2016年上海市嘉定区高考一模试卷数学文 11页

2016 年上海市嘉定区高考一模试卷数学文 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果，每个空格填对 4 分，否则一律得零分. 1. 2 2 1l im 22n n nn   = . 解析：分式的分子分母同时除以 n2，利用极限的性质能求出结果. = 2 2 11 lim 122n n nn    = 1 2 . 答案： . 2.设集合 A={x|x2-2x＞0，x∈R}，B={x| 1 1 x x   ≤0，x∈R}，则 A∩B= . 解析：集合 A={x|x2-2x＞0，x∈R}={x|x＜0 或 x＞2，x∈R}， B={x| ≤0 ， x∈R}={x|-1≤x＜1，x∈R}， ∴A∩B={x|-1≤x＜0，x∈R}(或[-1，0)). 答案：{x|-1≤x＜0，x∈R}(或[-1，0)) 3.若函数 f(x)=ax(a＞0 且 a≠1)的反函数的图象过点(3，-1)，则 a= . 解析：∵函数 f(x)=ax(a＞0 且 a≠1)的反函数的图象过点(3，-1)， ∴3=a-1，解得 a= 1 3 . 答案： 4.已知一组数据 6，7，8，9，m 的平均数是 8，则这组数据的方差是 . 解析：∵一组数据 6，7，8，9，m 的平均数是 8， ∴ 1 5 (6+7+8+9+m)=8，解得 m=10， ∴这组数据的方差 S2= [(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=2. 答案：2 5.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 为棱 A1B1 的中点，则异面直线 AM 与 B1C 所成的角的大小为 (结果用反三角函数值表示). 解析：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱长为 2， 则 A(2，0，0)，M(2，1，2)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)， AM =(0，1，2)， 1BC =(-2，0，2)， 设异面直线 AM 与 B1C 所成的角为θ， 1 1 4 10cos 58 || 5 AMB C AMB C    . ∴θ=arccos 10 5 .∴异面直线 AM 与 B1C 所成的角为 arccos . 答案：arccos . 6.若圆锥的底面周长为 2π，侧面积也为 2π，则该圆锥的体积为 . 解析：∵圆锥的底面周长为 2π，∴圆锥的底面半径 r=1，设圆锥母线为 l，则πrl=2π， ∴l=2， ∴圆锥的高 h= 22lr = 3 .∴圆锥的体积 V= 1 3 πr2h= 3 3  . 答案： . 7.已知 sincos 21 =0，则 sin2α= . 解析：∵ =0，∴sinα-2cosα=0， ∴sin2α+cos2α=5cos2α=1，解得 cosα=± 5 5 ， 当 cosα=- 时，sinα=2cosα=- 25 5 ，∴ sin2α=2sinαcosα=2×(- )×(- 5 5 )= 4 5 ， 当 cosα= 时，sinα=2cosα= ，∴sin2α=2sinαcosα=2× × = ， 故 sin2α= 4 5 . 答案： . 8.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 S 值是 . 解析：模拟执行程序，可得 k=1，S=0 满足条件 k≤2015，S= 1 12 ，k=2. 满足条件 k≤2015，S= + 1 23 ，k=3. … 满足条件 k≤2015，S= + +…+ 1 20142015 ，k=2015. 满足条件 k≤2015，S= + +…+ + 1 20152016 ，k=2016. 不满足条件 k≤2015，退出循环，输出 S 的值. 由于 S= + +…+ + 1 2015 2016 =1- 1 2 + - 1 3 + -…+ 1 2015 - 1 2016 =1- 1 2016 = 2015 2016 . 答案： . 9.过点 P(1，2)的直线与圆 x2+y2=4 相切，且与直线 ax-y+1=0 垂直，则实数 a 的值为 . 解析：当 a=0 时，直线 ax-y+1=0，即直线 y=1，根据所求直线与该直线垂直，且过点 P(1， 2)， 故有所求的直线为 x=1，此时，不满足所求直线与圆 x2+y2=4 相切，故 a≠0. 故要求的直线的斜率为 1 a ，要求的直线的方程为 y-2= (x-1)，即 x-ay+2a-1=0. 再根据圆心 O 到 x-ay+2a-1=0 的距离等于半径 2，可得 2 0 0 2 1 1 a a     =2，求得 a=- 3 4 . 答案：- . 10.从 3 名男同学，2 名女同学中任选 2 人参加知识竞赛，则选到的 2 名同学中至少有 1 名 男同学的概率是 . 