2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§1-1 集合（讲解部分） 16页

考点一　集合的含义与表示 1.元素与集合的关系: 属于 (用符号“∈”表示)和 不属于 (用符号 “ ∉ ”表示). 2.集合中元素的特性: 确定性 , 互异性 , 无序性 . 3.集合的分类:无限集和有限集. 4.集合的表示方法: 列举法 、 描述法 、 Venn图法 . 5.常见数集及表示符号: 名称 非负整数集 (自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N * 或N + Z Q R 考点清单 表示 关系　     定义 记法 Venn图示 相等 集合 A 与集合 B 中的所 有元素都相同 A = B   子集 集合 A 中任意一个元素 均为集合 B 中的元素 A ⊆ B 或 B ⊇ A   真子集 集合 A 中任意一个元素 均为集合 B 中的元素,且 B 中至少有一个元素不 属于集合 A A ⫋ B 或 B ⫌ A   考点二　集合间的基本关系 考向基础 空集 空集是任何集合的子 集 ⌀⊆ B 空集是任何非空集合 的真子集 ⌀⫋ B ( B ≠ ⌀ ) 【知识拓展】 设有限集合 A ,card( A )= n ( n ∈N * ),则: (1) A 的子集个数是 2 n      ; (2) A 的真子集个数是 2 n -1     ; (3) A 的非空子集个数是 2 n -1     ; (4) A 的非空真子集个数是 2 n -2     . 考向一　子集个数的求解 考向突破 例1　若集合 M 满足{1,2} ⫋ M ⊆ {1,2,3,4,5},则集合 M 的个数为 　　　     . 解析　解法一:集合 M 中必含有元素1,2,至少含有3,4,5中的一个元素,所以 M ={1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个. 解法二:三个集合中都含有元素1,2,三个集合的元素同时去掉1,2,设 M 去掉 元素1,2后的集合为 M 0 ,则问题转化为求满足条件 ⌀⫋ M 0 ⊆ {3,4,5}的集合 M 0 的个数,即求集合{3,4,5}的非空子集的个数,根据公式可得集合 M 0 的个数 为2 3 -1=7,则集合 M 的个数为7. 答案　7 例2　(1)(2020届湖北襄阳四中8月模拟,2)若集合 A =   , B ={ x | mx =1},且 B ⊆ A ,则 m 的值为   (　　) A.2　     B.-3 C.2或-3　     D.2或-3或0 (2)(2019河南顶级名校联考,13)已知集合 A ={ x | y =   }, B ={ x | a ≤ x ≤ a +1}. 若 B ⊆ A ,则实数 a 的取值范围为 　　　     . 考向二　利用两个集合间的关系求参数的值(取值范围) 解析　(1)∵ B ⊆ A , A =   , ∴ B = ⌀ 或 B =   或 B =   . ①当 B ={ x | mx =1}= ⌀ 时, m =0; ②当 B ={ x | mx =1}=   时,   =-   ,得 m =-3; ③当 B ={ x | mx =1}=   时,   =   ,得 m =2. 综上可知, m 的值为0或-3或2,故选D. (2)由题意得 A ={ x | y =   }={ x |-2 ≤ x ≤ 2},因为 B ⊆ A ,所以   解得 -2 ≤ a ≤ 1,即实数 a 的取值范围为[-2,1]. 答案　(1)D　(2)[-2,1] 考向基础 　集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A ∪ B A ∩ B 若全集为 U ,则集合 A 的 补集为 ∁ U A 图形 表示       意义 { x | x ∈ A ,或 x ∈ B } { x | x ∈ A ,且 x ∈ B } { x | x ∈ U ,且 x ∉ A } 性质 A ∪ ⌀ = A ; A ∪ A = A ; A ∪ B = B ∪ A ; A ∪ B = A ⇔ B ⊆ A A ∩ ⌀ = ⌀ ; A ∩ A = A ; A ∩ B = B ∩ A ; A ∩ B = A ⇔ A ⊆ B A ∪ ( ∁ U A )= U ; A ∩ ( ∁ U A )= ⌀ ; ∁ U ( ∁ U A )= A ; ∁ U ( A ∪ B )=( ∁ U A ) ∩ ( ∁ U B ); ∁ U ( A ∩ B )=( ∁ U A ) ∪ ( ∁ U B ) 考点三　集合的基本运算 【知识拓展】 集合间的关系: 交集: ( A ∩ B ) ⊆ A ;( A ∩ B ) ⊆ B . 并集: ( A ∪ B ) ⊇ A ;( A ∪ B ) ⊇ B . 