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- 2021-04-15 发布
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数学试卷
（本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第
Ⅱ卷 3-4 页，满分 150 分，时间 120 分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号已经考试科目涂写在答题卡上。
2.答案一律填在答题卡上，否则无效。
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题。每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的一项。）
1．在△ABC 中，若 sin2A＋sin2B=sin2C，则△ABC 的形状是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
2. 等 差 数 列 {an} 中 ， a1 ＋ a5 ＝ 10 ， a4 ＝ 7 ， 则 数 列 {an} 的 公 差 为
( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 若 成 等 比 数 列 ， 则 关 于 x 的 方 程
( )
A..必有两个不等实根 B..必有两个相等实根
C..必无实根 D..以上三种情况均有可能
4.已知不等式 ax2－bx－1≥0 的解集是[－1
2，－1
3]，则不等式 x2－bx－a<0 的解集是
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C.(1
3
，1
2) D.(－∞，1
3)∪(1
2
，＋∞)
5.△ABC 中 ， AB ＝ 3， AC ＝ 1 ， ∠B ＝ 30° ， 则 △ABC 的 面 积 等 于
( )
A. 3
2
B. 3
4
C. 3 D. 3
2
或 3
4
6. 已 知 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 若 a4 ＝ 18 － a5 ， 则 S8 等 于
( )
A．18 B．36 C．54 D．72
7.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对于 x∈R 恒成立，则 a 的取值范围是 ( ) ( ) ( )
cba 、、 02 =++ cbxax
A．(－2,2) B．[－2,2] C．(－2,2] D．[－2,2)
8.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：
把 100 个面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的1
7
是较
少 的 两 份 之 和 ， 则 最 小 的 一 部 分 的 量 为
( )
A.5
6 B.5
3
C. 11
6 D.10
3
9.若实数 a 对于任意 x∈[0,1]，a≥ex 恒成立，且方程 x2＋4x＋a＝0 在 R 内有解，则
a 的取值范围是 ( )
A．[e,4] B．[1,4]
C．[4，＋∞) D．(－∞，1]
10. 设 a，b 是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10.（艺术精英班做）已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99 为方程 x2－10x＋16＝0
的两根，则 a20·a50·a80 的值为
( )
A．32 B．±64 C．256 D．64
11.设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前 n 项和，则下列命题错误的是
( )
A．若 d<0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则 d<0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意 n∈N*，均有 Sn>0
D．若对任意 n∈N*，均有 Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
12.甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间
步 行 ， 一 半 时 间 跑 步 ， 如 果 两 人 步 行 速 度 、 跑 步 速 度 均 相 同 ， 则
( )
A．甲先到教室 B．乙先到教室
C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定
12.（艺术精英班做）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔
七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层
塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶
层共有灯 ( )
A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二．填空题（本大题共 4 小题。每小题 5 分，把答案直接填在题中的横线上。）
13. 若 x、y 为实数, 且 x+2y=4, 则 -3 的最小值为 .
13. （ 艺 术 精 英 班 做 ） 在 等 差 数 列 中 ， 若 ， 则
．
14.实 数 x、 y 满 足 不 等 式 组 ， 则 的 取 值 范 围 为 .
15.设{an}是正项等比数列，令 Sn＝lga1＋lga2＋…＋lgan，n∈N*，若 S3＝S9，则 S12
＝________..
16.给出下列命题
(1)在△ABC 中，若 sinA+− xax
{ }1|x x x b< >或
{ }na nS
{
1
1
+⋅ nn aa
}
已知点 （0，-2），椭圆 ： 的离心率为 ， 是椭圆的焦
点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点.
（I）求 的方程；
（Ⅱ）设过点 的直线 与 相交于 两点，当 的面积为 1 时，求 的方
程.
21. （本题艺术精英班做）（本小题满分 12 分）
设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，cos(A－C)＋cos B＝3
2
，b2＝
ac，求 B.
22（本小题满分 12 分）
已知函数 f(x)＝m·2x＋t 的图象经过点 A(1,1)、B(2,3)及 C(n，Sn)，Sn 为数列{an}
的前 n 项和，n∈N*.
（Ⅰ）求 Sn 及 an；
（Ⅱ）若数列{cn}满足 cn＝6nan－n，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
A E
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 3
2 F
AF 2 3
3 O
E
A l E ,P Q OPQ∆ l
参考答案与给分细则
1.B 2.B 3 C 4.A 5.D 6 .D 7.C 8.B 9.A 10.D 11.C 12.B
13. 15 14.-3 K 15.0 16(1)(3)
17.解：在△ABD 中，设 BD=x，
则 ， ……………2 分
即 ，
整理得： , ………………………4 分
解之： ， （舍去）， ………………………5 分
由正弦定理，得：
, …………………7 分
∴ …………………………9 分
≈5.7 (km)。 ………10 分
18. 解:函数 ,在 上
单调递增,
对称轴 ,
即 ,解得 或 .
即 或 .
由不等式 的解集为 R 得 ,
即
解得
.
假, 真.
与 q 一真一假.
真 q 假或 p 假 q 真,
≤ ≤
3
1−
BDAADBDADBDBA ∠⋅⋅−+= cos2222
2 2 27 5 2 5 cos60x x= + − ⋅ ⋅
2 5 24 0x x− − =
1 8x = 2 3x = −
BCD
BD
CDB
BC
∠=∠ sinsin
8 sin30 4 2sin135BC = ⋅ =
即 或
或 或 .
所以实数 a 的取值范围是 .
18.艺术班：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 d.因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ，故 .所以
.
