高中数学选修2-2教案第三章 2_2(二) 13页

‎2.2　最大值、最小值问题(二)‎ 明目标、知重点 ‎1．了解导数在解决实际问题中的作用．‎ ‎2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．‎ ‎1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．‎ ‎2．解决优化问题的基本思路 ‎　　→ ‎　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　← 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．‎ 探究点一　面积、体积的最值问题 思考　如何利用导数解决生活中的优化问题？‎ 答　(1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)．‎ ‎(2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．‎ ‎(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值．‎ ‎(4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案．‎ 例1　学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？‎ 解　设版心的高为x dm，则版心的宽为 dm，此时四周空白面积为 S(x)＝(x＋4)－128＝2x＋＋8，x>0.‎ 求导数，得 S′(x)＝2－.‎ 令S′(x)＝2－＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．‎ 于是宽为＝＝8.‎ 当x∈(0,16)时，S′(x)<0；‎ 当x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0.‎ 因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．‎ 所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使海报四周空白面积最小．‎ 反思与感悟　(1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．‎ ‎(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．‎ 跟踪训练1　如图，‎ 四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB的中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)．新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN，问如何施工才能使游乐园的面积最大？并求出最大面积．‎ 解 以M为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，则D(4,2)．‎ 设抛物线方程为y2＝2px.‎ ‎∵点D在抛物线上，‎ ‎∴22＝8p，解得p＝.‎ ‎∴抛物线方程为y2＝x(0≤x≤4)．‎ 设P(y2，y)(0≤y≤2)是曲线MD上任一点，‎ 则|PQ|＝2＋y，|PN|＝4－y2.‎ ‎∴矩形游乐园的面积为 S＝|PQ|×|PN|＝(2＋y)(4－y2)＝8－y3－2y2＋4y.‎ 求导得S′＝－3y2－4y＋4，令S′＝0，得 ‎3y2＋4y－4＝0，解得y＝或y＝－2(舍)．‎ 当y∈时，S′>0，函数S为增函数；‎ 当y∈时，S′<0，函数S为减函数．‎ ‎∴当y＝时，S有最大值，得 ‎|PQ|＝2＋y＝2＋＝，‎ ‎|PN|＝4－y2＝4－2＝.‎ ‎∴游乐园最大面积为Smax＝×＝(km2)，‎ 即游乐园的两邻边分别为 km， km时，面积最大，最大面积为 km2.‎ 探究点二　利润最大问题 例2　某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？‎ 解　由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是 y＝f(r)＝0.2×πr3－0.8πr2‎ ‎＝0.8π，00.‎ 因此，当半径r>2时，f′(r)>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r<2时，f′(r)<0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．‎ 所以半径为2 cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．‎ 半径为6 cm时，利润最大．‎ 反思与感悟　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 ‎(1)利润＝收入－成本；‎ ‎(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．‎ 跟踪训练2　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中30)，‎ 则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720，‎ ‎∴720＝k·122，得k＝5.‎ 设全程燃料费为y，由题意，得 y＝y1·＝，‎ ‎∴y′＝ ‎＝.‎ 令y′＝0，得v＝16，∴当v0≥16，‎ 即v＝16 km/h时全程燃料费最省，ymin＝32 000(元)；‎ 当v0<16，即v∈(8，v0]时，y′<0，‎ 即y在(8，v0]上为减函数，‎ ‎∴当v＝v0时，ymin＝(元)．‎ 综上，当v0≥16时，v＝16 km/h全程燃料费最省，‎ 为32 000元；‎ 当v0<16，即v＝v0时全程燃料费最省，为元．‎ 反思与感悟　解答例3的过程中容易忽视定义域，误以为v＝16时取得最小值．本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内．‎ 跟踪训练3　现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．‎ ‎(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；‎ ‎(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？‎ 解　(1)依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，‎ 即y＝＋300x(00)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为(　　)‎ A．