高考数学精英备考专题讲座 曲线与方程 7页

曲线与方程 曲线与方程是解析几何的基本概念,在近年的高考试题中,重点考查曲线与方程的关系,考 查曲线方程的探求方法,多以综合解答题的第⑴小问的形式出现,就这部分考题来说,属于中档 题,难度值一般在0.45 ~ 0.65 之间. 考试要求 ⑴了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. ⑵掌握一般曲线(点的轨迹)方程的求解方法和用定义法求圆锥曲线方程. 题型一 曲线与方程 例1 设集合{( , ) | ( , ) 0, , }x y F x y x y R非空.如果命题“坐标满足方程 ( , ) 0F x y  的点都在 曲线C 上”不正确,给出以下四个命题：①曲线 上的点的坐标都满足方程 ；②坐标 满足方程 的点有些在 上,有些不在 上；③坐标满足方程 的点都不在 曲线 上；④一定有不在曲线 上的点,并且其坐标满足方程 .那么正确命题的个数 是( ). A.1 B. 2 C.3 D. 4 点拨：直接用定义进行判断. 解：“坐标 满足方 程 的 点都 在曲 线 上”不正确,意味 着“坐标 满足 方程 的点不都在曲线 上”是正确的,即一定有不在曲线 上的点,并且其坐标满足方程 ,∴④正确；曲线 上的点的坐标可以有不满足方程 的,∴①错；若满足 方程 的 ( , )xy只有一解,则②错；“都”的否定是“不都”,而不是“都不”,∴③错.故选 A. 易错点：定义把握不准确,关键字句认识不到位,概念理解不深刻,均有可能错选其它选项. 变式与引申 2.已知定点 00( , )P x y 不在直线l ： ( , ) 0f x y  上,则方程 00( , ) ( , ) 0f x y f x y表示一条( ). A.过点 P 且平行于 的直线 B.过点 且垂直于 的直线 C.不过点 但平行于 的直线 D.不过点 但垂直于 的直线 题型二 代入法(相关点法)求曲线方程 例 2 已知点 (1,0)F ,点 A 、 B 分别在 x 轴、 y 轴上,且 2AP AB , AB FB ,当点 B 在 轴上 运动时,求点 P 的轨迹方程. 点拨：由 确定 A 与 B 的坐标关系,由 建立动点 与 、 的坐标关系,用 代入法求轨迹方程. 解：设 ( , )P x y , ( ,0)Aa , (0, )Bb,又 (1,0)F ,则 ( , )AP x a y , ( , )AB a b , ( 1, )FB b .由 AB FB , 得 2( , ) ( 1, ) 0AB FB a b b a b        ①. 由 2AP AB , 得 ( , ) 2( , )x a y a b   ,∴ 2x a a   , 2yb ,即 ax , 2 yb  ,代入①得, 2 2 ( ) 0yx   ,即 2 4yx , 当 0x  时,三点 A 、 B 、 P 重合,不满 足条件 ,∴ 0x  ,故点 P 的轨迹方程为 2 4 ( 0)y x x. 易错点：忽视轨迹方程中的 0x  . 变式与引申 3.已知O 为坐标原点,点 M 、 P 分别在 x 轴、 y 轴上运动,且| | 7MP  ,动点 N 满足 2 5 MN NP , 求动点 N 的轨迹方程. 题型三 待定系数法、直接法求曲线方程 例 3 已知椭圆C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点到两个焦点 的距离分别是 7 和1. ⑴求椭圆 的方程； ⑵若 P 为椭圆 的动点, M 为过 且垂直于 x 轴的直线上的点, || || OP OM e ( e 为椭圆 的 离心率),求点 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. 点拨：问题⑴用待定系数法求椭圆 的方程；问题⑵将点 P 、M 的坐标代入满足的关系式 中,化简后可得到点 的轨迹方程,然后说明其轨迹是什么曲线,并指明变量 x 的取值范围. 解：⑴ 设 椭 圆 的 标 准 方 程 为 22 221( 0)xy ab ab    , 半 焦 距 为 c , 则 1 7 ac ac   , 解得 4a , 3c  , ∴ 2 7b  .故椭圆 的标准方程为 22 16 7 1xy. ⑵ 设 ( , )M x y , 1( , )P x y , 其中 [ 4,4]x . 由已知得 22 1 22 2xy xy e   , 而 3 4 e  ,∴ 2 2 2 2 116( ) 9( )x y x y   .由点 在椭圆 上,得 2 2 1 112 7 16 xy  ,代入上式并化简得 29 112y  ,故点 的轨迹方程为 47 3 ( 4 4)yx     轨迹是两条平行于 x 轴的线段. 易错点： 第⑵小问中未注意到点 M 与 P 的坐标关系,会造成求点 轨迹方程的思路受阻； 忽视变量 x 的范围,将出现对所求轨迹曲线的错误判断. 变式与引申 4.已知椭圆C ： 的离心率为 3 3 ,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆 与直线 2yx相切. ⑴求椭圆 的方程； ⑵设该椭圆的左、右焦点分别为 1F 、 2F ,直线 1l 过 2F 且与 x 轴垂直,动直线 2l 与 y 轴垂直, 交 与点 P ,求线段 1PF 垂直平分线与 的交点 M 的轨迹方程,并指明曲线类型. 