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- 2024-04-21 发布
【考向解读】
不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档；在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高.
【命题热点突破一】不等式的解法
1．一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
2．简单分式不等式的解法
(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．
例1、（2018年北京卷）设集合则
A. 对任意实数a，
B. 对任意实数a，（2,1）
C. 当且仅当a<0时,（2,1）
D. 当且仅当 时,（2,1）
【答案】D
【变式探究】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 ▲ .
【答案】30
【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.
【变式探究】若,则( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误，，选项C正确，，选项D错误，故选C．
【变式探究】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）
（A） （B）6 （C）10 （D）17
【答案】B
【感悟提升】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
【变式探究】
(1)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________.
(2)函数y＝的最大值为________.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由题意，得x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝，当且仅当
x＝y时取等号.
(2)令t＝≥0，则x＝t2＋1，
所以y＝＝.
当t＝0，即x＝1时，y＝0；
当t>0，即x>1时，y＝，
因为t＋≥2＝4(当且仅当t＝2时取等号)，
所以y＝≤，
即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值).
【点评】求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值.等号能够取得.
【命题热点突破三】简单的线性规划问题
解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．
例3、（2018年全国I卷）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
A. 6 B. 19
C. 21 D. 45
【答案】C
【变式探究】【2017山东，文3】已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【答案】D
【解析】画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线,可知当其经过直线与的交点时, 取得最大值，为,故选D.
3. （2018年浙江卷）若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．
【答案】 (1). -2 (2). 8
4. （2018年天津卷）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+的最小值为__________．
【答案】
【解析】由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，
结合均值不等式的结论可得：.
当且仅当，即时等号成立.
综上可得的最小值为.
5. （2018年北京卷）若