2.‎ 又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，‎ ‎∴|MN|＝＝.‎ ‎∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，‎ ‎∴两圆相交．‎ 法二：由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，故两圆相交．‎ ‎(一)普通高中适用作业 A级——基础小题练熟练快 ‎1．已知点(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r≠0)的外部，则ax＋by＝r2与C的位置关系是(　　)‎ A．相切　　　　　　　　　 　B．相离 C．内含 D．相交 解析：选D　由已知a2＋b2>r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝，则d0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为(　　)‎ A．3 B. C．2 D．2‎ 解析：选D　圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为(0,1)，半径r＝1.由圆的性质，知S四边形PACB＝2S△PBC.∵四边形PACB的最小面积是2，∴S△PBC的最小值为1，则rdmin＝1(d是切线长)，∴dmin＝2.∵圆心到直线的距离就是PC的最小值，∴|PC|min＝＝＝.∵k>0，∴k＝2.故选D.‎ ‎7．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦的长度为________．‎ 解析：两圆的公共弦长即两圆交点间的距离，将两圆方程联立，可求得弦所在直线为2x＋y－15＝0，原点到该直线的距离为d＝＝3，则公共弦的长度为2＝2＝2.‎ 答案：2 ‎8．已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A的横坐标的取值范围为________．‎ 解析：由题意知，过点A的两直线与圆M相切时，夹角最大，当∠BAC＝60°时，MA＝＝＝4.设A(x，6－x)，所以(x－1)2＋(6－x－1)2＝16，解得x＝1或x＝5，因此点A的横坐标的取值范围为[1,5]．‎ 答案：[1,5]‎ ‎9．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．‎ 解析：由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，‎ 所以圆C的圆心坐标为C(－1,2)，半径为3，‎ 由AC⊥BC，可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，‎ 故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为，‎ 由点到直线的距离公式可得＝，‎ 解得a＝0或a＝6.‎ 答案：0或6‎ ‎10．在圆C：x2＋y2－2x－2y－7＝0上总有四个点到直线l：3x＋4y＋m＝0的距离是1，则实数m的取值范围是____________．‎ 解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9.若圆上有四个点到直线3x＋4y＋m＝0的距离是1，则圆心到直线的距离小于2，即d＝<2，解得－170)，则解得所以圆的方程为(x＋2)2＋(y＋‎ ‎3)2＝9.故选B.‎ ‎2．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数t的最小值为(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ 解析：选D　由∠APB＝90°得，点P在圆x2＋y2＝t2上，因此由两圆有交点得|t－1|≤|OC|≤t＋1⇒|t－1|≤2≤t＋1⇒1≤t≤3，即t的最小值为1.‎ ‎3．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为(　　)‎ A．x2＋y2＝1‎ B．x2＋y2＝4‎ C．x2＋y2＝ D．x2＋y2＝1或x2＋y2＝37‎ 解析：选D　如图所示，因为A(－2,3)，B(－2，－1)，C(6，－1)．‎ ‎∴过A，C的直线方程为＝，化为一般式为x＋2y－4＝0.点O到直线x＋2y－4＝0的距离d＝＝>1，‎ 又|OA|＝＝，|OB|＝＝，|OC|＝＝.‎ ‎∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，∴圆的半径分别为1或，则圆的方程为x2＋y2＝1或x2＋y2＝37.‎ ‎4．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋‎3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.‎ 解析：由直线l：mx＋y＋‎3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到直线l的距离为d＝.‎ 由|AB|＝2，得2＋()2＝12，‎ 解得m＝－.‎ 又直线l 的斜率为－m＝，‎ 所以直线l的倾斜角α＝.‎ 画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.‎ 答案：4‎ ‎5．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．‎ 解析：由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0，即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1，0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1,1]．