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- 2024-04-18 发布
南京市2019－2020学年度第一学期期中调研测试
高 二 数 学 2019.11
注意事项：
1．本试卷共4页，包括选择题（第1题~第12题）、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～第22题)三部分。本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
5．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：线性回归方程 ＝bx＋a；回归系数b＝，a＝－b；
球的表面积S＝4πR2，其中R为球的半径．
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共计48分．其中第1至第10题为单选题，第11、12题为多选题．
1．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋2y－2＝0互相垂直，则实数a的值是
A．1 B．－1 C．4 D．－4
2．已知向量a＝(0，1，1)，b＝(1，－2，1)．若向量a＋b与向量c＝(－2，m，－4)平行，则实数m的值是
A．2 B．－2 C．10 D．－10
3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2－＝1的渐近线方程是
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
4．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x（万元）
8.3
8.5
10
11.2
12
支出y（万元）
6
7.5
8
8.5
10
根据上表可得＝10，＝8，线性回归方程＝0.76x＋a．据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭年支出为
A．15.2万元 B．15.6万元 C．16万元 D．16.2万元
（第6题图）
A
B
C
D
M
N
（第5题图）
5．如图，已知一个圆柱的底面半径为，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为
A． B．16π
C．8π D．4π
6．如图，在四面体ABCD中，点M是棱BC上的点，且BM＝2MC，点N 是棱AD的中点．若＝x＋y＋z，其中x，y，z为实数，则xyz的值是
A．－ B．－ C． D．
7．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点P(1，2)，且被圆O：x2＋y2＝9截得的弦长为4，则直线l的方程为
A．3x－4y＋5＝0 B．3x＋4y－11＝0
C．x＝1或3x－4y＋5＝0 D．x＝1或3x＋4y－11＝0
8．已知cos(α＋)＝，则sin2α的值是
A．－ B．－ C． D．
9．在平面直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y＝4x的焦点，交抛物线于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为3，则线段AB的长为
A．6 B．7 C．8 D．10
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(4，0)，点A，B在双曲线C：－y＝1上，且
＝3，则直线AB的斜率为
A．± B．± C．±1 D．±
注：以下两题为多选题，每小题有多个选项符合题意．全部选对得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．
11．已知两条直线l，m及三个平面α，β，γ，下列条件中能推出α⊥β的是
A. lα，l⊥β B．l⊥α，m⊥β，l⊥m
C．α⊥γ，β∥γ D．lα，mβ，l⊥m
12．在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点F(－1，0)和F(1，0)的距离之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则
A．曲线E经过坐标原点 B．曲线E关于x轴对称
C．曲线E关于y轴对称 D．若点(x，y)在曲线E上，则－3≤x≤3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－y＝1的焦距为 ▲ ．若双曲线C的右焦点与抛物线y2＝2px (p＞0)的焦点重合，则实数p的值为 ▲ ．
14．在平面直角坐标系xOy中，若椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆E的离心率是 ▲ ．
15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和，如14＝3＋11．在不超过15的质数中，随机选取2个不同的数，其和不等于16的概率是 ▲ ．
16．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，底面边长和侧棱长均为2，
∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则对角线AC1的长为 ▲ ．
