2018版高考数学（浙江·文理通用）大一轮教师文档讲义：第七章7-3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 22页

‎1．二元一次不等式表示的平面区域 ‎(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．‎ ‎(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．‎ ‎2．线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的一次不等式 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 ‎【知识拓展】‎ ‎1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：‎ ‎(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；‎ ‎(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．‎ ‎2．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：‎ 对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有 ‎(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；‎ ‎(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．‎ ‎3．最优解和可行解的关系：‎ 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　×　)‎ ‎(2)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(　√　)‎ ‎(3)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示．(　√　)‎ ‎(4)线性目标函数的最优解是唯一的．(　×　)‎ ‎(5)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．(　√　)‎ ‎(6)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　×　)‎ ‎1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是(　　)‎ A．(0,0) B．(－1,1)‎ C．(－1,3) D．(2，－3)‎ 答案　C 解析　把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.‎ ‎2．(教材改编)不等式组表示的平面区域是(　　)‎ 答案　C 解析　用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为C.‎ ‎3．(2016·北京)若x，y满足则2x＋y的最大值为(　　)‎ A．0 B．3 C．4 D．5‎ 答案　C 解析　不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，作直线2x＋y＝0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，‎ 由得所以A点坐标为(1,2)，可得2x＋y的最大值为2×1＋2＝4.‎ ‎4．(2017·杭州质检)设实数x，y满足不等式组若z＝2x＋y，则z的最大值等于________，z的最小值等于________．‎ 答案　2　0‎ 解析　作出可行域(图略)，由y＝－2x＋z，知当z＝2x＋y经过点(1,0)时，zmax＝2；‎ 当z＝2x＋y经过点(0,0)时，zmin＝0.‎ 题型一　二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题点1　不含参数的平面区域问题 例1　(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的(　　)‎ ‎(2)不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　(1)C　(2)C 解析　(1)(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇒ 或画出平面区域后，只有C符合题意．‎ ‎(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A(0，)，B(1,1)，C(0,4)，则△ABC的面积为×1×＝.故选C.‎ 命题点2　含参数的平面区域问题 例2　(1)(2015·重庆)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　　)‎ A．－3 B．1 C. D．3‎ ‎(2)若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是_________________．‎ 答案　(1)B　(2) 解析　(1) 不等式组表示的平面区域如图，则图中A点纵坐标yA＝1＋m，B点纵坐标yB＝，‎ C点横坐标xC＝－2m，‎ ‎∴S△ABD＝S△ACD－S△BCD＝×(2＋2m)×(1＋m)－×(2＋2m)×＝＝，‎ ‎∴m＝1或m＝－3，当m＝－3时，不满足题意应舍去，‎ ‎∴m＝1.‎ ‎(2)不等式组表示的平面区域如图所示．‎ 由于直线y＝kx＋过定点.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域．‎ 因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D.‎ 当y＝kx＋过点时，＝＋，‎ 所以k＝.‎ 思维升华　(1)求平面区域的面积：‎ ‎①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；‎ ‎②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．‎ ‎(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．‎ ‎　(1)不等式组表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为(　　)‎ A．(0,3] B．[－1,1]‎ C．(－∞，3] D．[3，＋∞)‎ ‎(2)已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为(　　)‎ A．1 B．－1 C．0 D．