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- 2024-04-21 发布
南阳市2017年舂期高中二年级期终质量评估
数学试卷（理科）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。试卷满分150分。考试时间120分钟。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的﹒
1.已知：，则=（ ）
A. B. C. D.
解析：
2.设随机变量～，随机变量～ ，若，则=( )
A. B. C. D.
解析：因为，所以，所以.故～ ，因此，
y
x
O
1
3.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布的密度曲线在正方形內的部分）的点的个数的估计值为（ ）
A. B. C. D.
附：若，则，
解析：由题意知：，，
因为，
所以，落阴影部分的点的个数为1359.
4.已知，的取值如下表，从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，则=（ ）
1
2
3
4
5
2
7
8
12
A． B． C． D．
解析：，，点（）在直线上，故
5.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则=（ ）
A．35 B．48 C．63 D．80
解析：方法一：找规律：3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6，35=5×7,48=6×8,63=7×9
方法二：由得：，解得：
6.从混有3张假钞的10张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为( )
A. B. C. D.
解析：记“抽出的两张中有一张是假币”为事件A，记“抽出的两张都是假币”为事件B，则
7.函数的部分图象是( D )
8、已知函数函数，其中，若函数在区间内恰好有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解析：易知函数在区间内单调增加，在区间单调减少，从而函数在区间内恰好有两个零点，当且仅当
，解得
9.已知：，则=（ ）
A. B. C. D.
解析：令，则，
故
10.已知数列各项的绝对值均为，为其前项和.若，则该数列的前七项的可能性有（ ）种.
A. B. C. D.42
解析：由可知，前七项之中有5项为，2项为，故该数列前七项的排列有
11.若f(x)=，则f（2017）=（ ）
A． B． C． D．
解析：由题可知：当时，，所以，故
12.已知定义在上函数是可导的，,且，则不等式的解集是（ ）（注：为自然对数的底数）
A. B. C. D.
解析：设，则，因为，由已知可得，，即函数是单调减函数，，故，即，则有，
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分, 请将正确答案填在答题纸上.
13.在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率为__________（用最简分数表示）.
解析：.
由题意可知，展开式的通项为：（0，1，2，…，），则有，得.则当时，为整数，即在展开式的9项中，有3项为有理项，则所求的概率为
14.若函数无极值点，则的取值范围是______.
解析：答案： （数形结合）
，设令，即，设，,易求过点的曲线的切线方程为，因此，由题意可得，，故
15.已知结论：“在正△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在正四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则= ．
解析：.
【方法一】如图，设正四面体ABCD的边长为，其外接球的半径为，则有，，，故，则，在中，，解得，，即，，故.
【方法二】：等体积法得H=4r
16.已知函数的导函数为，且，则=_______.
解析：
设，则，所以，，
令，求得，故，
因此，，
则有，得.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.（本小题满分10分）
已知：二项式展开式中所有项的二项式系数和为64，
（1）求的值；
（2）若展开式所有项的系数和为，其中为有理数，求和的值.
解析：（1）由题意，， ………………………………4分
（2）展开式的通项为（） …………6分
则， …………………………………………8分
……………………………………………………10分
【方法二】令，则，
因为
故，，.
18.（本小题满分12分）
为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列表：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50
（１）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？
（２）在上述抽取的６人中选２人，求恰有一名女生的概率.
（３）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，计算出，你有多大的把握认为是否喜欢打蓝球与性别有关？
附：
下面的临界值表供参考：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解析：（１）在喜欢打蓝球的学生中抽６人，则抽取比例为
∴男生应该抽取人………………………………….４分
（２）在上述抽取的6名学生中, 女生的有2人，男生4人。 则从6名学生任取2名的所有情况为:种情况，其中恰有1名女生情况有:种情况，
故上述抽取的６人中选２人，恰有一名女生的概率概率为. ………………….８分
（３）∵，且，
那么，我们有的把握认为是否喜欢打蓝球是与性别有关系的……….12分
19.（本小题满分12分）
（1）已知：，求证：；
（2）已知：，求证：.
解析：（1）不妨令，则，设，则
故在上是单调增加的，因此，，故.
即：. ……………………………………………………6分
（2）【方法一】由（1）知，即，
令，并相加得
即得： …………………………………………12分
【方法二——数学归纳法】
证明：①当时，，即左边右边，命题成立；
②假设当（）时，命题成立，
即成立，
当时
右边=
由（1）知：令，有，即
因此有：左边=
故，左边右边，
即，当时，命题成立.
综上①②，当，成立.
20.（本小题满分12分）
学校在军训过程中要进行打靶训练，给每位同学发了五发子弹，打靶规则：每个同学打靶过程中，若连续两发命中或者连续两发不中则要停止射击，否则将子弹打完.假设张同学在向目标射击时，每发子弹的命中率为.
（1） 求张同学前两发只命中一发的概率；
（2） 求张同学在打靶过程中所耗用的子弹数的分布列与期望.
解析：记“第发子弹命中目标”为事件，则相互独立，且，，其中
（1）张同学前两发子弹只命中一发的概率为
……………………4分
（2） 的所有可能取值为
……………………………………6分
…………………………………8分
……………………………9分
…………………………10分
综上，的分布列为
2
3
4
5
故 ………………………………………………………………12分
21.（本小题满分12分）
某兴趣小组有9名学生.若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是.
（1）该小组中男女学生各多少人？
（2）9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）
（3）9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）
解析：
（1） 设男生有人，则
，即，解之得，
故男生有人，女生有人. ……………………………………………………4分
（2） 【方法一】按坐座位的方法
第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，共有=60480种；
第二步：余下的座位让3个女生去坐，因为要保持相对顺序不变，故只有1种选择；
故，一共有种重新站队方法. ……………………………8分
【方法二】除序法
第一步：9名学生站队共有种站队方法；
第二步：3名女生有种站队顺序；
故一共有=种重新站队方法. …………………………………………8分
（3） 第一步：将6名男生分成3组，共有种；
第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有种
第三步：3组男生中每组男生站队方法共有种
故一共有：种站队方法.………………………………12分
22.（本小题满分12分）
设函数（）.
（1）求的单调区间；
（2）曲线是否存在经过原点的切线，若存在，求出该切线方程，若不存在说明理由.
解析：（1）的定义域为，
令，则
故函数在上单调递减，在上单调递增，
， …………………………………………3分
即当时，
所以，的单调增区间为 ………………………………5分
（2）不妨设曲线在点处的切线经过原点，
则有，即， ………………7分
化简得：.（*）
记，则，…………9分
令，解得.
当时，，当时，，
∴是的最小值，即当时，.
由此说明方程（*）无解，∴曲线没有经过原点的切线.………………12分