高中数学人教a版必修四课时训练：1.5 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二) 7页

§1.5 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二) 课时目标 1.会用“五点法”画函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.明确函数 f(x)＝Asin(ωx＋ φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)中常数 A、ω、φ的物理意义．理解振幅、频率、相位、初相 的概念.3.了解函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性(如对称轴，对称中心)． 1．简谐振动 简谐振动 y＝Asin(ωx＋φ)中，______叫做振幅，周期 T＝______，频率 f＝______，相位是 ______，初相是______． 2．函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的性质如下： 定义域 R 值域 __________ 周期性 T＝____________ 奇偶性 φ＝______________时是奇函数；φ＝____________________________时是偶函数； 当φ≠kπ 2 (k∈Z)时是__________函数 单调性 单调增区间可由__________________________________________得到，单调减区 间可由______________________________得到 一、选择题 1．函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)为偶函数的条件是( ) A．φ＝π 2 ＋2kπ (k∈Z) B．φ＝π 2 ＋kπ (k∈Z) C．φ＝2kπ (k∈Z) D．φ＝kπ(k∈Z) 2．已知简谐运动 f(x)＝2sin π 3 x＋φ (|φ|<π 2 )的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期 T 和初相φ分别为( ) A．T＝6，φ＝π 6 B．T＝6，φ＝π 3 C．T＝6π，φ＝π 6 D．T＝6π，φ＝π 3 3．下列函数中，图象的一部分如下图所示的是( ) A．y＝sin x＋π 6 B．y＝sin 2x－π 6 C．y＝cos 4x－π 3 D．y＝cos 2x－π 6 4．已知函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π 2 )的部分图象如图所示，则( ) A．ω＝1，φ＝π 6 B．ω＝1，φ＝－ π 6 C．ω＝2，φ＝π 6 D．ω＝2，φ＝－ π 6 5．函数 y＝sin(ωx＋φ) (x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则( ) A．ω＝π 2 ，φ＝π 4 B．ω＝π 3 ，φ＝π 6 C．ω＝π 4 ，φ＝π 4 D．ω＝π 4 ，φ＝5π 4 6．设函数 f(x)＝2sin π 2 x＋π 5 ，若对于任意 x∈R，都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最 小值为( ) A．4 B．2 C．1 D.1 2 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．函数 y＝1 2 sin 2x－π 6 与 y轴最近的对称轴方程是__________． 8．已知函数 y＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝________. 9．函数 y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于 x＝π 6 对称，则φ的最小 值是________． 10．关于 f(x)＝4sin 2x＋π 3 (x∈R)，有下列命题 ①由 f(x1)＝f(x2)＝0可得 x1－x2是π的整数倍； ②y＝f(x)的表达式可改写成 y＝4cos 2x－π 6 ； ③y＝f(x)图象关于 － π 6 ，0 对称； ④y＝f(x)图象关于 x＝－ π 6 对称． 其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)． 三、解答题 11．已知曲线 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为 π 8 ， 2 ，此点到相邻最 低点间的曲线与 x轴交于点 3 8 π，0 ，若φ∈ － π 2 ， π 2 . (1)试求这条曲线的函数表达式； (2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象． 12．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函数，其图象关于点 M 3π 4 ，0 对 称，且在区间 0，π 2 上是单调函数，求φ和ω的值． 能力提升 13．右图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间[－π 6 ， 5π 6 ]上的图象．为了得到这个函数的图象， 只要将 y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点( ) A．向左平移 π 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变 B．向左平移 π 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变 C．向左平移 π 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变 D．向左平移 π 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变 14．如果函数 y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线 x＝－ π 8 对称，那么 a等于( ) A. 2 B．－ 2 C．1 D．－ 1 1．