2020版高中数学 第二章独立重复试验与二项分布 15页

‎2.2.3　‎独立重复试验与二项分布 学习目标　1.理解n次独立重复试验的模型.2.掌握二项分布公式.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．‎ 知识点一　独立重复试验 思考1　要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验．其前提是什么？‎ 答案　条件相同．‎ 思考2　试验结果有哪些？‎ 答案　正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生．‎ 思考3　各次试验的结果有无影响？‎ 答案　无，即各次试验相互独立．‎ 梳理　(1)定义：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．‎ ‎(2)基本特征：‎ ‎①每次试验是在同样条件下进行．‎ ‎②每次试验都只有两种结果：发生与不发生．‎ ‎③各次试验之间相互独立．‎ ‎④每次试验，某事件发生的概率都是一样的．‎ 知识点二　二项分布 在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用Ai(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这个事件，用Bk表示仅投中k次这个事件．‎ 思考1　用Ai如何表示B1，并求P(B1)．‎ 15‎ 答案　B1＝(A12 3)∪(‎1A23)∪(1 ‎2A3)，‎ 因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，‎ 且A12 3，‎1A23，1 ‎2A3两两互斥，‎ 故P(B1)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22‎ ‎＝3×0.8×0.22＝0.096.‎ 思考2　试求P(B2)和P(B3)．‎ 答案　P(B2)＝3×0.2×0.82＝0.384，‎ P(B3)＝0.83＝0.512.‎ 思考3　由以上问题的结果你能得出什么结论？‎ 答案　P(Bk)＝C0.8k0.23－k(k＝0,1,2,3)．‎ 梳理　在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，‎ 则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.‎ 此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．‎ ‎1．有放回地抽样试验是独立重复试验．(　√　)‎ ‎2．在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互没有影响．(　√　)‎ ‎3．在n次独立重复试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同．(　×　)‎ ‎4．如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.(　√　)‎ 类型一　独立重复试验的概率 例1　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果需用分数作答)‎ ‎(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；‎ ‎(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．‎ 考点　独立重复试验的计算 题点　n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 解　(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，知射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)＝1－P(1)＝1－3＝.‎ 15‎ ‎(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝C×2＝，P(B2)＝C×1×＝，由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝×＝.‎ 引申探究 ‎1．在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率．‎ 解　记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)＝C××＝，P(B3)＝，‎ 所以甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3)＝×＝.‎ ‎2．在本例(2)的条件下，求甲未击中，乙击中2次的概率．‎ 解　记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P(A4)＝C2＝，P(B4)＝C2＝，所以甲未击中、乙击中2次的概率为P(A4B4)＝×＝.‎ 反思与感悟　独立重复试验概率求法的三个步骤 ‎(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．‎ ‎(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．‎ ‎(3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．‎ 跟踪训练1　某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：‎ ‎(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；‎ ‎(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．‎ 考点　独立重复试验的计算 题点　n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 解　(1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8，‎ ‎5次预报相当于5次独立重复试验．‎ ‎“恰有2次准确”的概率为 P＝C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，‎ 因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.‎ ‎(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”．‎ 其概率为P＝C×(0.2)5＋C×0.8×0.24＝0.006 72.‎ 所以所求概率为1－P＝1－0.006 72≈0.99.‎ 15‎ 所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.‎ 类型二　二项分布 例2　已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的．‎ ‎(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列；‎ ‎(2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率．‎ 考点　二项分布的计算及应用 题点　求二项分布的分布列 解　(1)由题意，得随机变量X可能取值为0,1,2,3，‎ 则X～B.‎ 即P(X＝0)＝C03＝，‎ P(X＝1)＝C12＝，‎ P(X＝2)＝C21＝，‎ P(X＝3)＝C3＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎(2)第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，‎ 因此所求概率为P＝C3×3×＝.‎ 反思与感悟　(1)当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.‎ ‎(2)解决二项分布问题的两个关注点 ‎①对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，必须在满足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式．‎ ‎②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．‎ 15‎ 跟踪训练2　某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列．‎ 考点　二项分布的计算及应用 题点　求二项分布的分布列 解　由题意可知X～B，‎ 所以P(X＝k)＝Ck·3－k，k＝0,1,2,3，‎ 即P(X＝0)＝C×0×3＝；‎ P(X＝1)＝C××2＝；‎ P(X＝2)＝C×2×＝；‎ P(X＝3)＝C×3＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 类型三　二项分布的综合应用 例3　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.‎ ‎(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；‎ ‎(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；‎ ‎(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．‎ 考点　二项分布的计算及应用 题点　二项分布的实际应用 解　(1)由ξ～B，则P(ξ＝k)＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5.‎ 即P(ξ＝0)＝C×0×5＝；‎ P(ξ＝1)＝C××4＝；‎ 15‎ P(ξ＝2)＝C×2×3＝；‎ P(ξ＝3)＝C×3×2＝；‎ P(ξ＝4)＝C×4×＝；‎ P(ξ＝5)＝C×5＝.‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝k·，k＝0,1,2,3,4，‎ 即P(η＝0)＝0×＝；‎ P(η＝1)＝×＝；‎ P(η＝2)＝2×＝；‎ P(η＝3)＝3×＝；‎ P(η＝4)＝4×＝；‎ P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝5.‎ 故η的分布列为 η ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎(3)所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)‎ ‎＝1－5＝.‎ 反思与感悟　对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B 15‎ 还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．‎ 跟踪训练3　一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中3个红球和(n－3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p.若6p∈N，有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于，求p与n的值．‎ 考点　二项分布的计算及应用 题点　二项分布的实际应用 解　由题设知，Cp2(1－p)2>.‎ ‎∵p(1－p)>0，‎ ‎∴不等式化为p(1－p)>，‎ 解得