三、解答题：本题共6小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知12(acosC＋ccosA)＝13bcosB．
（1）求cosB；
（2）若a＋c＝15，且△ABC的面积为5，求b的值．
18．（本小题满分12分）
某家庭记录了未使用节水龙头30天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头30天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
（一）未使用节水龙头30天的日用水量频数分布表
日用水量
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
[0.6，0.7]
频数
2
3
8
12
5
（二）使用了节水龙头30天的日用水量频数分布表
日用水量
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6]
频数
2
5
11
6
6
（1）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4 m3的概率；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，平均每天能节省多少水？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
19．（本小题满分14分）
如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，且∠PAB＝∠PDC＝90°．
A
B
C
D
E
F
P
（第19题图）
（1）求证：AB⊥平面PAD；
（2）若点E，F分别是棱PD，BC的中点，
求证：EF∥平面PAB．
20．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，AA1＝3．
（第20题图）
A
C
B
D
A1
C1
B1
（1）点D在棱AA1上，且BD⊥A1C，求AD的长；
（2）求二面角C－A1B1－B的大小．
21．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F，F，离心率e＝．过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△ABF的周长为12．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点A位于第一象限，且AF1⊥AF2，求△ABF的外接圆的方程．
22．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，点A(－2，0)，过动点P作直线x＝－4的垂线，垂足为M
，且·＝－4．记动点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点A的直线l交曲线E于不同的两点B，C．
① 若B为线段AC的中点，求直线l的方程；
② 设B关于x轴的对称点为D，求△ACD面积S的取值范围．
南京市2019－2020学年度第一学期期中调研测试
高二数学参考答案 2019.11
一、选择题：
1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．B
11．ABC 12．BCD
二、填空题：
13．4；4 14． 15． 16．2
三、解答题：
17．（本小题满分12分）
解：（1）因为12(acosC＋ccosA)＝13bcosB，
由正弦定理 ＝＝ 得12(sinAcosC＋sinCcosA)＝13sinBcosB，……… 2分
因此12sin(A＋C)＝13sinBcosB． ……………………………… 4分
在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以12sin(π－B)＝13sinBcosB，
于是12sinB＝13sinBcosB，
因为B∈(0，π)，所以sinB＞0，所以cosB＝． ……………………………… 6分
（2）由（1）知cosB＝，sinB＞0，所以sinB＝＝． ……………… 8分
因为△ABC的面积为5，即S△ABC＝acsinB＝5，
所以ac＝5，即ac＝26． ………………………………… 10分
又因为a＋c＝15，
所以 b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－ac＝152－×26＝125，
因此b＝5． ………………………………… 12分
18．（本小题满分12分）
解：（1）根据表格（二），估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4m3的频数为
2＋5＋11＝18， ………………………… 2分
所以所求的概率约为 ＝0.6，
即该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.4m3的概率的估计值为0.6． ………… 5分
（2）该家庭未使用节水龙头30天日用水量的平均数为
＝(2×0.25＋3×0.35＋8×0.45＋12×0.55＋5×0.65)＝0.5； ……………… 8分
该家庭使用了节水龙头后30天日用水量的平均数为
＝(2×0.15＋5×0.25＋11×0.35＋6×0.45＋6×0.55)＝0.38； …………… 10分
