2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二寒假开学检测数学（文）试题（解析版） 17页

‎2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二寒假开学检测数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若复数，其中i为虚数单位，则=‎ A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，选B.‎ ‎【考点】复数的运算，复数的概念 ‎【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.‎ ‎2．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是(　　)‎ A．10 B．11 C．12 D．16‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题计算出抽样的间距为13，由此得解．‎ ‎【详解】‎ 由题可得，系统抽样的间距为13，‎ 则在样本中．‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了系统抽样知识，属于基础题．‎ ‎3．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）‎ A．至多有1次中靶 B．2次都中靶 C．2次都不中靶 D．只有1次中靶 ‎【答案】C ‎【解析】根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件.‎ ‎【详解】‎ 解：由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件. 再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”. 故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对立事件的定义，求一个事件的对立事件的方法，属于基础题.‎ ‎4．把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ）‎ A．40（8） B．45（8） C．50（8） D．55（8）‎ ‎【答案】D ‎【解析】先将这个二进制转化成十进制,然后除8取余数,即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45（10）．‎ 再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）．‎ 故答案选D．‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了不同进制数的转化,较容易,先将二进制数转化成十进制,然后转为八进制,即可.‎ ‎5．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，‎ 四个选项中，即等高的条形图中x1，x2所占比例相差越大，则分类变量x，y关系越强，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验内容，使用频率等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，是基础题 ‎6．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为（ ） ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先执行程序，依次求出每次的输出结果，当输出结果为0时，求出此时的值，因此输入框里的输入的值是此时的值，从中选出正确的答案.‎ ‎【详解】‎ 模拟程序的运行，可得 当时，，满足条件，执行循环体；‎ 当时，，满足条件，执行循环体；‎ 当时，，不满足条件，退出循环体，输出，‎ 所以，.‎ 所以本题答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了通过输出结果写出输入框中输入的值，正确按程序框图写出每次循环后的结果，是解题的关键.‎ ‎7．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 ‎7816 ‎ ‎6572 ‎ ‎0802 ‎ ‎6314 ‎ ‎0702 ‎ ‎4369 ‎ ‎9728 ‎ ‎0198 ‎ ‎3204 ‎ ‎9234 ‎ ‎4935 ‎ ‎8200 ‎ ‎3623 ‎ ‎4869 ‎ ‎6938 ‎ ‎7481 ‎ A．08 B．07 C．02 D．01‎ ‎【答案】D ‎【解析】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.‎ ‎【考点】此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.‎ ‎8．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用古典概型概率公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 从五个球中任取两个，‎ 共有种取法，‎ 其中1，2；1，5；2，4，三种取法数字之和为3或6，‎ 利用古典概型可得取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.‎ ‎9．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B.‎ 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.‎ ‎10．已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x＋2y－3＝0，则该双曲线的离心率为 （ ）‎ A．5或 B．或 C． 或 D．5或 ‎【答案】B ‎【解析】由条件知一条渐近线斜率为所以其中为实半轴，为虚半轴；则离心率满足故选B ‎11．甲乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是多少（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设甲乙两人各自跑和米，则，若满足题意即，如图 则，所以，故选B.‎ ‎12．如图，过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于点A、B、C、D，则的值是（ ）‎ A．