2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业：3 7页

www.ks5u.com 课时分层作业(二十六)　‎ ‎(建议用时：40分钟) ‎ 一、选择题 ‎1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　)‎ A． B． C． D． B　[设点P的坐标为(a2，a)，依题意可知抛物线的准线方程为x＝－，则a2＋＝，解得a＝±，故点P的坐标为.]‎ ‎2．抛物线y2＝2px过点A(2,4)，F是其焦点，又定点B(8，－8)，那么|AF|∶|BF|＝(　　)‎ A．1∶4 B．1∶2‎ C．2∶5 D．3∶8‎ C　[将点A(2,4)的坐标代入y2＝2px，得p＝4，‎ ‎∴抛物线方程为y2＝8x, 焦点F(2,0)，已知，B(8，－8) ，‎ ‎∴＝＝＝.]‎ ‎3．过点(2,4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 B　[点(2,4)在抛物线y2＝8x上，则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点，故选B.]‎ ‎4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　)‎ A．2 B．2 C．2 D．2 B　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，‎ 即y＝－2x＋2.‎ 由得x2－4x＋1＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1.‎ ‎∴|AB|＝ ‎＝＝＝2.]‎ ‎5．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|,4，|BF|成等差数列，则k＝(　　)‎ A．2或－1 B．－1‎ C．2 D．1± C　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，‎ 故Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(1＋k)＞0，解得k＞－1，且x1＋x2＝.‎ 由|AF|＝x1＋＝x1＋2，|BF|＝x2＋＝x2＋2，且|AF|，4，|BF|成等差数列，得x1＋2＋x2＋2＝8，得x1＋x2＝4，‎ 所以＝4，解得k＝－1或k＝2，又k＞－1，故k＝2.]‎ 二、填空题 ‎6．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.‎ ‎6　[因为抛物线x2＝2py的准线y＝－和双曲线－＝1相交交点横坐标为x＝±，∴由等边三角形得2×＝p，解得p＝6.]‎ ‎7．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．‎ ‎(3,2)　[将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，‎ ‎∴＝＝＝2.‎ ‎∴所求点的坐标为(3,2)．]‎ ‎8．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．‎ 　[设与直线x－y＋4＝0平行且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为x－y＋m＝0.‎ 由得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，‎ 则Δ＝(2m－4)2－4m2＝0，解得m＝1，‎ 即直线方程为x－y＋1＝0，‎ 直线x－y＋4＝0与直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝.‎ 即抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为.]‎ 三、解答题 ‎9．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(2，－4)．‎ ‎(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；‎ ‎(2)若点B(0,2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．‎ ‎[解]　(1)由抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(2，－4)，‎ 可得16＝4p，解得p＝4.‎ 所以抛物线C的方程为y2＝8x，‎ 其准线方程为x＝－2.‎ ‎(2)①当直线l的斜率不存在时，x＝0符合题意．‎ ‎②当直线l的斜率为0时，y＝2符合题意．‎ ‎③当直线l的斜率存在且不为0时，‎ 设直线l的方程为y＝kx＋2.‎ 由得ky2－8y＋16＝0.‎ 由Δ＝64－64k＝0，得k＝1，‎ 故直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0.‎ 综上直线l的方程为x＝0或y＝2或x－y＋2＝0.‎ ‎10．已知抛物线C：y2＝4x，过点(－1,0)的直线与抛物线C相切，设第一象限的切点为P.‎ ‎(1)求点P的坐标；‎ ‎(2)若过点(2,0)的直线l与抛物线C相交于两点A，B，圆M是以线段AB为直径的圆过点P，求直线l的方程．‎ ‎[解]　(1)由题意知可设过点(－1,0)的直线方程为x＝ty－1.‎ 联立得：y2－4ty＋4＝0，‎ 又因为直线与抛物线相切，则Δ＝0，即t＝±1.‎ 当t＝1时，直线方程为y＝x＋1，则联立得点P坐标为(1,2)．‎ ‎(2)设直线l的方程为：x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 联立得：y2－4my－8＝0，则Δ＞0恒成立，‎ y1y2＝－8，y1＋y2＝4m，‎ 则x1x2＝＝4，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝4m2＋4.‎ 由于圆M是以线段AB为直径的圆过点P，则·＝0，‎ x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0，‎ ‎4m2＋8m＋3＝0，则m＝－或m＝－.‎ 则直线l的方程为y＝－2x＋4或y＝－x＋.‎ ‎11．(多选题)经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中正确的是(　　)‎ A．当AB与x轴垂直时，|AB|最小 B．＋＝ C．以弦AB为直径的圆与直线x＝－相离 D．y1y2＝－p2‎ ABD　[过抛物线焦点的直线与抛物线相交，其主要结论有：当AB与x 轴垂直时，|AB|最小，∴A正确；＋＝，∴B正确；y1y2＝－p2，∴D正确；以AB为直径的圆与准线x＝－相切，∴C错误，故选ABD.]‎ ‎12．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为(　　)‎ A．－ B． C．± D． A　[将y＝1代入y2＝4x，得x＝，即A，由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率为＝－，故选A.]‎ ‎13．(一题两空)已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.则抛物线C的方程为________；若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，则k＝________.‎ y2＝8x　2　[由题意设抛物线方程为y2＝2px，其准线方程为x＝－，根据定义可得4＋＝6，所以p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x.由消去y，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.‎ 有k≠0，Δ＝64(k＋1)>0，‎ 解得k>－1且k≠0.‎ 又＝＝2，‎ 解得k＝2或k＝－1(舍去)，所以k的值为2.]‎ ‎14．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．‎ ‎(x＋1)2＋(y－)2＝1　[由y2＝4x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1.‎ 由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝，所以点C的纵坐标为.‎ 所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.]‎ ‎15.如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.‎ ‎(1)求抛物线E的方程；‎ ‎(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．‎ ‎[解]　(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.‎ 由已知|AF|＝3，得2＋＝3，解得p＝2.‎ 所以抛物线E的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)法一：如图，因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)．‎ 由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．‎ 由得2x2－5x＋2＝0，‎ 解得x＝2或x＝，从而B.‎ 又G(－1,0)，‎ 所以kGA＝＝，kGB＝＝－，‎ 所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，‎ 故以F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．‎ 法二：如图，设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.‎ 因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)．‎ 由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．‎ 由 得2x2－5x＋2＝0，‎ 解得x＝2或x＝，‎ 从而B.‎ 又G(－1,0)，故直线GA的方程为2x－3y＋2＝0，‎ 从而r＝＝.‎ 又直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0，‎ 所以点F到直线GB的距离d＝＝＝r.‎ 这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．‎