考向突破 考向一　集合的运算 例3    (2019湖南重点中学摸底联考,1)已知全集 U ={1,2,3,4,5,6,7}, M ={3,4, 5}, N ={1,3,6},则集合{2,7}=   (　　) A. M ∩ N 　     B.( ∁ U M ) ∩ ( ∁ U N ) C.( ∁ U M ) ∪ ( ∁ U N )　     D. M ∪ N 解析　解法一:由题意知,2∈ U ,2 ∉ N ,2 ∉ M , 所以2∈ ∁ U M ,2∈ ∁ U N ,所以2∈( ∁ U M ) ∩ ( ∁ U N ). 而7∈ U ,7 ∉ M ,7 ∉ N , 所以7∈ ∁ U M ,7∈ ∁ U N ,所以7∈( ∁ U M ) ∩ ( ∁ U N ). 综上,易知{2,7}=( ∁ U M ) ∩ ( ∁ U N ).故选B. 解法二:根据集合 U , M , N 的关系画出Venn图,如图所示, 所以{2,7}=( ∁ U M ) ∩ ( ∁ U N ).故选B.   答案    B 考向二　利用集合的运算结果求参数的取值范围 例4　已知集合 A ={ x |2 ≤ x <7}, B ={ x |3< x ≤ 10}, C ={ x | a -5< x <5},若 C 为非空集 合,且 C ⊆ ( A ∪ B ),则实数 a 的取值范围为 　　　     . 解析　∵ A ={ x |2 ≤ x <7}, B ={ x |3< x ≤ 10}, ∴ A ∪ B ={ x |2 ≤ x ≤ 10}. ∵ C ≠ ⌀ ,∴要使 C ⊆ ( A ∪ B ),只需   解得7 ≤ a <10,∴实数 a 的取值范围为[7,10). 答案　[7,10) 方法1 　集合间基本关系的判断方法 1.集合元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利 用集合元素的特征判断集合间的关系.一般地,设 A ={ x | p ( x )}, B ={ x | q ( x )}, (1)若由 p ( x )可推出 q ( x ),则 A ⊆ B ;(2)若由 q ( x )可推出 p ( x ),则 B ⊆ A ;(3)若 p ( x ), q ( x ) 可互相推出,则 A = B ;(4)若由 p ( x )推不出 q ( x ),由 q ( x )也推不出 p ( x ),则集合 A , B 之间无包含关系. 2.列举法:一一列举出各集合中的元素,从元素中寻找集合间的基本关系. 3.数形结合法:利用数轴或Venn图表示两个集合,通过观察图形确定两集合 间的基本关系. 方法技巧 例1    (2020届湖北黄冈调研考试,2)集合 M =   ,N=   ,则集合M与N的关系为   (　　) A. M = N 　    B. M ⫌ N 　    C. M ⫋ N 　    D. M ∩ N = ⌀ 解析     M =   ,N=   ,由于k+1能取所 有的整数,2k只能取所有的偶数,而偶数是整数,但整数不一定是偶数,所以 M ⫋ N,故选C. 答案    C   一题多解     M =   , N =   ,分析集合中的 元素知,   ∈ M 且   ∈ N ,所以排除D;又π∈ N ,但π ∉ M ,所以排除A,B,故选C. 方法2　 利用数轴和韦恩(Venn)图解决集合问题的方法 在进行集合运算时,要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化. (1)离散型数集或抽象集合间的运算常 借助Venn图 求解. (2)连续型数集的运算常 借助数轴 求解,此时要注意“端点”能否取到. (3)利用元素与集合间的关系或集合与集合间的关系求参数范围时, 一要注 意分类讨论思想的应用,二要注意集合中元素互异性的检验 . 例2    (2017浙江,1,4分)已知集合 P ={ x |-1< x <1}, Q ={ x |0< x <2},则 P ∪ Q =   (　) A.(-1,2)　    B.(0,1)　    C.(-1,0)　    D.(1,2)     解题导引    解析　将集合 P 与集合 Q 画在数轴上,如图,   由图可知 P ∪ Q ={ x |-1< x <2}.故选A. 答案    A 例3　设全集 U ={ x 为质数| x ≤ 20},集合 A , B 是 U 的两个子集,且满足 A ∩ ( ∁ U B )={3,7},( ∁ U A ) ∩ B ={2,19},( ∁ U A ) ∩ ( ∁ U B )={5,17},则 A ∩ B = 　　　     .   解题导引    解析     U ={ x 为质数| x ≤ 20}={2,3,5,7,11,13,17,19}, 画出Venn图,如图所示,   由图可知 A ={3,7,11,13}, B ={2,11,13,19}, 所以 A ∩ B ={11,13}. 答案　{11,13}