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- 2024-04-24 发布
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江油中学2018--2019学年度下期2017级半期考试
数学（理）试题
试卷命制：周琨翔 审核：王赟
一、单选题
1．复数 (i为虚数单位)的共轭复数是( )
A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i
2．已知，则“”是“”的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
3．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=( )
A． B． C． D．2
4．已知函数，则的值为( )
A． B．0 C． D．
5．已知四棱锥中，平面ABCD的法向量为，，则点到底面的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
6．命题“”的否定是（ ）
A． B． C． D．
7．已知若,,三向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（ ）
A．0 B． C．9 D．
8．已知集合，，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素组合，则可以组成这样的新集合的个数为( )
A． B． C． D．
9．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A． B． C． D．
10．函数在内存在极值点，则（ ）
A． B． C．或 D．或
11．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）种
A．120 B．260 C．340 D．420
12．已知是函数的导函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设复数满足,则_________.
14．如图，在直三棱柱中，若，，，则________.（用,,表示）
15．下列命题中，正确的命题序号是__________．（请填上所有正确的序号）
①已知，两直线，则“”是“”的充分条件；
②“”的否定是“”；
③“”是“”的必要条件；
④已知，则“”的充要条件是“”
16．某人射击8枪，命中4枪，则4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为______.
三、解答题
17．已知，命题对任意，不等式恒成立；命题存在，使得成立．
（）若为真命题，求的取值范围．
（）当，若且为假，或为真，求的取值范围．
18．已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数恰有2个零点，求实数的取值范围.
19．如图，已知多面体中，为菱形，，平面，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．已知函数.
(1)若函数在上为增函数，求的取值范围；
(2)若函数有两个不同的极值点，记作,，且，证明： .
参考答案
BACDD DDCDA DB
13．. 14． 15．①③④ 16．20
17．（1）；（2）.
（）若命题为真，则对任意，不等式恒成立，
即当时，恒成立，
∵当时，，∴，即，
解得，即的取值范围是．
（）当时，若命题为真，则存在，
使得成立，即成立，故．
若且为假命题，或为真命题，则，一真一假，
若真假，则，得．
若假真，则，得，
综上所述，的取值范围是．
18．（1） （2）
（1）因为，所以.
所以 又
所以曲线在点处的切线方程为
即.（5分）
（2）由题意得，，
所以.
由，解得，
故当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以.
又，，
结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，
则解得.
所以实数的取值范围为.
19．(1)证明见解析；(2).
（1）证明：∵，∴四点、、、共面.
如图所示，连接，，相交于点，
∵四边形是菱形，∴对角线，∵平面，
∴，又，∴平面，∴，
又，，∴平面，平面，
∴平面平面.
（2）取的中点，∵，，
∴是等边三角形，∴，又，∴，
以A点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
，，，.
∵.∴，解得.
设平面的法向量为，
则，∴，
取.
同理可得：平面的法向量.
∴.
由图可知：二面角的平面角为钝角，
∴二面角的余弦值为.
20．（1） （2）见解析
解:（1）由题可知，函数的定义域为，
因为函数在区间上为增函数，
所以在区间上恒成立等价于，即，
所以的取值范围是.
（2）由题得，则
因为有两个极值点，
所以
欲证等价于证，即，
所以
因为，所以原不等式等价于.
由可得，则.
由可知，原不等式等价于，即
设，则，则上式等价于.
令，则
因为，所以，所以在区间上单调递增，
所以当时，，即，
所以原不等式成立，即.
