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- 2024-04-19 发布
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§2.2 基本不等式与不等式的综合应用
基础篇固本夯基
【基础集训】
考点一 基本不等式及其应用
1.下列结论正确的是 ( )
A.当x>0且x≠1时,lg x+1lgx≥2
B.当x∈0,π2时,sin x+4sinx的最小值为4
C.当x>0时,x+1x≥2
D.当01 D.k≤0或k≥1
答案 A
6.已知函数f(x)=x2+(2m-1)x+1-m,若对任意m∈[-1,0],都有f(x)>0成立,则实数x的取值范围为( )
A.(-1,2) B.(1,2)
C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞)
答案 D
7.已知a>b>0,则a2+64b(a-b)的最小值为 .
答案 32
8.已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是 .
答案 -22,0
综合篇知能转换
【综合集训】
考法一 利用基本不等式求最值
1.(2018黑龙江七台河测试)已知m=8-n,m>0,n>0,则mn的最大值为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
答案 C
2.(2019新疆第一次毕业诊断,10)函数y=loga(x-1)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在一次函数y=mx+n的图象上,其中m>0,n>0,则1m+2n的最小值是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
答案 C
3.(2019河南信阳一模,8)已知正项等比数列{an}满足:a2a8=16a5,a3+a5=20,若存在两项am,an,使得aman=32,则1m+4n的最小值为( )
A.34 B.910 C.32 D.95
答案 A
考法二 一元二次不等式恒成立问题的解法
4.(2018安徽安庆模拟,9)若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈0,12恒成立,则a的最小值是( )
A.0 B.-2 C.-52 D.-3
答案 C
5.(2019福建厦门3月联考,9)对任意m,n∈R+,都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为( )
A.2 B.22 C.4 D.92
答案 B
6.(2018山西太原一模,12)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),且当x≥0时, f(x)=-x2+1,0≤x<1,2-2x,x≥1,若对任意的x∈[m,m+1],不等式f(1-x)≤f(x+m)恒成立,则实数m的最大值是( )
A.-1 B.-12 C.-13 D.13
答案 C
7.(2018江苏南京金陵中学月考,12)已知当0≤x≤2时,不等式-1≤tx2-2x≤1恒成立,则t的取值范围是 .
答案 1,54
应用篇知行合一
【应用集训】
1.(2019广东汕头达濠华侨中学、东厦中学第三次联考,10)已知点A,B是函数y=2x图象上的相异两点,若点A,B到直线y=12的距离相等,则点A,B的横坐标之和的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(-∞,-2) C.(-1,+∞) D.(-2,+∞)
答案 B
2.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .
答案 30
3.(2014湖北,16,5分)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=76 000vv2+18v+20l.
(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为 辆/小时;
(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 辆/小时.
答案 (1)1 900 (2)100
【五年高考】
考点一 基本不等式及其应用
1.(2019天津,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=5,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为 .
答案 43
2.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为 .
答案 14
3.(2017天津,12,5分)若a,b∈R,ab>0,则a4+4b4+1ab的最小值为 .
答案 4
考点二 不等式的综合应用
4.(2017天津,8,5分)已知函数f(x)=x2-x+3,x≤1,x+2x,x>1.设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥x2+a在R上恒成立,则a的取值范围是( )
A.-4716,2 B.-4716,3916
C.[-23,2] D.-23,3916
答案 A
5.(2019北京,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为 .
答案 ①130 ②15
教师专用题组
考点一 基本不等式及其应用
1.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是 .