解析：从 3 名男同学，2 名女同学中任选 2 人参加知识竞赛， 基本事件总数 n= 2 5C =10， 选到的 2 名同学中至少有 1 名男同学的对立事件是选到两名女同学， ∴选到的 2 名同学中至少有 1 名男同学的概率：p= 2 2 2 5 91 10 C C. 答案： 9 10 . 11.设 PA =(k，12)， PB =(4 ，5)， PC =(10，k)，则 k= 时，点 A，B，C 共线. 解析：∵ =(k，12)， =(4，5)， =(10，k)， ∴ AB =(4-k，-7)， BC =(6，k-5)； 又 与 共线，∴(4-k)(k-5)-(-7)×6=0， 即 k2-9k-22=0，解得 k=-2 或 k=11；∴当 k=-2 或 11 时，点 A，B，C 共线. 答案：-2 或 11. 12.已知 12211 2222 nn nnnCCC   n=80，则 n= . 解析：因为 1221112222 nnn nnnCCC  =(1+2)n=80+1=81，所以 3n=81，∴n=4. 答案：4 13.设数列{an}满足 a1=2，an+1=1- 1 na ，记数列前 n 项的积为 Pn，则 P2016 的值为 . 解析：∵1=2，an+1=1- ，∴a2= 1 2 ，a3=-1，a4=2，…， ∴an+3=an.a1a2a3=-1.∴数列前 2016 项的积 P2016=(-1)672=1. 答案：1. 14.对于函数 y=f(x)，若存在定义域 D 内某个区间[a，b]，使得 y=f(x)在[a，b]上的值域也 为[a，b]，则称函数 y=f(x)在定义域 D 上封闭，如果函数 f(x)= 4 1 x x  在 R 上封闭，则 b-a= . 解析：∵f(x)= = [) () 4401 4401 xx xx       ， ， ， ， ，， 设 0≤x1＜x2， 则 f(x1)-f(x2)=       21 12 4 11 xx xx   ＞0，故 f(x)在[0，+∞)上是 单调递减函数，又∵f(x)= 4 1 x x ，∴f(-x)=-f(x)，∴f(x)是奇函数. 所以 f(x)在 R 上是单调递减函数， 而 x∈[0，+∞)时，f(x)值域为(-4，0]，x∈(-∞.0)时，f(x)值域为(0，4) 要使得 y=f(x)在[a，b]上的值域也为[a，b]，则 a＜0＜b， 由     fab fba     ， ， 得 44 1 44 1 ba ab      ， ， 得 3 3 a b    ， ， ∴b-a=6. 答案：6 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得 5 分，否则一律得零分. 15.“函数 y=sin(x+φ)为偶函数”是“φ= 2  ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：若φ= 2  时，y=sin(x+φ)=cosx 为偶函数； 若 y=sin(x+φ)为偶函数，则φ= +kπ，k∈Z； ∴“函数 y=sin(x+φ)为偶函数”是“φ= ”的必要不充分条件. 答案：B. 16.下列四个命题： ①任意两条直线都可以确定一个平面； ②若两个平面有 3 个不同的公共点，则这两个平面重合； ③直线 a，b，c，若 a 与 b 共面，b 与 c 共面，则 a 与 c 共面； ④若直线 l 上有一点在平面α外，则 l 在平面α外. 其中错误命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：在①中，两条异面直线不能确定一个平面，故①错误； 在②中，若两个平面有 3 个不共线的公共点，则这两个平面重合， 若两个平面有 3 个共线的公共点，则这两个平面相交，故②错误； 在③中，直线 a，b，c，若 a 与 b 共面，b 与 c 共面，则 a 与 c 不一定共面， 如四面体 S-ABC 中，SA 与 AB 共面，AB 与 BC 共面，但 SA 与 BC 异面，故③错误； 在④中，若直线 l 上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得 l 在平面α外，故④ 正确. 答案：C 17.若椭圆 x2+my2=1 的焦距为 2，则 m 的值是( ) A. 1 2 B.1 C.2 D.4 解析：∵椭圆 x2+my2=1 的焦距为 2，∴ 121m  =2，解得 m= 1 2 . 故选：A 18.已知等比数列{an}中，各项都是正数，且 3a1，1 2 a3，2a2 成等差数列，则 89 67 aa aa   等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析：∵3a1， 1 2 a3，2a2 成等差数列，∴a3=3a1+2a2， ∴q2-2q-3=0，∴q=3，q=-1(舍去).∴ 23 891718 671516 1 aaaqaq qq aaaqaqq  =q2=32=9. 故选：D 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤. 19.