‎ 答案：[－1,1]‎ ‎6．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．‎ 解：(1)设圆心的坐标为C(a，－‎2a)，‎ 则＝.‎ 化简，得a2－‎2a＋1＝0，解得a＝1.‎ ‎∴C(1，－2)，半径r＝|AC|＝＝.‎ ‎∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.‎ ‎(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得＝1，解得k＝－，‎ ‎∴直线l的方程为y＝－x，即3x＋4y＝0.‎ 综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.‎ ‎7．已知以点C为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点．‎ ‎(1)求证：△OAB的面积为定值；‎ ‎(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．‎ 解：(1)证明：由题意知圆C过原点O，‎ ‎∴半径r＝|OC|.‎ 又∵|OC|2＝t2＋，‎ ‎∴设圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋.‎ 令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，则A(2t,0)．‎ 令x＝0，得y1＝0，y2＝，则B.‎ ‎∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝××|2t|＝4，‎ 即△OAB的面积为定值．‎ ‎(2)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，‎ ‎∴OC垂直平分线段MN.‎ ‎∵kMN＝－2，∴kOC＝，‎ ‎∴直线OC的方程为y＝x.‎ ‎∴＝t，解得t＝2或t＝－2.‎ 当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，r＝|OC|＝，‎ 此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，‎ 圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．‎ 当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，r＝|OC|＝，‎ 此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>，‎ 圆C与直线y＝－2x＋4不相交．‎ ‎∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎ C级——重难题目自主选做 ‎1．已知点G(5,4)，圆C1：(x－1)2＋(y－4)2＝25，过点G的动直线l与圆C1相交于E，F两点，线段EF的中点为C，且C在圆C2上．‎ ‎(1)若直线mx＋ny－1＝0(mn>0)经过点G，求mn的最大值；‎ ‎(2)求圆C2的方程；‎ ‎(3)若过点A(1,0)的直线l1与圆C2相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M.l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，求证：|AM|·|AN|为定值．‎ 解：(1)∵点G(5,4)在直线mx＋ny－1＝0上，∴‎5m＋4n＝1,‎5m＋4n≥2(当且仅当‎5m＝4n时取等号)，‎ ‎∴1≥80mn，即mn≤，∴(mn)max＝.‎ ‎(2)由已知得圆C1的圆心为(1,4)，半径为5，‎ 设C(x，y)，则＝(x－1，y－4)，＝(5－x,4－y)，‎ 由题设知·＝0，‎ ‎∴(x－1)(5－x)＋(y－4)(4－y)＝0，‎ 即(x－3)2＋(y－4)2＝4，‎ ‎∴C2的方程是(x－3)2＋(y－4)2＝4.‎ ‎(3)证明：当直线l1的斜率不存在时，直线l1与圆C2相切，当直线l1的斜率为0时，直线l1与圆C2相离，故设直线l1的方程为kx－y－k＝0(k≠0)．‎ 由直线l1与圆C2相交，得<2，解得k>.‎ 由得N，‎ 又直线C‎2M与l1垂直，‎ 由得M，‎ ‎∴|AM|·|AN|＝ · ＝··＝6(定值)．‎ ‎2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．‎ ‎(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；‎ ‎(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．‎ 解：圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，‎ 所以圆心M(6,7)，半径为5.‎ ‎(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．‎ 因为圆N与x轴相切，与圆M外切，‎ 所以0＜y0＜7，圆N的半径为y0，‎ 从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.‎ 因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.‎ ‎(2)因为直线l∥OA，‎ 所以直线l的斜率为＝2.‎ 设直线l的方程为y＝2x＋m，‎ 即2x－y＋m＝0，‎ 则圆心M到直线l的距离 d＝＝.