题型四 定义法求曲线方程与实际应用问题 例 4 为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川山上相距8 km 的 A 、 B 两点各建一个 考察基地,视冰川面为平面形,以过 、 两点的直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立 平面直角坐标系(如图所示).考察范围到 、 两点的距离之和不超过10 的区域. ⑴求考察区域边界曲线的方程； ⑵如图所示,设线段 12PP 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂 直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2 ,以后每年移动的距离为前一年的 2 倍.问：经 过多长时间,点 恰好在冰川边界线上？ 点拨：本题是应用题背景下的解析几何综合问题,利用椭圆定义求考察 区域边界曲线的方程；综合运用直线方程、点到直线的距离公 式、等比数列 求和公式等知识能使第⑵小问获解. 解：⑴设考察区域边界曲线上点 P 的坐标为( , )xy.则由 | | | | 10 8PA PB   知,点 在以 A 、 B 为焦点,长轴 长 为 2 10a  的椭圆 上,此时短半轴长 2254 3b ,故考察区域边界曲线的方程 为 22 25 9 1xy. ⑵ 易 知 过 点 1P 、 2P 的 直 线 方 程 为 4 3 47 0xy   ,∴ 点 到 直 线 的距离 22 | 16 47 | 31 54 ( 3) d   .设经过 n 年,点 恰好在冰川边界线上,则由题设及等比数列求和公式,得 0.2(2 1) 31 2 1 5 n    ,解得 5n  .故经过 年,点 恰好在冰川边界线上. 易错点：⑴不能正确建立应用题的数学模型；⑵数学阅读分析能力不强,易出现审题错误. 变式与引申 5.某航天卫星发射前,科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如图,航天器运 行(按顺时针方向)的轨迹方程为 22 100 25 1xy,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返 回的轨迹是以 y 轴为对称轴、 64 7 (0, )M 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为 (8,0)D .观测点 (3,0)A 、 (5,0)B 同时跟踪航天器. ⑴求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； ⑵试问：当航天器在 x 轴上方时,观测点 A 、 B 测得离航天器的距离 分别为多少时,应向航天器发出变轨指令？ 本节主要考查： O A D B C y x  图 6 1 4 ⑴知识点有曲线与方程的关系、求曲线(轨迹)的方程； ⑵依据动点轨迹的几何条件,运用求曲线(轨迹)方程的方法解决求曲线(轨迹)方程的问题,及 应用题背景下的求曲线(轨迹)方程的问题； ⑶求曲线(轨迹)方程时：①恰当建立坐标系,使所求方程更简单； ②利用圆锥曲线的定义,运用平面几何知识,可以大大简化求解运算过程. ⑷解析几何基本思想(用代数方法研究几何问题)、方程思想、等价转化思想、分类讨论思 想、应用题建模思想以及分析推理能力、运算能力. 点评： ⑴求曲线(轨迹)方程的常用方法有： ①直接法：直接利用动点满足的几何条件(一些几何量的等量关系)建立 x , y 之间的关系 ( , ) 0f x y  (如例3 第 2 问).其一般步骤是：建系设点、列式、坐标代换、化简、证明(证明或判 断所求方程即为符合条件的动点轨迹方程)； ②待定系数法：已知所求曲线的类型时,可先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确 定其待定系数,求出曲线的方程(如例 第1问)； ③定义法：先根据条件能得出动点的轨迹符合某种曲线的定义,则可用曲线的定义直接写 出动点的轨迹方程(如例 4 )； ④代入法(相关点法)：有些问题中,动点 ( , )P x y 是随着另一动点 00( , )Q x y (称之为相关点) 而运动的,并且点 在某已知的曲线上,这时可先用 、 的代数式来表示 0x 、 0y ,再将 、 的表达式代入已知曲线,即得要求的动点轨迹方程(如例 2 及变式). ⑵要注意求曲线(轨迹)方程与求轨迹的区别：求曲线(轨迹)的方程只需根据条件求出曲线 (轨迹)方程即可；求轨迹则是需先求出轨迹方程,再根据方程形式说明或讨论(含参数时)曲线图 形的(形状、位置、大小)类型.解题时应根据题意作出正确、规范的解答. ⑶在求出曲线(轨迹)的方程时,要注意动点的取值范围,及时补漏和去除“杂点”,以保证所求 曲线(轨迹)方程的完整性. 习题 6-1 1.方程 2x xy x的曲线是( ). A.