初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第六章 图形性质2 第26讲 圆的弧长和图形面积的计算 35页

人教 数 学 第六章　图形的性质 ( 二 ) 第 26 讲　圆的弧长和图形面积的计算 要点梳理 1 ． 弧长及扇形的面积 (1) 半径为 r ， n ° 的圆心角所对的弧长公式： ； (2) 半径为 r ， n ° 的圆心角所对的扇形面积公式： _ ． 要点梳理 2 ． 圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形 ， 若设圆锥的母线长为 l ， 底面半径为 r ， 那么这个扇形的半径为 l ， 扇形的弧长为 2π r . (1) 圆锥侧面积公式： S 圆锥侧 ＝ ； (2) 圆锥全面积公式： S 圆锥全 ＝ ． π rl π rl ＋ π r 2 要点梳理 3 ． 求阴影部分面积的几种常见方法 (1) 公式法； (2) 割补法； (3) 拼凑法； (4) 等积变形构造方程法； (5) 去重法． 一种联系 圆锥的侧面是一个扇形 ， 因而其面积是一个扇形的面积 ， 其扇形的半径是圆锥的母线 ， 弧长是底面的周长．在求圆锥侧面积或全面积的时候 ， 常需要借助于它的展开图进行分析 ， 因此理清圆锥与它的展开图中各量的关系非常重要 ， 下面图示可以帮助我们进一步理解它们之间的关系． 一种转化 最短距离问题 ， 通常借助于展开图来解决．在将立体图形转化为平面图形后 ， 应把题中已知条件转化到具体的线段中 ， 最后构造直角三角形解题． 两个技巧 (1) 求运动所形成的路径长或面积时 ， 关键是理清运动所形成图形的轨迹变化 ， 特别是扇形 ， 需要理清圆心与半径的变化； (2) 处理不规则图形的面积时 ， 注意利用割补法与等积变换转化为规则图形 ， 再利用规则图形的公式求解． 三个等量关系 (1) 展开图扇形的弧长＝圆锥底面圆的周长； (2) 展开图扇形的面积＝圆锥的侧面积； (3) 展开图扇形的半径＝圆锥的母线． 1 ． ( 2014· 宜 昌 ) 如图 ， 在 4 × 4 的正方形网格中 ， 每个小正 方形的边长为 1 ， 若将 △ AOC 绕点 O 顺时针旋转 90 ° 得到 △ BOD ， 则 AB ︵ 的长为 ( ) A ． π B ． 6 π C ． 3 π D ． 1.5 π D 2 ． ( 2014· 牡丹江 ) 如图 ， AB 是 ⊙ O 的直径 ， 弦 CD ⊥ AB ， ∠ CDB ＝ 30 ° ， CD ＝ 2 3 ， 则 S 阴影 ＝ ( ) A ． π B ． 2 π C. 2 3 3 D. 2 3 π D 3 ． ( 2014· 绍兴 ) 如图 ， 圆锥的侧面展开图是半径为 3 ， 圆心 角为 90 ° 的扇形 ， 则该圆 锥的底面周长为 ( ) A. 3 4 π B. 3 2 π C. 3 4 D. 3 2 B 4 ． ( 2014 · 成都 ) 在圆心角为 120° 的扇形 AOB 中 ， 半径 OA ＝ 6 cm ， 则扇形 OAB 的面积是 ( ) A ． 6π cm 2 B ． 8π cm 2 C ． 12π cm 2 D ． 24π cm 2 C 弧长公式的应用 【 例 1 】 ( 2013· 遵义 ) 如图 ， 将边长为 1 cm 的等边三角形 ABC 沿直线 l 向右翻动 ( 不滑动 ) ， 点 B 从开始到结束 ， 所 经过路径的长度为 ( ) A. 3 2 π cm B ． ( 2 ＋ 2 3 π ) cm C. 4 3 π cm D ． 3 cm C 5 ． ( 2014· 河北 ) 如图 ， 边长为 a 的正六边形内有两个三角 形 ( 数据如图 ) ， 则 S 阴影 S 空白 ＝ ( ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6 C 【 点评 】 　本题考查了弧长的计算 ， 解答本题的关键是仔细观察图形 ， 从开始到结束经过两次翻动 ， 求出点 B 两次划过的弧长 ， 即可得出所经过路径的长度．注意熟练掌握弧长的计算公式． 1 ． ( 2014· 龙东 ) 一圆锥体形状的水晶饰品 ， 母线长是 10 cm ， 底面圆的直径是 5 cm ， 点 A 为圆锥底面圆周上一点 ， 从 A 点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到 A 点 ， 则彩带最少用多 少厘米 ( 接口处重合部分忽略不计 )( ) A ． 10 π cm B ． 10 2 cm C ． 5 π cm D ． 5 2 cm B 　扇形面积公式的运用 【 例 2 】 　如图 ， BD 是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果 BO ＝ 65 cm ， DO ＝ 15 cm ， 当 BD 绕点 O 旋转 90° 时 ， 求刮雨刷 BD 扫过的面积． 