‎ 因为|BC|＝|OA|＝＝2，‎ 而MC2＝d2＋2，‎ 所以25＝＋5，‎ 解得m＝5或m＝－15.‎ 故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.‎ ‎(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．‎ 因为A(2,4)，T(t,0)，＋＝，‎ 所以　　　　　①‎ 因为点Q在圆M上，‎ 所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25. ②‎ 将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.‎ 于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，‎ 从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，‎ 所以5－5≤ ≤5＋5，‎ 解得2－2≤t≤2＋2.‎ 因此，实数t的取值范围是[2－2，2＋2 ]．‎ ‎(二)重点高中适用作业 A级——保分题目巧做快做 ‎1．若直线l：y＝kx＋1(k＜0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是(　　)‎ A．相交　　　　　　　　 　B．相切 C．相离 D．不确定 解析：选A　因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，‎ 所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为，‎ 因为直线l与圆C相切．‎ 所以＝，解得k＝±1，‎ 因为k＜0，所以k＝－1，‎ 所以直线l的方程为x＋y－1＝0.‎ 圆心D(2,0)到直线l的距离 d＝＝＜，‎ 所以直线l与圆D相交．‎ ‎2．直线y－1＝k(x－3)被圆(x－2)2＋(y－2)2＝4所截得的最短弦长等于(　　)‎ A. B．2 C．2 D. 解析：选C　直线y－1＝k(x－3)过定点M(3,1)，此点在圆内，圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的圆心为C(2,2)，半径为r＝2，弦长最短时，直线与CM垂直，|CM|＝＝，则最短弦长l＝2＝2＝2.故选C.‎ ‎3．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)‎ A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ 解析：选D　点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴圆心(－3,2)到直线的距离d＝＝1，化简得24k2＋50k＋24＝0，解得k＝－或－.‎ ‎4．在平面直角坐标系内，过点P(0,3)的直线与圆心为C的圆x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B两点，则△ABC面积的最大值是(　　)‎ A．2 B．4‎ C. D．2 解析：选A　过点P(0,3)的直线与圆心为C的圆x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B两点，‎ ‎①当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝0，在y轴上所截得的线段长为d＝2×＝2，所以S△ABC＝×2×1＝.‎ ‎②当直线的斜率存在时．设圆心到直线的距离为d，则所截得的弦长l＝2.所以S△ABC＝×2×d＝×≤＝2，当且仅当d＝时成立．所以△ABC面积的最大值为2.‎ ‎5．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，)，则四边形ABCD面积的最大值为(　　)‎ A．5 B．10‎ C．15 D．20‎ 解析：选A　如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，‎ 则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3，∴|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝20.‎ 又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，‎ 则|AC|·|BD|≤10，‎ ‎∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|≤×10＝5，‎ 当且仅当|AC|＝|BD|＝时等号成立，‎ ‎∴四边形ABCD面积的最大值为5.故选A.‎ ‎6．若圆B：x2＋y2＋b＝0与圆C：x2＋y2－6x＋8y＋16＝0没有公共点，则实数b的取值范围是________．‎ 解析：圆B的圆心B(0,0)，半径R＝，圆C的圆心C(3，－4)，半径r＝3，根据两点间距离公式，得|BC|＝5.‎ 由题意两圆相离或相内含，‎ 当两圆相离时，有|BC|>R＋r，‎ 即<2，解得－48，解得b<－64，‎ 综上，实数b的取值范围为(－∞，－64)∪(－4,0)．‎ 答案：(－∞，－64)∪(－4,0)‎ ‎7．已知直线l1：x＋2y＝a＋2和直线l2：2x－y＝‎2a－1分别与圆(x－a)2＋(y－1)2＝16相交于A，B和C，D，则四边形ACBD的内切圆的面积为________．‎ 解析：因为直线l1：x＋2y＝a＋2和直线l2：2x－y＝‎2a－1互相垂直且交于点(a,1)，而(a,1)恰好是圆(x－a)2＋(y－1)2＝16的圆心，所以四边形ACBD是边长为4的正方形，因此其内切圆半径是2，面积是8π.‎ 答案：8π ‎8．