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- 2024-05-17 发布
福建省闽侯第四中学2017-2018学年高二上学期
期末考试试题数学（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设命题：，，则为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】全称命题的否定为特称命题，据此可知：
若命题：，，则为，................
本题选择D选项.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 若命题：，，则:，；
B. 命题已知，若，则或是真命题；
C. 设，则是的充分不必要条件；
D. 、，如果，则的否命题是，如果，则
【答案】B
【解析】“命题”的否定是“”，即选项A错误；命题“已知，若且，则”是真命题，所以其逆否命题“已知，若，则或“是真命题，即选项B正确；故选B.
3. 直线过点且与抛物线只有一个公共点，这样的直线共有（ ）
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
【答案】C
【解析】如图所示，过点可以作出抛物线的一条切线，该切线与抛物线只有一个公共点，
且可以作出与轴平行的直线，该直线与抛物线也只有一个公共点，
综上可得：满足题意的直线有2条.
本题选择C选项.
4. 双曲线 的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，即，即，即该双曲线的离心率为；故选C.
点睛：本题考查双曲线的标准方程和几何性质；在由双曲线方程写其渐近线方程时，往往先判定该双曲线的焦点所在坐标轴，是哪种标准方程，比较麻烦；可记住一些结论，如：双曲线的渐近线方程为，以直线为渐近线的双曲线方程可设为.
5. 已知枚的一元硬币中混有枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】记“其中一枚为五角硬币”为事件，“两枚都是五角硬币”为事件，则，，所以“已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币”的概率为；故选D.
6. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落过程中，将次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为、，则小球落入袋中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为小球每次遇到障碍物时有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A袋，所以；故选D.
7. 已知变量，满足约束条件，若目标函数的最小值为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据不等式画出可行域，得到三条直线交于三点，
目标函数化简可得 ，根据图像得到当目标函数过点B时，有最小值2，此时
故答案为C。
点睛：这个题目考查的是线规问题，目标函数是线性的，截距式。常见的目标函数有截距式，斜率式，距离式，面积式，点线距式，解决的方法就是通过变形，发现目标函数是哪一类型，对应求最值即可。注意可行域中直线是实线还是虚线，关系到最值能否取到。
8. 设为坐标原点，动点在圆:上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，因为轴，且，所以，又动点在圆上，所以，化简，得，即点的轨迹方程为；故选B.
9. 已知，分别为双曲线的左，右焦点，点在双曲线上.若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】不妨设点在双曲线的右支上，令，
由双曲线的定义有：，①
在中，由余弦定理有：，
即：，②
①-②可得：，则的面积为.
本题选择B选项.
点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系．
10. 过抛物线 的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于、两点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设过抛物线的焦点且倾斜角为的直线方程为，且与抛物线交于点，联立，
得，则，则或；故选C.
点睛：本题考查直线和抛物线的位置关系；再处理直线与抛物线的位置关系时，往往设直线方程为的形式，这样可以避免讨论直线无斜率的情况，且联立方程组、整理方程时的运算量较小.
11. 由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆心为，直线上点为，切点为，
由题意可得：，
切线长最小时最小即可，
利用点到直线距离公式可得：，
则切线长的最小值为.
本题选择C选项.
12. 2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入月球球为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：① ②
③ ④
其中正确的式子的序号是（ ）
A. ②③ B. ①④ C. ①③ D. ②④
【答案】B
【解析】因为，所以，即①正确，由图可得，所以，即②错误；由，得，即，即，即，即③错误，且，即④正确；故选B.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 为了了解2000年学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为的样本，若第一组抽出的号码为，则第五组抽出的号码为__________．
【答案】
【解析】采用系统抽样的方法从全体2000个学生中抽取容量为100的样本，则先分成100组，每组20人，即号码间隔为20，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为.
14. 已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和是，则椭圆的方程是__________．
【答案】
【解析】设椭圆方程为：，由题意可得：
，求解方程组可得：，
据此可知椭圆的方程是.
15. 如图，椭圆的中心在坐标原点，顶点分别是、、、，焦点分别为、，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】易知直线的方程为，直线的方程为，联立得，又，所以，，因为为钝角，所以，即，化简得，即，所以，解得或，又，所以.
点睛：求圆锥曲线的离心率的值或范围是常见题型，其主要方法有：
（1）直接利用离心率公式；
（2）利用变形公式：
在椭圆中，
在双曲线中，
（3）根据条件列出关于的齐次式，两边同除以即可求解
16. 过轴上定点的动直线与抛物线交于、两点，若为定值，则__________．
【答案】
【解析】设直线，联立，得，设，则，则，同理，得，
则若
是与无关的定值，则，解得.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列是等比数列，首项，公比，其前项和为，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：
（1）由题意可得，整理计算有：，据此可得数列的公比为，通项公式.