0.016 2 B．0.032 4‎ C．0.024 3 D．0.048 6‎ 答案　B 解析　依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)．‎ 所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(00；‎ 当0.032 40，h(x)是增函数，‎ 所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．‎ 因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．‎ 答　汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．‎ ‎[呈重点、现规律]‎ 正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．‎ 一、基础过关 ‎1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)‎ A．8 B. ‎ C．－1 D．－8‎ 答案　C 解析　原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，‎ 所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.‎ ‎2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为(　　)‎ A. B. C. D．2 答案　C 解析　设底面边长为x，‎ 则表面积S＝x2＋V(x>0)．‎ ‎∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.‎ ‎3．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为(　　)‎ A.3π B.3π C.3π D.3π 答案　A 解析　设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，‎ 则4r＋2h＝l，∴h＝，‎ V＝πr2h＝πr2－2πr3.‎ 则V′＝lπr－6πr2，‎ 令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，‎ ‎∴r＝是其唯一的极值点．‎ ‎∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.‎ ‎4．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为(　　)‎ A．120 000 cm3 B．128 000 cm3‎ C．150 000 cm3 D．158 000 cm3‎ 答案　B 解析　设水箱底边长为x cm，则水箱高h＝60－(cm)．‎ 水箱容积V＝V(x)＝x2h＝60x2－ (cm3)(00)，则L′＝2－(x>0)．‎ 令L′＝0，得x＝±16，∵x>0，∴x＝16.‎ 当x＝16时，L极小值＝Lmin＝64，‎ ‎∴堆料场的长为＝32(米)．‎ ‎7．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)‎ 解　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则 f(x)＝(560＋48x)＋ ‎＝560＋48x＋(x≥10，x∈N)，‎ f′(x)＝48－，‎ 令f′(x)＝0，得x＝15.‎ 当x>15时，f′(x)>0，当10≤x≤15时，f′(x)<0.‎ 因此，当x＝15时，f(x)取得最小值f(15)＝2 000.‎ 所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．‎ 二、能力提升 ‎8．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是(　　)‎ A. cm2 B．4 cm2‎ C．3 cm2 D．2 cm2‎ 答案　D 解析　设一个正三角形的边长为x cm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为S＝x2＋(4－x)2＝[(x－2)2＋4]≥2(cm2)，故选D.‎ ‎9.为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．‎ 答案　6　3‎ 解析　设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k(k>0)为比例系数．‎ 依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得b＝(00，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值．‎ 此时n＝－1＝－1＝9.‎ 故需新建9个桥墩才能使y最小．‎ ‎12．为了解决老百姓“看病贵”的问题，国家多次下调药品价格，各大药厂也在积极行动，通过技术改造提高生产能力，降低能耗，从而降低药品生产的成本．某药厂有一条价值a万元的药品生产线，经过测算，生产成本降低y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与(a－x)和x2的乘积成正比；②当x＝时，y＝a3，并且技术改造投入比率∈(0，t]，t为常数且t∈(0,2]．‎ ‎(1)求y＝f(x)的表达式及定义域；‎ ‎(2)为了有更大的降价空间，要尽可能地降低药品的生产成本，求y的最大值及相应的x值．‎ 解　(1)设y＝f(x)＝k(a－x)x2，‎ 当x＝时，y＝a3，即a3＝k·，‎ 所以k＝8，所以f(x)＝8(a－x)x2.‎ 因为0<≤t，所以函数的定义域是 ‎{x|00，所以f(x)在(0，)上是增函数；当x>时，f′(x)<0，所以f(x)在(，＋∞)上是减函数．所以x＝为极大值点．‎ 当≥，即1≤t≤2时，ymax＝f()＝a3；当<，即03)千元．设该容器的建造费用为y千元．‎ ‎(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；‎ ‎(2)求该容器的建造费用最小时的r.‎ 解　(1)设容器的容积为V，‎ 由题意知V＝πr2l＋πr3，又V＝，‎ 故l＝＝－r＝(－r)．‎ 由于l≥2r，因此03，所以c－2>0.‎ 当r3－＝0时，r＝ .‎ 令 ＝m，则m>0，‎ 所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．‎ ‎①当0时，‎ 令y′＝0，得r＝m.‎ 当r∈(0，m)时，y′<0；‎ 当r∈(m,2]时，y′>0，‎ 所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．‎ ‎②当m≥2，即3时，建造费用最小时r＝ 米．‎