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋‎3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.‎ 解析：由直线l：mx＋y＋‎3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到直线l的距离为d＝.‎ 由|AB|＝2，得2＋()2＝12，‎ 解得m＝－.‎ 又直线l 的斜率为－m＝，‎ 所以直线l的倾斜角α＝.‎ 画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.‎ 答案：4‎ ‎9．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．‎ 解：(1)设圆心的坐标为C(a，－‎2a)，‎ 则＝.‎ 化简，得a2－‎2a＋1＝0，解得a＝1.‎ ‎∴C(1，－2)，半径r＝|AC|＝＝.‎ ‎∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.‎ ‎(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得＝1，解得k＝－，‎ ‎∴直线l的方程为y＝－x，即3x＋4y＝0.‎ 综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.‎ ‎10．已知以点C为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点．‎ ‎(1)求证：△OAB的面积为定值；‎ ‎(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．‎ 解：(1)证明：由题意知圆C过原点O，‎ ‎∴半径r＝|OC|.‎ 又∵|OC|2＝t2＋，‎ ‎∴设圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋.‎ 令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，则A(2t,0)．‎ 令x＝0，得y1＝0，y2＝，则B.‎ ‎∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝××|2t|＝4，‎ 即△OAB的面积为定值．‎ ‎(2)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，‎ ‎∴OC垂直平分线段MN.‎ ‎∵kMN＝－2，∴kOC＝，‎ ‎∴直线OC的方程为y＝x.‎ ‎∴＝t，解得t＝2或t＝－2.‎ 当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，r＝|OC|＝，‎ 此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，‎ 圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．‎ 当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，r＝|OC|＝，‎ 此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>，‎ 圆C与直线y＝－2x＋4不相交．‎ ‎∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎ B级——拔高题目稳做准做 ‎1．已知直线3x＋4y－15＝0与圆O：x2＋y2＝25交于A，B两点，点C在圆O上，且S△ABC＝8，则满足条件的点C的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选C　圆心O到已知直线的距离为d＝＝3，‎ 因此|AB|＝2＝8，‎ 设点C到直线AB的距离为h，则S△ABC＝×8×h＝8，h＝2，由于d＋h＝3＋2＝5＝r(圆的半径)，‎ 因此与直线AB距离为2的两条直线中一条与圆相切，一条与圆相交，故符合条件的点C有三个．‎ ‎2．已知直线y＝x＋m和圆x2＋y2＝1交于A，B两点，O为坐标原点，若·＝，则实数m的值为(　　)‎ A．±1 B．± C．± D．± 解析：选C　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(－x1，－y1)，＝(x2－x1，y2－y1)，由得，2x2＋2mx＋m2－1＝0，故Δ＝‎4m2‎－8(m2－1)＝8－‎4m2‎>0，－0)经过点G，求mn的最大值；‎ ‎(2)求圆C2的方程；‎ ‎(3)若过点A(1,0)的直线l1与圆C2相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M.l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，求证：|AM|·|AN|为定值．‎ 解：(1)∵点G(5,4)在直线mx＋ny－1＝0上，∴‎5m＋4n＝1,‎5m＋4n≥2(当且仅当‎5m＝4n时取等号)，‎ ‎∴1≥80mn，即mn≤，∴(mn)max＝.‎ ‎(2)由已知得圆C1的圆心为(1,4)，半径为5，‎ 设C(x，y)，则＝(x－1，y－4)，＝(5－x,4－y)，‎ 由题设知·＝0，‎ ‎∴(x－1)(5－x)＋(y－4)(4－y)＝0，‎ 即(x－3)2＋(y－4)2＝4，‎ ‎∴C2的方程是(x－3)2＋(y－4)2＝4.‎ ‎(3)证明：当直线l1的斜率不存在时，直线l1与圆C2相切，当直线l1的斜率为0时，直线l1与圆C2相离，故设直线l1的方程为kx－y－k＝0(k≠0)．‎ 由直线l1与圆C2相交，得<2，解得k>.‎ 由得N，‎ 又直线C‎2M与l1垂直，‎ 由得M，‎ ‎∴|AM|·|AN|＝ · ＝ ‎··＝6(定值)．‎