如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为 20cm 的正方形，高为 30cm， 内有 20cm 深的溶液.现将此容器倾斜一定角度α(图②)，且倾斜时底面的一条棱始终在桌面 上(图①、②均为容器的纵截面). (1)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少； (2)现需要倒出不少于 3000cm3 的溶液，当α=60°时，能实现要求吗？请说明理由. 解析：(1)根据题意画出图形，结合图形，过 C 作 CF∥BP，交 AD 所在直线于 F，且点 F 在线 段 AD 上，用 tanα表示出 DF、AF，求出容器内溶液的体积，列出不等式求出溶液不会溢出 时α的最大值； (2)当α=60°时，过 C 作 CF∥BP，交 AB 所在直线于 F，则点 F 在线段 AB 上，溶液纵截面为 Rt△CBF，由此能求出倒出的溶液量，即可得出结论. 答案：(1)根据题意，画出图形，如图所示， 过 C 作 CF∥BP，交 AD 所在直线于 F， 在 Rt△CDF 中，∠FCD=α，CD=20cm，DF=20tanα， 且点 F 在线段 AD 上，AF=30-20tanα， 此时容器内能容纳的溶液量为： S 梯形 ABCF·20=   2 AF BC AB·20=(30-20tanα+30)·20·10=2000(6-2tanα)(cm3)； 而容器中原有溶液量为 20×20×20=8000(cm3)， 令 2000(6-2tanα)≥8000，解得 tanα≤1，所以α≤45°， 即α的最大角为 45°时，溶液不会溢出； (2)如图所示，当α=60°时， 过 C 作 CF∥BP，交 AB 所在直线于 F， 在 Rt△CBF 中，BC=30cm，∠BCF=30°，BF=10 3 cm， ∴点 F 在线段 AB 上，故溶液纵截面为 Rt△CBF， ∵S△ABF= 1 2 BC·BF=150 cm2， 容器内溶液量为 150 ×20=300 cm3， 倒出的溶液量为(8000-3000 )cm3＜3000cm3.∴不能实现要求. 20.已知 x∈R，设 m =(2cosx ， sinx+cosx)，n =( 3 sinx ，sinx-cosx)，记函数 f(x)= · . (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)设△ABC 的角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 f(C)=2，c= 3 ，a+b=3，求△ABC 的面积 S. 解析：(1)利用数量积运算性质、倍角公式与和差公式可得 f(x)，再利用三角函数的图象与 性质即可得出； (2)利用三角函数求值、余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出. 答案：(1)∵f(x)= · =2 3 sinxcosx+sin2x-cos2x= sin2x-cos2x=2sin(2x- 6  ). ∴f(x)的最小正周期是 T=π. 由 2kπ- 2  ≤2x- 6  ≤2kπ+ ，k∈Z， 得函数 f(x)的单调递增区间是[kπ- ， kπ+ 3  ](k∈Z). (2)由 f(C)=2，得 sin(2C- )=1， ∵0＜C＜π，所以- ＜2C- ＜11 6  ，∴2C- = ，C= . 在△ABC 中，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC， 得 3=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab，即 ab=2， ∴△ABC 的面积 S= 1 2 absinC= ×2× 3 2 = . 21.设函数 f(x)=k·ax-a-x(a＞0 且 a≠1)是奇函数. (1)求常数 k 的值； (2)设 a＞1，试判断函数 y=f(x)在 R 上的单调性，并解关于 x 的不等式 f(x2)+f(2x-1)＜0. 解析：(1)可看出 f(x)的定义域为 R，而 f(x)又是奇函数，从而有 f(0)=0，这样可求出 k=1； (2)f(x)=ax-a-x，根据单调性的定义，设任意的 x1，x2∈R，且 x1＜x2，然后作差，通分，提 取公因式，便可说明 f(x1)＜f(x2)，这便得出 f(x)在 R 上单调递增，从而根据 f(x)为奇函 数和增函数便可由原不等式得到 x2＜1-2x，解该不等式便可得出原不等式的解集. 答案：(1)函数 f(x)的定义域为 R，f(x)是奇函数；∴f(0)=k-1=0；∴k=1； (2)由(1)，f(x)=ax-a-x，设 x1，x2∈R，且 x1＜x2，则： f(x1)-f(x2)=     112212 12 11xxxxxx xxaaaaaa a        ； ∵a＞1，x1＜x2；ax1-ax2＜0，又 1+1ax1+x2＞0；∴f(x1)-f(x2)＜0； 即 f(x1)＜f(x2)；∴函数 f(x)在 R 上是单调递增函数； 由 f(x2)+f(2x-1)＜0，得 f(x2)＜-f(2x-1)； 即 f(x2)＜f(1-2x)；f(x)在 R 上单调递增； ∴x2＜1-2x，即 x2+2x-1＜0；解得-1- 2 ＜x＜-1+ ；∴原不等式的解为(-1- ，-1+ ). 