8 B．4 C．2 D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】设过抛物线的焦点F的直线方程为，与抛物线的方程联立，即可求解的值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得抛物线的焦点坐标为，‎ 设直线的方程为，联立，得，‎ 因为，‎ 所以，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与抛物线位置关系的应用，其中解答中设出直线的方程，与抛物线的方程联立，合理应用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎13．在半径为2的圆O内任取一点F，则点P到圆心O的距离大于1的概率为________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由题意画出图形，分别求出大圆面积与小圆面积，由测度比是面积比得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ 大圆的半径为2，小圆半径为1，在大圆O内任取一点P，则点P到圆心O的距离大于1的概率为.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何概型的应用，考查了学生转化与划归，数形结合的能力，属于基础题.‎ ‎14．已知、的取值如表所示：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ 从散点图分析，与线性相关，且，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据数据表求解出，代入回归直线，求得的值.‎ ‎【详解】‎ 根据表中数据得：，‎ 又由回归方程知回归方程的斜率为 截距 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用回归直线求实际数据，关键在于明确回归直线恒过，从而可构造出关于的方程.‎ ‎15．利用随机模拟方法计算和所围成图形的面积.首先利用计算机产生两组0~1区间的均匀随机数，，，然后进行平移和伸缩变换，，若共产生了个样本点，其中落在所围成图形内的样本点数为，则所围成图形的面积可估计为__________.（结果用，表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，计算对应的面积比即可估计所围成图形的面积.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意，，‎ 又，‎ 由个样本点，其中落在所围成图形内的样本点数为，‎ 则，如图所示；‎ ‎∴所围成图形的面积可估计为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了用模拟实验法求对应面积的比值问题，是基础题.‎ ‎16．已知圆,直线,若在直线上任取一点作圆的切线,切点分别为,则的长度取最小值时,直线的方程为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：当AB的长度最小时，圆心角最小，设为2，则由可知当最小时，最大，即最小，那么，，可知，设直线AB的方程为. 又由可知，点到直线 AB的距离为，即，解得或；经检验，则直线AB的方程为.‎ ‎【考点】直线与圆位置关系 三、解答题 ‎17．[选修4－4：坐标系与参数方程] ‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以原点极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. ‎ ‎⑴ 求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎⑵ 试判断曲线与是否存在两个交点，若存在求出两交点间的距离；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1)曲线：，曲线：；(2).‎ ‎【解析】试题分析：(1) 根据参数方程与普通方程的关系，对于曲线消去参数可得：，再根据极坐标方程与直角坐标方程的关系，对于曲线可转化为：；(2) 根据题意显然曲线：为直线，则其参数方程可写为 ‎（为参数）与曲线：联立，可知，所以与存在两个交点，由，，得.‎ 试题解析：(1) 对于曲线有，对于曲线有.(5分)‎ ‎(2) 显然曲线：为直线，则其参数方程可写为（为参数）与曲线：联立，可知，所以与存在两个交点，‎ 由，，得. (10分)‎ ‎【考点】1.极坐标方程与平面直角坐标方程的互化；2.利用直线的参数方程的几何意义求解 ‎18．如图是根据某行业网站统计的某一年1月到12月（共12个月）的山地自行车销售量（代表1000辆）折线图，其中横轴代表月份，纵轴代表销售量，由折线图提供的数据回答下列问题：‎ ‎（1）在一年中随机取一个月的销售量，估计销售量不足的概率；‎ ‎（2）在一年中随机取连续两个月的销售量，估计这连续两个月销售量递增（如2月到3月递增）的概率；‎ ‎（3）根据折线图，估计年平均销售量在哪两条相邻水平平行线线之间（只写出结果，不要过程）‎ ‎【答案】（1）（2）（3）在这两条水平线之间 ‎【解析】（1）设销售量不足为事件，这一年共有12个月，利用列举法能求出销售量不足的概率. （2）设连续两个月销售量递增为事件 ‎，利用列举法能求出这连续两个月销售量递增（如2月到3月递增）的概率. （3）由折线图，估计年平均销售量在这两条水平线之间.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设销售量不足为事件，‎ 这一年共有12个月，‎ 其中1月，2月，6月，11月共4个的销售量不足，‎ 所以.‎ ‎（2）设连续两个月销售量递增为事件，‎ 在这一年中随机取连续两个月的销售量，‎ 有1，2月；2，3月；3，4月；4，5月；5，6月；6，7月；7，8月；8，9月；9，10月；10，11月；11，12月共11种取法，‎ 其中2，3月，3，4月；4，5月；6，7月；7，8月；8，9月；‎ ‎11，12月共7种情况的销售量递增，‎ 所以.‎ ‎（3）由折线图，年平均销售量在这两条水平线之间.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用.‎ ‎19．去年年底，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估.