－＝0.5－0.38＝0.12．
因此，使用节水龙头后，平均每天能节省的水量估计为0.12 m3． ………… 12分
19．（本小题满分14分）
证明：（1）在四棱锥P－ABCD中，
因为∠PAB＝∠PDC＝90°，所以AB⊥PA，DC⊥PD． …………………… 2分
又因为四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，所以AB∥DC，
所以AB⊥PD． …………………………… 4分
因为PA∩PD＝P，PA，PDÌ平面PAD，所以AB⊥平面PAD． …………… 6分
A
B
C
D
E
F
P
（第19题图）
G
（2）如图，取AD的中点G，连EG，GF．
在△PAD中，因为E是棱PD的中点，
所以EG∥PA．
又EGË平面PAB，PAÌ平面PAB，
所以EG∥平面PAB．…………… 8分
在平行四边形ABCD中，G，F分别是棱AD，BC的中点，
所以AG＝BF＝BC，AG∥BF，所以四边形ABFG是平行四边形，
所以 FG∥BA．
又FGË平面PAB，ABÌ平面PAB，所以FG∥平面PAB． …………… 11分
因为EG∩FG＝G，EG，FGÌ平面EFG，所以平面EFG∥平面PAB．
又EFÌ平面EFG，所以EF∥平面PAB． ………………… 14分
20．（本小题满分14分）
x
y
z
（第20题图）
A
C
B
D
A1
C1
B1
E
解：（1）如图，在△ABC中，过A作AB的垂线交BC于E．
在直三棱锥ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
所以AA1⊥AB，AA1⊥AE．
分别以AE，AB，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系A—xyz． …………………… 2分
因为AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，AA1＝3，
所以C(，－1，0)，B(0，2，0)，A1(0，0，3) ……………………… 4分
因为点D在棱AA1上，设D(0，0，a)，则＝(0，－2，a)，＝(，－1，－3)．
因为BD⊥A1C，所以2－3a＝0，解得a＝．
所以AD＝． ………………………… 6分
（2）平面ABB1A1的一个法向量为n1＝(1，0，0)．
又B1(0，2，3)，所以 ＝(－，1，3)，＝(－，3，3)．
设平面A1B1C的一个法向量为n2＝(x，y，z)，
由n2⊥，n2⊥，得所以y＝0．
取x＝，则z＝1，
所以平面A1B1C的一个法向量为n2＝(，0，1)． ……………… 10分
| n1|＝1，| n2|＝2，n1·n2＝，
所以cos＜n1，n2＞＝＝， …………………… 12分
又＜n1，n2＞∈[0，π]，从而＜n1，n2＞＝．
根据图形可知，二面角C－A1B1－B大小的为． ………………………14分
21．（本小题满分14分）
解：（1）因为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，
所以＝． ①
又△ABF的周长为12，所以4a＝12． ②
联立①②，解得a＝3，c＝5， 从而b2＝a－c＝20，
因此椭圆C的方程为＋＝1． ……………………………… 4分
（2）因为点A位于第一象限，故设A(x，y)，其中x＞0，y＞0．
因为AF1⊥AF2，所以·＝0，又点A在椭圆C上，
所以解得x12＝9，从而x＝3，y＝4． ……………………… 7分
由（1）知，椭圆C的左焦点为F(－5，0)，所以直线l的方程为y＝(x＋5)．
由得5x2＋18x－99＝0，解得x＝3或－．
所以B(－，－)． ……………………………… 11分
因为∠FAF＝90°，所以△ABF的外接圆就是以BF为直径的圆．
又椭圆C的右焦点为F2(5，0)，
所以线段BF的中点M的坐标为(－，－)，此时MF＝，
故△ABF的外接圆的方程为(x＋)＋(y＋)＝． ………………………… 14分
22．（本小题满分16分）
解：（1）设P(x，y)，则M(－4，y)．
因为A(－2，0)，所以＝(－2，y)，＝(x＋2，y)，
因为·＝－4，所以－2x－4＋y2＝－4，即y2＝2x．
所以曲线E的方程为y2＝2x． ………………………………… 3分
（2）① 若直线l的斜率不存在，则l与曲线E无公共点，因此l的斜率存在；
若l的斜率为0，则l与曲线E只有一个公共点，因此l的斜率不为0．
设l：y＝k(x＋2)，k≠0，
由得y2－y＋4＝0，于是∆＝－16＞0，解得－＜k＜且k≠0．
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝4． …………………… 7分
因为B为线段AC的中点，所以y2＝2y1．
又y1＋y2＝，所以y1＝，y2＝，
因此y1y2＝＝4，所以k＝±，符合－＜k＜且k≠0，
于是k＝±，此时直线l的方程为y＝±(x＋2)． …………………… 9分
② 因为点B，D关于x轴对称，所以D(x1，－y1)，
于是点D到直线l的距离为d＝．
因为y1＝k(x1＋2)，所以d＝． ………………………… 11分
又AC＝|x2＋2|，
所以S＝|x2＋2|×＝|(x2＋2)y1|＝|(＋2)y1|．
因为y1y2＝4，y1＋y2＝，所以S＝|2y2＋2y1|＝． ……………………… 14分
又因为－＜k＜且k≠0，因此S＞8，
即△ACD面积S的取值范围为(8，＋∞)． ………………………… 16分