一个点 B.一条直线 C.一个点和一条直线 D.两条直 线 2 .已知双曲线 22 221( 0, 0)xy ab ab    的一条渐近线方程是 3yx ,它的一个焦点与抛物线 2 16yx 的焦点相同.则双曲线的方程为 __________ . 3.已知椭圆 22 221( 0)xy ab ab    的左、右焦点分别为 1F 、 2F ,离心率 2 2 e  ,右准线方程为 2x  . ⑴求椭圆的标准方程； ⑵过点 的直线l 与该椭圆交于 M 、 N 两点,且 22 2 26 3 ||F M F N,求直线l 的方程. 4．（ 2011 高考江西卷·文）已知过抛物线 ()y px p    的焦点，斜率为 的直线交抛物 线于 ( , )A x y 和 ( , )( )B x y x x    两点，且 AB . （1）求该抛物线的方程； （2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB uuur uur uuur ，求 的值． 【答案】 4. 解：⑴由 3 3 e  得 2 2 2 3 b a  ,又 2 2 11 b  ,∴ 2 2b  , 2 3a  ,故椭圆C 的方程为 22 32 1xy. ⑵由⑴知 1( 1,0)F  , 2 (1,0)F ,由题意可设 (1, )( 0)P t t  ,则线段 1PF 的中点为 2 (0, )tN . 设 ( , )M x y 是所求轨迹上的任意一点,由于 2 ( , )tMN x y   , 1 ( 2, )PF t   ,则 1 22 ( ) 0tMN PF x t y yt        , 消 去 参 数 t 得 2 4 ( 0)y x x   , 故 所 求 点 M 的 轨 迹 方 程 为 ,其轨迹为顶点在原点、开口向左、焦点为( 1,0) 的抛物线(除去原点). 5. 解：⑴设曲线方程为 2y ax b,将点 64 7 (0, )M , (8,0)D 代入曲线方程, 得 64 7 0 64 b ab    ,∴ 1 7 a  , 64 7 b  ,故曲线方程为 21 64 77 yx   . ⑵设变轨点为 ( , )C x y ,联立 22 100 25 641 77 1yx yx       ,得 24 7 36 0yy   ,∴ 4y  或 9 4 y  (舍去). 由 , 得 6x  或 6x  ( 舍去).∴ 点 (6,4)C , 此时, 225| | (4 6) (0 4) 2AC      , 22| | (9 6) (0 4) 5BC      .故当观测点 A 、 B 测得 AC 、 BC 的距离分别为 5| | 2AC  、 | | 5BC  时,应向航天器发出变轨指令. 习题 6-1 1. D 提示：由 2x xy x得, ( 1) 0x x y   ,∴ 0x  或 10xy   ,故方程的曲线是两条直线. 2 . 22 4 12 1xy 提示：由渐近线方程可知 3b a  ①.∵抛物线的焦点为(4,0) ,∴ 4c  ②. 又 2 2 2c a b③.联立①②③,解得 2 4a  , 2 12b  ,∴双曲线的方程为 . 3 .解：⑴∵ a 、c 、b 成等差数列,∴ 24a b c   ,即| | | | 4CA CB,∴点C 到两定点 A 、 B 的距离之和为定长 4 2 | |AB ,故 的轨迹 E 是以 、 为焦点的椭圆,其方程为 22 43 1xy. 又 ab ,∴点 在 y 轴左侧,又点 与 、 构成三角形,∴点 不能在 x 上,∴点 的轨迹 的方程为 22 43 1( 0, 0)xy xy    . ⑵假设存在直线l 满足条件. ① 当 l 的 斜 率 存 在 时 , 设 l 的 方 程 为 ( 1)y k x, 代入 的 方 程 , 得 2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x k x k     .∵ 与 有 两 个 不 同 的 交 点 11( , )M x y , 22( , )N x y .∴ 2 2 2 2 4 2 2 12 12 8 43 4 12 43 64 4(4 3)(4 12) 0 0 0 k k k k k k k xx xx                   ,解之得 2 3k  . 由弦长公式得, 2 2 212 12( 1)1 34 | | | | kk k MN x x      .设原点到直线l 距离为 d ,则 2 || 1 k k d   . ∵ 1|| d MN  ,∴ 22 2 || 12( 1) 1 34 k kk k    ,即 42128 120 9 0kk   .解得 2 15 3 33 32 k  , ∴ 2 15 3 33 32 3k ,与 不符. w w w . k s 5 u . c o m 来 源 ： 高 考 资 源 高 考 资 源 网 ( w w w . k s 5 u . c o m ) ②当l 的斜率不存在时,l 的方程为 1x  .此时| | 3MN  , 1d  , 1|| d MN  ,∴直线l 不符合. 综上①②知,满足题给条件的直线 不存在.