将各连锁店的评估分数按[60,70), [70,80), [80,90), [90,100),分成四组，其频率分布直方图如下图所示，集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为A,B,C,D四个等级，等级评定标准如下表所示.‎ 评估得分 ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎ [80,90)‎ ‎[90,100)‎ 评定等级 D C B A ‎（1）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；‎ ‎（2）从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A 等级的概率.‎ ‎【答案】（1）众数是，平均数是；（2）．‎ ‎【解析】（1）由最高小矩形的底边中点估计众数，利用中位数将小矩形面积分为左右两侧均为0.5求解中位数即可；‎ ‎（2）列出所有可能的事件，然后找到满足题意的事件的个数，最后利用古典概型计算公式求解概率值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）最高小矩形的底边中点为75，估计得分的众数为75分．‎ 直方图中从左至第一、三、四个小矩形的面积分别为0.28,0.16,0.08，则第二个小矩形的面积为 ‎1-0.28-0.16-0.08=0.48.‎ 所以，‎ 故估计该商业集团各连锁店评估得分的平均数为75.4.‎ ‎（2）等级的频数为，记这两家分别为等级的频数为，记这四家分别为，从这6家连锁店中任选2家，共有 ‎，共有15种选法.‎ 其中至少选1家等级的选法有 共9种，则，‎ 故至少选一家等级的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查频率分布直方图的应用，古典概型计算公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎20．在直角坐标系中，直线（为参数），以原点为极点，轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）点，直线与曲线交于，，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）直接利用转换关系，极坐标方程与直角坐标方程进行转化. （2）借助直线参数方程中的几何意义，利用一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵曲线的极坐标方程为，‎ 即.‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为，即.‎ ‎（2）将直线（为参数），令 转换为：（为参数），代入曲线，‎ 得到：，‎ 所以，（和为和对应的参数），‎ 则 ‎.‎ 故的值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查直线参数方程中的几何意义的运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.属于中档题.‎ ‎21．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：‎ ‎（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；‎ ‎（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：‎ 超过 不超过 第一种生产方式 第二种生产方式 ‎（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？‎ 附：， ‎ ‎【答案】（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析 ‎（2）80‎ ‎（3）能 ‎【解析】【详解】‎ 分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可．‎ ‎（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表．‎ ‎（3）由公式计算出，再与6.635比较可得结果．‎ 详解：（1）第二种生产方式的效率更高.‎ 理由如下：‎ ‎（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.‎ ‎（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.‎ ‎（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.‎ ‎（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.‎ 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.‎ ‎（2）由茎叶图知.‎ 列联表如下：‎ 超过 不超过 第一种生产方式 ‎15‎ ‎5‎ 第二种生产方式 ‎5‎ ‎15‎ ‎（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.‎ 点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活．‎ ‎22．已知为椭圆的右焦点，，，分别为椭圆的上下顶点，且为等边三角形.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于异于点的点，，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析；定点 ‎【解析】（1）由题意可得：，，解出即可得出. （2）设直线的方程为：，，则直线的方程为：，，.联立，化为：，可得.同理可得：,利用点斜式可得直线的方程，进而得出直线过定点.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：由题意可得：，，‎ 解得，，.‎ ‎∴椭圆的方程为：.‎ ‎（2）证明：设直线的方程为：，，‎ 则直线的方程为：，，.‎ 联立，化为：，‎ 解得，，可得.‎ 联立，化为：，‎ 解得，，可得.‎ ‎∴直线的方程为：，‎ 化为：，化为：.‎ ‎∴直线过定点：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、方程的解法、等边三角形的性质、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题.‎