答案 8
考点二 不等式的综合应用
2.(2013课标Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)=-x2+2x,x≤0,ln(x+1),x>0.若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( )
A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0]
答案 D
【三年模拟】
一、单项选择题(每题5分,共40分)
1.(2020届山东师大附中第一次月考,12)下列不等式一定成立的是( )
A.lgx2+14>lg x(x>0) B.sin x+1sinx≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.1x2+1>1(x∈R)
答案 C
2.(2020届西南四省八校9月联考,12)若x>0,y>0,x+2y=1,则xy2x+y的最大值为( )
A.14 B.15 C.19 D.112
答案 C
3.(2020届山东青岛期初调研,8)函数f(x)=x2+x+2x+4x2(x>0)的最小值为( )
A.4+22 B.42 C.8 D.2+2
答案 A
4.(2018福建厦门外国语中学模拟,10)已知实数a>0,b>0,1a+1+1b+1=1,则a+2b的最小值是( )
A.32 B.22 C.3 D.2
答案 B
5.(2018河北大名一中月考)已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+ax1x2的最大值是( )
A.63 B.233 C.433 D.-433
答案 D
6.(2019新疆昌吉教育共同体联考,9)在1和17之间插入(n-2)个数,使这n个数成等差数列,若这(n-2)个数中第一个为a,第(n-2)个为b,当1a+25b取最小值时,n的值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
答案 D
7.(2019辽宁沈阳东北育才学校五模,9)已知函数f(x)=2x-12x+1+x+sin x,若正实数a,b满足f(4a)+f(b-9)=0,则1a+1b的最小值是( )
A.1 B.92 C.9 D.18
答案 A
8.(2018河北衡水金卷(一),12)已知数列{an}中,a1=2,n(an+1-an)=an+1,n∈N*,若对于任意的a∈[-2,2],n∈N*,不等式an+1n+1<2t2+at-1恒成立,则实数t的取值范围为( )
A.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.(-∞,-2]∪[1,+∞)
C.(-∞,-1]∪[2,+∞) D.[-2,2]
答案 A
二、多项选择题(共5分)
9.(2020届山东烟台期中,11)下列结论正确的是( )
A.若a>b>0,cad
B.若x>y>0,且xy=1,则x+1y>y2x>log2(x+y)
C.设{an}是等差数列,若a2>a1>0,则a2>a1a3
D.若x∈[0,+∞),则ln(1+x)≥x-18x2
答案 AC
三、填空题(每题5分,共15分)
10.(2020届上海复旦大学附中9月综合练,8)已知a2+2a+2x≤4x2-x+1对于任意的x∈(1,+∞)恒成立,则a的取值范围是 .
答案 [-3,1]
11.(2019福建三明第一中学期中,16)设a+2b=4,b>0,则12|a|+|a|b的最小值为 .
答案 78
12.(2019安徽黄山八校联考,16)不等式(acos2x-3)sin x≥-3对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是 .
答案 -32,12
四、解答题(共45分)
13.(2020届黑龙江哈尔滨六中第一次调研,17)已知函数f(x)=2|x+1|-|x-a|(a∈R).
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤x+2的解集;
(2)设函数g(x)=f(x)+3|x-a|,当a=1时,函数g(x)的最小值为t,且2m+12n=t(m>0,n>0),求m+n的最小值.
解析 (1)当a=2时, f(x)=2|x+1|-|x-2|,∴2|x+1|-|x-2|≤x+2,可化为①x≤-1,-2(x+1)+x-2≤x+2或②-10,n>0)可得12m+18n=1,
∴m+n=(m+n)·1=(m+n)12m+18n=12+18+n2m+m8n≥58+2n2m·m8n=58+24=98,当且仅当n2m=m8n且2m+12n=4,即m=34,n=38时,取“=”,∴(m+n)min=98.
14.(2020届福建泉州实验中学第一次月考,19)已知函数f(x)=9x-m·3x+1-4.
(1)若m=1,求方程f(x)=0的根;
(2)若对任意x∈[-1,1], f(x)≥-8恒成立,求m的取值范围.
解析 本题主要考查指数型函数及不等式恒成立问题,同时考查了分离参数的方法,考查的核心素养是数学抽象及数学运算.
(1)当m=1时, f(x)=9x-3x+1-4=9x-3·3x-4=(3x-4)(3x+1),令f(x)=0,可得3x=4或3x=-1(舍去),则x=log34,因此m=1时,方程f(x)=0的根是log34.
(2)由已知∀x∈[-1,1], f(x)≥-8恒成立,即9x-3m·3x-4≥-8恒成立,将3m分离出来可得,3m≤3x+43x,令g(x)=3x+43x,x∈[-1,1],设3x=t,则t∈13,3,g(x)=h(t)=t+4t,t∈13,3,而函数y=h(t)在13,2上为减函数,在[2,3]上为增函数,∴h(t)min=h(2)=2+42=4,由已知可得3m≤h(t)min,∴3m≤4,即m≤43,∴实数m的取值范围是-∞,43.
15.(2019江西九江高三第一次十校联考,22)已知函数f(x)=x2-a2x+1.
(1)若f(x)≥0在R上恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若∃x∈[1,2], f(x)≥2成立,求实数a的取值范围.
解析 (1)由题意得Δ=a24-4≤0,解得-4≤a≤4,∴实数a的取值范围为[-4,4].
(2)由题意得∃x∈[1,2],使a2≤x-1x成立.
令g(x)=x-1x,x∈[1,2],则g(x)在区间[1,2]上单调递增,∴g(x)max=g(2)=32,又∵∃x∈[1,2],a2≤g(x)成立,
∴a2≤32,解得a≤3,∴实数a的取值范围为(-∞,3].