22.已知抛物线 x2=2py，准线方程为 y+1=0，直线 l 过定点 T(0，t)(t＞0)且与抛物线交于 A、 B 两点，O 为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2) OA · OB 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)当 t=1 时，设 AT =λ· TB ，记|AB|=f(λ)，求 f(λ)的解析式. 解析：(1)根据准线方程便可得到- 2 p =-1，从而可以求出 p，这便得到抛物线方程为 x2=4y； (2)可设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得到直线 l 方程 y=kx+t，联立抛物线方程并消去 y 得到 x2-4kx-4t=0，从而得到 12 12 2 12 4 4 xxk xxt yyt       ， ， ， 这样即可得到 · =t2-4t，根据题意知 t 为定值， 即得出 · 为定值，定值为 t2-4t； (3)可得到 T(0，1)，可设 B(x0， 2 0 4 x )，根据条件 AT =λTB 便可得到 A(-λx0，1+λ-λ· )， 而根据点 A 在抛物线 x2=4y 上便可得到 x0 2= 4  ，而 T 又是抛物线的焦点，从而有 f(λ)=|AB|=yA+yB+2，带入 A，B 的纵坐标及 x0 2= 便可得出 f(λ)的解析式. 答案：(1)由题意，- =-1，p=2； ∴抛物线方程为 x2=4y； (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l：y=kx+t，则： 由 2 4 y k x t xy    ， 得，x2-4kx-4t=0；∴ 12 12 4 4 x x k x x t    ， ； ∴y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=-4k2t+4k2t+t2=t2； ∴ OA · OB =x1x2+y1y2=t2-4t； 因为点 T(0，t)是定点，所以 t 是定值，所以 · 是定值，此定值为 t2-4t； (3)T(0，1)，设 B(x0，x024)，则： TB =(x0， 2 0 14 x  )， AT =λ =(λx0 ，λ· 2 0 4 x -λ)，故 A(-λx0 ，1+λ-λ· 2 0 4 x )； 因为点 A 在抛物线 x2=4y 上，所以λ2x0 2=4(1+λ-λ· )，得 x0 2= 4  ； 又 T 为抛物线的焦点，故 f(λ)=|AB|=yA+yB+2=(1+λ-λ· )+ +2=λ+ 1  +2； 即 f(λ)=λ+ 1  +2(λ＞0). 23.设复数 zn=xn+i·yn，其中 xnyn∈R，n∈N*，i 为虚数单位，zn+1=(1+i)·zn，z1=3+4i，复 数 zn 在复平面上对应的点为 Zn. (1)求复数 z2，z3，z4 的值； (2)证明：当 n=4k+1(k∈N*)时， nOZ ∥ 1OZ ； (3)求数列{xn·yn}的前 100 项之和. 解析：(1)利用 zn+1=(1+i)·zn，z1=3+4i，即可得出； (2)由已知 zn+1=(1+i)·zn，得 zn=(1+i)n-1·z1，当 n=4k+1 时，(1+i)n-1=(-4)k，即可证明. (3)由 zn+4=(1+i)4zn=-4zn，可得 xn+4=-4xn，yn+4=-4yn，xn+4yn+4=16xnyn，即可得出. 答案：(1)∵zn+1=(1+i)·zn，z1=3+4i， ∴z2=(1+i)(3+4i)=-1+7i，z3=-8+6i，z4=-14-2i. (2)由已知 zn+1=(1+i)·zn，得 zn=(1+i)n-1·z1， 当 n=4k+1 时，(1+i)n-1=(1+i)4k=(-4)k， 令λ=(-4)k，则 zn=λ·z1， 即则存在非零实数λ=(-4)k(k∈N*)，使得 nOZ =λ 1OZ . ∴当 n=4k+1(k∈N*)时， ∥ . (3)∵zn+4=(1+i)4zn=-4zn， 故 xn+4=-4xn，yn+4=-4yn， ∴xn+4yn+4=16xnyn， 又 x1y1=12，x2y2=-7，x3y3=-48，x4y4=28， ∴ x1y1+x2y2+x3y3+ … +x100y100=(x1y1+x2y2+x3y3+x4y4)+(x5y5+x6y6+x7y7+x8y8)+ … +(x97y97+x98y98+x99y99+x100y100)=(12-7-48+28)· 251 16 1 16   =1-2100， ∴数列{xnyn}的前 100 项之和为 1-2100.