（Ⅱ）设等比数列 的公比为 .因为 ， ，所以 ， .
所以 .由 ，得 .所以 与数列 的第 63 项相等.
19.(1)根据题意， …………………………4 分
又 ，可解得 …………………………6 分
(2)设利润为 元，则 …………8 分
故 时， 元． …………………………12 分
19 艺术 解：（I）等比数列 的公比 ，所以 ， ．
设等差数列 的公差为 ．因为 ， ，所以 ，
即 ．……………………4 分
所以 ……………………6 分
（II）由（I）知， ， ．因此 ．
从而数列 的前 项和
．………………………12 分
20.（本小题满分 12 分）
{ }na 4 3 2a a− = 2d =
1 2 10a a+ = 12 10a d+ = 1 4a = 4 2( 1) 2 2na n n= + − = +
( 1,2, )n =
{ }nb q 2 3 8b a= = 3 7 16b a= = 2q = 1 4b =
6 1
6 4 2 128b −= × = 128 2 2n= + 63n = 6b { }na
3 3200(5 1 ) 3000 5 14 0x xx x
+ − ≥ ⇒ − − ≥
1 10x≤ ≤ 3 10x≤ ≤
y 4 2900 3 1 1 61100(5 1 ) 9 10 [ 3( ) ]6 12y xx x x
= ⋅ + − = × − − +
6x = max 457500y =
{ }nb 3
2
9 33
bq b
= = = 2
1 1bb q
= = 4 3 27b b q= =
{ }na d 1 1 1a b= = 14 4 27a b= = 1 13 27d+ =
2d =
2 1na n= −
2 1na n= − 13n
nb −= 12 1 3n
n n nc a b n −= + = − +
{ }nc n ( ) 11 3 2 1 1 3 3n
nS n −= + +⋅⋅⋅+ − + + +⋅⋅⋅+
( )1 2 1 1 3
2 1 3
nn n+ − −= + −
2 3 1
2
n
n
−= +
（Ⅰ）∵不等式 可转化为 ，
所给条件表明： 的解集为 ，根据不等式解集的意义
可知：方程 的两根为 、 ． …………………………4 分
利用韦达定理不难得出 ． …………………………5 分
由此知 ， …………………………6 分
（Ⅱ）令 ………………8 分
= …………………………12 分
21．【解析】(Ⅰ) 设 ，由条件知 ，得 又 ，
所以 a=2， ,故 的方程 . ……….4 分
（Ⅱ）依题意当 轴不合题意，故设直线 l： ，……….5 分
设
将 代入 ，得 ，……….6 分
当 ，即 时， ……….7 分
从而 ……….8 分
又点 O 到直线 PQ 的距离 ，……….9 分
所以 OPQ 的面积 ，……….10 分
解得 ，即 ，且满足 ……….11 分
2)6x3ax(log 2
2 >+− 02x3ax 2 >+−
02x3ax 2 >+− { }| 1x x x b< >或
02x3ax 2 =+− 1x1 = bx 2 =
2b,1a ==
1n2)1n(21an −=−+= 2ns n =
)12
1
12
1(2
1
)12()12(
11
1 +−−=+⋅−=⋅=
+ nnnnaab
nn
n
+−−++
−+
−+−=++++=
12
1
12
1
7
1
5
1
5
1
3
1)3
1
1
1(2
1
321 nnbbbbT nn 则
+−
12
112
1
n
( ),0F c 2 2 3
3c
= 3c = 3
2
c
a
=
2 2 2 1b a c= − = E
2
2 14
x y+ =
l x⊥ 2y kx= −
( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y
2y kx= −
2
2 14
x y+ = ( )2 21 4 16 12 0k x kx+ − + =
216(4 3) 0k∆ = − > 2 3
4k >
2
1,2 2
8 2 4 3
1 4
k kx k
± −= +
2 2
2
1 2 2
4 1 4 31 1 4
k kPQ k x x k
+ −= + − = +
2
2
1
d
k
=
+
∆
2
2
1 4 4 3 12 1 4OPQ
kS d PQ k∆
−= = =+
2 7= 4k 7
2k = ± 0∆ >
故 的方程为： 或 . …………………………12 分
21.艺术精英班
解：由 cos(A－C)＋cos B＝3
2及 B＝π－(A＋C)得 cos(A－C)－cos(A＋C)＝3
2， …………2 分
cos Acos C＋sin Asin C－(cos Acos C－sin Asin C)＝3
2，
sin Asin C＝3
4. ………………………4 分
又由 b2＝ac 及正弦定理得 sin2B＝sin Asin C，
故 sin2B＝3
4， ………………………6 分
sin B＝ 3
2 或 sin B＝－ 3
2 (舍去)， …………………………8 分
于是 B＝π
3或 B＝2π
3 . …………………………10 分
又由 b2＝ac 知 b≤a 或 b≤c，所以 B＝π
3. …………………………12 分
22.（本小题满分 12 分）
解：(1)由Error!，得Error!， …………………………2 分
∴f(x)＝2x－1，∴Sn＝2n－1(n∈N*)． …………………………3 分
∴当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1. …………………………4 分
当 n＝1 时，S1＝a1＝1 符合上式．
∴an＝2n－1(n∈N*)． …………………………6 分
(2)由(1)知 cn＝6nan－n＝3n×2n－n.
从而 Tn＝3(1×2＋2×22＋…＋n×2n)－(1＋2＋…＋n) …………………………8 分
＝3(n－1)·2n＋1－n(n＋1)
2 ＋6. …………………………12 分
l 7 22y x= − 7 22y x= − −