由函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数 A，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|. (2)因为 T＝2π ω ，所以往往通过求周期 T来确定ω，可通过已知曲线与 x轴的交点从而确定 T， 即相邻的最高点与最低点之间的距离为 T 2 ；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为 T. (3)从寻找“五点法”中的第一零点 － φ ω ，0 (也叫初始点)作为突破口．以 y＝Asin(ωx＋ φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离 y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第 一个点． 2．在研究 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ωx＋ φ＝π 2 ＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝3π 2 ＋2kπ(k∈Z)时取得最小值． §1.5 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二) 答案 知识梳理 1．A 2π ω ω 2π ωx＋φ φ 2．[－A，A] 2π |ω| kπ (k∈Z) π 2 ＋kπ (k∈Z) 非奇非偶 2kπ－π 2 ≤ωx＋φ≤2kπ＋π 2 (k∈Z) 2kπ＋π 2 ≤ωx＋φ≤2kπ＋3π 2 (k∈Z) 作业设计 1．B 2．A [T＝2π ω ＝ 2π π 3 ＝6，代入(0,1)点得 sin φ＝1 2 .∵－ π 2 <φ<π 2 ，∴φ＝π 6 .] 3．D [由图知 T＝4× π 12 ＋ π 6 ＝π，∴ω＝2π T ＝2.又 x＝ π 12 时，y＝1.] 4．D [由图象知 T 4 ＝ 7π 12 － π 3 ＝ π 4 ，∴T＝π，ω＝2.且 2×7π 12 ＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－π 6 (k∈ Z)． 又|φ|<π 2 ，∴φ＝－ π 6 .] 5．C [由 ω×1＋φ＝π 2 ω×3＋φ＝π ，解得 ω＝π 4 φ＝π 4 .] 6．B [对任意 x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立． ∴f(x1)＝f(x)min＝－2，f(x2)＝f(x)max＝2. ∴|x1－x2|min＝ T 2 ＝ 1 2 × 2π π 2 ＝2.] 7．x＝－ π 6 解析 令 2x－π 6 ＝kπ＋π 2 (k∈Z)，∴x＝kπ 2 ＋ π 3 (k∈Z)．由 k＝0，得 x＝π 3 ；由 k＝－1，得 x＝－ π 6 . 8.9π 10 解析 由图象知函数 y＝sin(ωx＋φ)的周期为 2 2π－3π 4 ＝ 5π 2 ，∴ 2π ω ＝ 5π 2 ，∴ω＝4 5 . ∵当 x＝3 4 π时，y有最小值－1， ∴ 4 5 × 3π 4 ＋φ＝2kπ－π 2 (k∈Z)． ∵－π≤φ<π，∴φ＝9π 10 . 9.5π 12 解析 y＝sin 2x向右平移φ个单位得 f(x)＝sin 2(x－φ)＝sin(2x－2φ)． 由 f π 6 ＝sin π 3 －2φ ＝±1， ∴ π 3 －2φ＝kπ＋π 2 (k∈Z)， ∴2φ＝－kπ－π 6 ，令 k＝－1，得 2φ＝5 6 π， ∴φ＝ 5 12 π或作出 y＝sin 2x的图象观察易知φ＝π 6 － － π 4 ＝ 5 12 π. 10．②③ 解析 对于①，由 f(x)＝0，可得 2x＋π 3 ＝kπ (k∈Z)． ∴x＝k 2 π－π 6 ，∴x1－x2是π 2 的整数倍，∴①错； 对于②，f(x)＝4sin 2x＋π 3 利用公式得： f(x)＝4cos π 2 － 2x＋π 3 ＝4cos 2x－π 6 . ∴②对； 对于③，f(x)＝4sin 2x＋π 3 的对称中心满足 2x＋π 3 ＝kπ， ∴x＝k 2 π－π 6 ， ∴ － π 6 ，0 是函数 y＝f(x)的一个对称中心．∴③对； 对于④，函数 y＝f(x)的对称轴满足 2x＋π 3 ＝ π 2 ＋kπ， ∴x＝ π 12 ＋ kπ 2 .∴④错． 11．解 (1)由题意知 A＝ 2，T＝4× 3 8 π－π 8 ＝π， ω＝2π T ＝2，∴y＝ 2sin(2x＋φ)． 又∵sin π 8 ×2＋φ ＝1，∴ π 4 ＋φ＝2kπ＋π 2 ，k∈Z， ∴φ＝2kπ＋π 4 ，k∈Z， 又∵φ∈ － π 2 ， π 2 ，∴φ＝π 4 . ∴y＝ 2sin 2x＋π 4 (2)列出 x、y的对应值表： x － π 8 π 8 3 8 π 5 8 π 7 8 π 2x＋π 4 0 π 2 π 3 2 π 2π y 0 2 0 － 2 0 描点，连线，如图所示： 12．解 ∵f(x)在 R 上是偶函数， ∴当 x＝0时，f(x)取得最大值或最小值． 即 sin φ＝±1，得φ＝kπ＋π 2 ，k∈Z，又 0≤φ≤π，∴φ＝π 2 . 由图象关于 M 3 4 π，0 对称可知，sin 3 4 πω＋π 2 ＝0，解得ω＝4 3 k－2 3 ，k∈Z. 又 f(x)在 0，π 2 上单调函数，所以 T≥π，即 2π ω ≥π， ∴ω≤2，又ω>0， ∴当 k＝1时，ω＝2 3 ；当 k＝2时，ω＝2. 13．A [由图象可知 A＝1，T＝5π 6 －(－π 6 )＝π，∴ω＝2π T ＝2. ∵图象过点(π 3 ，0)，∴sin(2π 3 ＋φ)＝0，∴ 2π 3 ＋φ＝π＋2kπ，k∈Z， ∴φ＝π 3 ＋2kπ，k∈Z.∴y＝sin(2x＋π 3 ＋2kπ)＝sin(2x＋π 3 )． 故将函数 y＝sin x先向左平移 π 3 个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍， 纵坐标不变，可得原函数的图象．] 14．D [方法一 ∵函数 y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于 x＝－ π 8 对称， 设 f(x)＝sin 2x＋acos 2x，则 f － π 4 ＝f(0) ∴sin － π 2 ＋acos － π 2 ＝sin 0＋acos 0.∴a＝－1. 方法二 由题意得 f － π 8 －x ＝f － π 8 ＋x ， 令 x＝π 8 ，有 f － π 4 ＝f(0)，即－1＝a.]