－2‎ 答案　(1)D　(2)A 解析　(1)直线y＝kx－1过定点M(0，－1)，由图可知，当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1与直线x＋y＝3的交点C(1,2)时，k最小，此时kCM＝＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞)．故选D.‎ ‎(2)由于x＝1与x＋y－4＝0不可能垂直，所以只可能x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直或x＝1与kx－y＝0垂直．‎ ‎①当x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直时，k＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求．‎ ‎②当x＝1与kx－y＝0垂直时，k＝0，检验不符合要求．‎ 题型二　求目标函数的最值问题 命题点1　求线性目标函数的最值 例3　(1)(2016·全国丙卷)若x，y满足约束条件 则z＝x＋y的最大值为________．‎ ‎(2)已知实数x，y满足：z＝|2x－2y－1|，则z的取值范围是(　　)‎ A．[，5] B．[0,5]‎ C．[0,5) D．[，5)‎ 答案　(1)　(2)C 解析　(1)满足约束条件的可行域为以A(－2，－1)，B(0,1)，C为顶点的三角形内部及边界，则y＝－x＋z过点C时Z取得最大值.‎ ‎(2)由约束条件作可行域如图，‎ 联立解得　∴A(2，－1)，‎ 联立解得∴B(，)．‎ 令u＝2x－2y－1，则y＝x－－，由图可知，当y＝x－－经过点A(2，－1)时，直线y＝x－－在y轴上的截距最小，u最大，最大值为2×2－2×(－1)－1＝5；当y＝x－－经过点B(，)时，直线y＝x－－在y轴上的截距最大，u最小，最小值为2×－2×－1＝－.‎ ‎∴－≤u<5，∴z＝|u|∈[0,5)．‎ 命题点2　求非线性目标函数的最值 例4　实数x，y满足 ‎(1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；‎ ‎(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围．‎ 解　由作出可行域，‎ 如图中阴影部分所示．‎ ‎ (1)z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，‎ 因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)．‎ 由得B(1,2)，‎ ‎∴kOB＝＝2，即zmin＝2，‎ ‎∴z的取值范围是[2，＋∞)．‎ ‎(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．‎ 因此x2＋y2的最小值为OA2，最大为OB2.‎ 由得A(0,1)，‎ ‎∴OA2＝()2＝1，‎ ‎∴zmax＝5，OB2＝()2＝5，‎ ‎∴z的取值范围是[1,5]．‎ 引申探究 ‎1．若z＝，求z的取值范围．‎ 解　z＝可以看作过点P(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率．‎ ‎∴z的取值范围是(－∞，0]．‎ ‎2．若z＝x2＋y2－2x－2y＋3.求z的最大值、最小值．‎ 解　z＝x2＋y2－2x－2y＋3‎ ‎＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，‎ 而(x－1)2＋(y－1)2表示点P(1,1)与Q(x，y)的距离的平方PQ2，(PQ)＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，‎ ‎(PQ)＝()2＝，‎ ‎∴zmax＝2＋1＝3，zmin＝＋1＝.‎ 命题点3　求参数值或取值范围 例5　(1)(2015·山东)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a等于(　　)‎ ‎ A．3 B．2 C．－2 D．－3‎ ‎(2)已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________.‎ 答案　(1)B　(2) 解析　(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．‎ 易知A(2,0)，‎ 由得B(1,1)．‎ 由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.‎ ‎∴当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在O(0,0)处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D选项；当a＝2或3时，z＝ax＋y在A(2,0)处取得最大值，‎ ‎∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故选B.‎ ‎(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．‎ 易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，‎ 由得 ‎∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝.‎ 思维升华　(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．‎ ‎(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：‎ ‎①表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；‎ ‎②表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．‎ ‎(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．‎ ‎　(1)(2016·临沂检测)若x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值是(　　)‎ A．－3 B．0 C. D．3‎ ‎(2)当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　(1)A　(2)[1，]‎ 解析　(1) 作出不等式组表示的可行域(如图所示的△ABC的边界及内部)．‎ 平移直线z＝x－y，易知当直线z＝x－y经过点C(0,3)时，目标函数z＝x－y取得最小值，即zmin＝－3.‎ ‎(2)画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a>0，数形结合知，满足即可，解得1≤a≤.所以a的取值范围是[1，]．‎ 题型三　线性规划的实际应用问题 例6　(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．