（2）结合（1）的结果知， 其通项公式为等差数列与等比数列相乘的形式，错位相减可得前n项和为.
试题解析：
（1）因为，，成等差数列，
所以，
所以，
所以，因为数列是等比数列，所以，
又，所以，所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，
，
，
所以
.
故.
点睛：一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
18. 高二某班共有名男生，在一次体验中这名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：）的茎叶图如下：
（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；
（2）从该班身高超过的名男生中随机选出名男生参加校篮球队集训，求这名男生至少有人来自第二组的概率；
（3）在两组身高位于（单位：）的男生中各随机选出人，设这人中身高位于（单位：）的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】(1)174,174.5；(2)；(3)答案见解析.
【解析】试题分析：（1）根据茎叶图中的数据写出各自中位数即可；（2）利用组合数公式和对立事件的概率公式进行求解；（3）写出随机变量的所有可能取值，求出每个变量的概率，列表得到其分布列，进而利用期望公式进行求解.
试题解析：（1）第一组学生身高的中位数为，
第二组学生身高的中位数为；
（2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件，
，
∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为；
（3）的可能取值为0，1，2，3
，，
，，
∴的分布列为
0
1
2
3
．
19. 已知点与点的距离比它的直线：的距离小.
（1）求点的轨迹方程；
（2），是点轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线是否经过轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由.
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【解析】试题分析：（1）利用抛物线的定义进行求解；（2）
设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的数量积为0进行求解.
试题解析：（1）由题意知动点到的距离比它到直线的距离小2，即动点到的距离与它到直线的距离相等，由抛物线定义可知动点的轨迹为以为焦点的抛物线，则点的轨迹方程为；
（2）法一：由题意知直线的斜率显然不能为0，
设直线的方程为，联立方程
，消去，可得，
即，
，，
由题意知，即，则，
∴， ∵，∴，
∴直线的方程为，
∴直线过定点，且定点坐标为；
法二：假设存在定点，设定点，
∵， ∴， ∴，
又∵在抛物线上，即代入上式，可得， ∴，
又∵三点共线， ∴，∴，
∴假设成立，直线经过轴的定点，坐标为．
20. 已知动圆过定点且与定直线：相切，动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作倾斜角为的直线，交曲线于，两点，求的面积.
【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：
（1）依题意知，点到定点和直线的距离相等，结合抛物线的性质可知曲线的方程为.
（2）由题意可得：直线的方程为，联立直线方程可得，则，，据此可得.即的面积为.
试题解析：
（1）依题意知，点到定点和直线的距离相等，所以点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，设抛物线的方程为，由，得，故曲线的方程为.
（2）直线的方程为，
由消去整理得，
设，，则，
.
所以，的面积为.
21. 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.
（1）证明：平面
（2）已知，，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】试题分析：
(1)以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，可得：直线的方向向量为：，平面的一个法向量为，
结合可得：平面.
(2)结合(1)的结论结合题意可得平面的一个法向量为.平面的一个法向量为：，据此计算可得二面角的余弦值为.
试题解析：
(1)以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
由几何关系有：，
则直线的方向向量为：，，
设平面的法向量，则：，
据此可得：平面的一个法向量为，
结合可知：，据此可得：平面.
(2)结合(1)的结论可知：，
则平面的一个法向量为.
由平面可知平面的一个法向量为：，
据此可得：，
则，
观察可知二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，为曲线上的动点，点在线段上，且满足.
（1）求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）直线的参数方程是（为参数），其中.与交于点，，求直线的斜率.
【答案】(1)；(2)或.
【解析】试题分析：（1）先求出轨迹的极坐标方程，再转化为直角坐标方程即可；（2）先由直线的参数方程得到直线的直角坐标方程，利用弦长公式和圆心到直线的距离公式进行求解.
试题解析：（1）设点的极坐标，点的极坐标，
由题意可知，
由得曲线的极坐标方程为，
∴点的轨迹的直角坐标方程为；
（2）法一：由直线的参数方程可知，直线过原点且倾角为，
则直线极坐标方程为，联立
， ∴，
∴，
∴或， ∴或， ∴直线得斜率为或；
法二：由题意分析可知直线的斜率一定存在，且由直线的参数方程可得，直线过原点，设直线的普通方程为，
∴到的距离，可得，
∴直线得斜率为或．