解：在 △ AOC 和 △ BOD 中 ， ∵ OC ＝ OD ， AC ＝ BD ， OA ＝ OB ， ∴△ AOC ≌△ BOD ， ∴ 阴影部分的面积为扇环 的面积 ， 即 S 阴影 ＝ S 扇形 AOB － S 扇形 COD ＝ 1 4 π ( OA 2 － OC 2 ) ＝ 1 4 π × ( 65 2 － 15 2 ) ＝ 1000 π ( cm 2 ) 【 点评 】 阴影部分一般都是不规则的图形 ， 不能直接 用公式求解 ， 通常有两条思路 ， 一是转化成规则图形面 积的和、差；二是进行图形的割补 ． 此题可利用图形的 割补 ， 把 △ OAC 放到 △ OBD 的位置 ． 扇形面积公式和弧 长公式容易混淆 ． S 扇形 ＝ n 360 π R 2 ＝ 1 2 lR . 2 ． ( 2014· 莱芜 ) 如图 ， AB 为半圆的直径 ， 且 AB ＝ 4 ， 半圆 绕点 B 顺时针旋转 45 ° ， 点 A 旋转到 A′ 的位置 ， 则图中 阴影部分的面积为 ( ) A ． π B ． 2 π C. π 2 D ． 4 π B 圆锥的侧面展开图 【 例 3 】 　 (1) ( 2014 · 黔南州 ) 如图 ， 圆锥的侧面积为 15 π ， 底面圆半径为 3 ， 则该圆锥的高 AO 为 ( ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 15 B ( 2 ) ( 2014· 牡丹江 ) 如图 ， 如果从半径为 3 cm 的圆形纸片上 剪去 1 3 圆周的一个扇形 ， 将留下的扇形围成一个圆锥 ( 接缝 处不重叠 ) ， 那么这个圆锥的底面半径是 __ __ cm. 2 【 点评 】 　就圆锥而言 ， “ 底面圆的半径 ” 和 “ 侧面展开图的扇形半径 ” 是完全不同的两个概念 ， 要注意其区别和联系 ， 其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长 ， 扇形的半径为圆锥的母线长；圆锥的底面半径、母线和高组成了一个直角三角形． 3 ． 现有 30% 圆周的一个扇形彩纸片 ， 该扇形的半径为 40 cm ， 小红同学为了在六一儿童节联欢晚会上表演节目 ， 她打算剪去部分扇形纸片后 ， 利用剩下的纸片制作成一个底面半径为 10 cm 的圆锥形纸帽 ( 接缝处不重叠 ) ， 求剪去的扇形纸片的圆心角度数． 解： ∵ 圆锥的母线长为 40 ， 底面半径为 10 ， ∴ 圆锥展开 图的圆心角＝ 20 40 × 180 ° ＝ 90 ° ， ∴ 剪去扇形纸片的圆心 角度数＝ 360 ° × 30% － 90 ° ＝ 108 ° － 90 ° ＝ 18 ° 求阴影部分的面积 【 例 4 】 ( 2014· 黔西南州 ) 如图 ， 点 B ， C ， D 都在 ⊙ O 上 ， 过 C 点作 CA ∥ BD 交 OD 的延长线于点 A ， 连接 BC ， ∠ B ＝ ∠ A ＝ 30 ° ， BD ＝ 2 3 . (1) 求证： AC 是 ⊙ O 的切线； (2) 求由线段 AC ， AD 与弧 CD 所围成的阴影部分的面积． ( 结果保留 π ) 【 点评 】 　本题考查了平行线的性质 ， 圆周角定理 ， 扇形的面积 ， 三角形的面积 ， 解直角三角形等知识点的综合运用． 4 ． ( 2014 · 河南 ) 如图 ， 在菱形 ABCD 中 ， AB ＝ 1 ， ∠ DAB ＝ 60° ， 把菱形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 30° 得到菱形 AB′C′D′ ， 其中点 C 的运动路径为 CC′ ， 则图中阴影部分的面积为 ． 试题 扇形的半径为 30 cm ， 圆心角为 120 ° ， 用它做成一 个圆锥的侧面 ， 求圆锥的侧面积是多少？ 错解 解：设圆锥的底面半径为 r ， 母线长为 l . ∵ 120 360 π r 2 ＝ π rl ， ∴ 120 360 π × 30 2 ＝ π × 30 × l ， 解得 l ＝ 10 ， ∴ S 侧面积 ＝ π r × l ＝ 300 π ( cm 2 ) ． 剖析 上述解法混淆了圆锥底面半径和扇形半径 ， 看上去好像答案是 正确的 ， 这只不过是题设中数据的一种巧合而已 ． 圆锥底面半径 ≠ 扇 形半径 ， 圆锥的侧面展开图是一个扇形 ， 若设圆锥的母线为 l ， 底面 圆的半径为 r ， 那么这个扇形的半径为 l ， 扇形的弧长为 2 π r ， 面积 S 圆锥 侧 ＝ 1 2 ( 2 π r ) · l ＝ π rl ， S 圆锥表 ＝ π r 2 ＋ π rl ， 扇形的圆心角 θ ＝ r l × 360 ° ， 如图 ． 正解 解：设圆锥的底面半径为 r ， 母线长为 l ， 已知 l ＝ 30. ∵ r l × 360 ° ＝ 120 ° ， ∴ r ＝ 10 ， ∴ S 侧面积 ＝ π rl ＝ 300 π ( cm 2 ) ．或： S 侧面积 ＝ S 扇形 ＝ n 360 × π r 2 ＝ 120 360 × π × 30 2 ＝ 300 π ( cm 2 ) ．