‎ 答案　216 000‎ 解析　设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为 目标函数z＝2 100x＋900y.‎ 作出可行域为图中的四边形，‎ 包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，zmax＝2 100×‎ ‎60＋900×100＝216 000(元)．‎ 思维升华　解线性规划应用问题的一般步骤 ‎(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．‎ ‎(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多的)量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数．‎ ‎(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)．‎ ‎(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．‎ ‎(5)检验：根据结果，检验反馈．‎ ‎　(2016·杭州质检)某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x等于(　　)‎ A．10 B．12 C．13 D．16‎ 答案　C 解析　如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l：b＋a＝0，平移直线l，再由a，b∈N，可知当a＝6，b＝7时，xmax＝a＋b＝13.‎ ‎7．含参数的线性规划问题 典例　(1)在直角坐标系xOy中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是________．‎ ‎(2)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝________.‎ 错解展示 解析　(1) 如图，直线y＝k(x－1)－1过点(1，－1)，‎ 作出直线y＝2x，当k<－1或02时，不等式组表示一个三角形区域．‎ ‎(2)由不等式组表示的可行域，可知z＝ax＋y在点A(1,1)处取到最大值4，‎ ‎∴a＋1＝4，∴a＝3.‎ 答案　(1)(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞)　(2)3‎ 现场纠错 解析　(1)直线y＝k(x－1)－1过定点(1，－1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(－∞，－1)，只有此时可构成三角形区域．‎ ‎(2) 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．‎ 由得A(1,1)．‎ z＝ax＋y等价于y＝－ax＋z，‎ 因为z的最大值为4，‎ 即直线y＝－ax＋z的纵截距最大为4.‎ 若z＝ax＋y在A(1,1)处取得最大值，‎ 则纵截距必小于2，‎ 故只有直线y＝－ax＋z过点(2,0)且－a<0时符合题意，‎ ‎∴4＝a×2＋0，即a＝2.‎ 答案　(1)(－∞，－1)　(2)2‎ 纠错心得　(1)含参数的平面区域问题，要结合直线的各种情况进行分析，不能凭直觉解答．‎ ‎(2)目标函数含参的线性规划问题，要根据z的几何意义确定最优解，切忌搞错符号.‎ ‎1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为(　　)‎ A．(－24,7) B．(－7,24)‎ C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)‎ 答案　B 解析　由[3×(－3)－2×(－1)－a]·[3×4－2×(－6)－a]<0，‎ 得(a＋7)(a－24)<0，∴－70时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；‎ 当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.‎ ‎8．(2016·枣庄模拟)已知实数x，y满足约束条件则ω＝的最小值是(　　)‎ A．－2 B．2‎ C．－1 D．1‎ 答案　D 解析　作出不等式组对应的平面区域如图，‎ ω＝的几何意义是区域内的点P(x，y)与定点A(0，－1)所在直线的斜率，‎ 由图象可知当P位于点D(1,0)时，直线AP的斜率最小，此时ω＝的最小值为＝1.‎ 故选D.‎ ‎9．若关于x，y的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的平面区域的面积为______．‎ 答案　或 解析　直线kx－y＋1＝0过点(0,1)，要使不等式组表示的区域为直角三角形，只有直线kx－y＋1＝0垂直于y轴(如图(1))或与直线x＋y＝0垂直(如图(2))时才符合题意．所以S＝×1×1＝或S＝××＝.‎ ‎10．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是__________．‎ 答案　 解析　画出x、y满足约束条件的可行域如图所示，‎ 要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线x＋2y－3＝0的斜率，即－a<－，‎ ‎∴a>.‎ ‎11．(2017·宜春中学、新余一中联考)设x，y满足约束条件则的取值范围是________．‎ 答案　[3,11]‎ 解析　设z＝＝＝1＋2·，‎ 设z′＝，则z′的几何意义为动点P(x，y)到定点D(－1，－1)的斜率．画出可行域如图阴影部分所示，则易得z′∈[kDA，kDB]，即z′∈[1,5]，∴z＝1＋2·z′∈[3,11]．‎ ‎*12.(2016·嘉兴期末)设不等式组表示的平面区域为M，点P(x，y)是平面区域内的动点，则z＝2x－y的最大值是________，若直线l：y＝k(x＋2)上存在区域M内的点，则k的取值范围是________．‎ 答案　2　[，1]‎ 解析　不等式组对应的平面区域是以点(1,1)，(1,3)和(2,2)为顶点的三角形，当z＝2x－y经过点(2,2)时取得最大值2.又k＝经过点(1,1)时取得最小值，经过点(1,3)时取得最大值1，所以k的取值范围是[，1]．‎ ‎13. 已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．‎ ‎(1)写出表示区域D的不等式组；‎ ‎(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．‎ 解　(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.‎ 原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为 ‎(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0，‎ 即(14－a)(－18－a)<0，‎ 解得－18