2017-2018学年山西省阳高县第一中学高二下学期第一次月考数学（文）试题（解析版） 16页

‎2017-2018学年山西省阳高县第一中学高二下学期第一次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．在对两个变量x，y进行线性回归分析时有下列步骤：‎ ‎①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．‎ 如果根据可靠性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则下列操作顺序正确的是(　　)‎ A． ①②⑤③④ B． ③②④⑤①‎ C． ②④③①⑤ D． ②⑤④③①‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 进行回归分析的基本过程是：收集数据，绘制散点图，判断相关性，如果是线性相关，求出回归方程，并结合回归方程作出解释。据此进行判断本题。‎ ‎【详解】‎ 进行线性回归分析一般经历以下几个过程：首先对相关数据进行收集，根据收集的数据作出散点图，根据散点图作出线性相关或非线性相关或不相关的判断，进行相关系数计算从数量角度分析，以确定相关程度大小，这样可以提高回归分析的信度。最后求出回归方程并结合方程进行实际意义说明。故答案选D。‎ ‎【点睛】‎ 回归分析及求回归方程的主要步骤是：收集数据，绘制散点图，判断是否线性相关，代入公式计算方程系数，求得方程，根据方程作出解释。‎ ‎2．为了评价某个电视栏目的改革效果,在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查,经过计算χ2≈0.99,根据这一数据分析,下列说法正确的是(　　)‎ A． 有99%的人认为该栏目优秀 B． 有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系 C． 有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系 D． 没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系 ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据独立性检验分析得解.‎ 详解：只有χ2>6.635才能有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系,而即使χ2>6.635也只是对“电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结论.故答案为：D.‎ 点睛：本题主要考查独立性检验，意在考查学生对该知识的掌握水平，属于基础题.‎ ‎3．若函数y=f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则的值为(　　)‎ A． f′(x0) B． 2f′(x0)‎ C． -2f′(x0) D． 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由导数的概念可以对进行适当变形处理，即可求得。‎ ‎【详解】‎ ‎=‎ ‎==，故答案选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主查考查导数的概念，深入理解导数概念是解题的关键，属于基础在题型。‎ ‎4．若曲线y=xα+1(α∈R)在(1，2)处的切线经过原点，则α=(　　)‎ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算y=xα+1的导数，并求它在时的值，由点斜式确定方程，进而可求得。‎ ‎【详解】‎ 由知，，‎ 当时，，‎ 所以过点(1，2)的切线为，‎ 把，代入得，答案选B。‎ ‎【点睛】‎ 这个题目主要考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.‎ ‎5．f(x)＝ax3＋2，若f′(1)＝4，则a的值等于(　　)‎ A． B． ‎ C． D． 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求的导函数，把代入并建立方程，即可求出。‎ ‎【详解】‎ 对求导得，，‎ 把代入，得，所以。答案选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数计算，关键熟记导数公式，属于基础性题目，较容易。‎ ‎6．若f(n)＝1＋＋＋…＋ (n∈N)，则当n＝2时，f(n)是(　　)．‎ A． 1＋ B． ‎ C． 1＋＋＋＋ D． 非以上答案 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把n＝2代入=，即可解决。‎ ‎【详解】‎ 把n＝2代入得，‎ ‎=，答案选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题只考查数列的通项公与数列项数，比较简单也较基础。‎ ‎7．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 A． 大前提错误 B． 小前提错误 C． 推理形式错误 D． 非以上错误 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是逻辑错误. 仔细分析“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的推理过程，不难得到结论．‎ ‎【详解】‎ 在推理过程“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”中，直线平行于平面，则平行于平面内所有直线为大前提，由线面平行的性质易得，直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面，这是一个假命题，故这个推理过程错误的原因是：大前提错误.故选A．‎ ‎【点睛】‎ 归纳推理和演绎推理会出现错误的原因是由合情推理的性质决定的，但演绎推理出现错误，有三种可能，一种是大前提错误，第二种是小前提错误，第三种是逻辑结构错误．‎ ‎8．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 先看选择支A，若抛物线对应函数，，则为增函数，符合要求；再看选择支B，若轴上方图象为，则下方的图象为增函数，符合要求；再看选择支C，上方图象为，则下方的图象为增函数，符合要求；故选D .‎ ‎9．使函数y＝xsin x＋cos x是增函数的区间可能是(　　)‎ A． (，) B． (π，2π)‎ C． (，) D． (2π，3π)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数y＝xsin x＋cos x的导函数，根据导函数分析出它的单调增区间。‎ ‎【详解】‎ 由函数得，=。‎ 观察所给的四个选项中，均有，故仅需，‎ 结合余弦函数的图像可知，时有，所以答案选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对于函数，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，这是解题关键。此题属于基础题。‎ ‎10．一汽车沿直线轨道前进，刹车后列车速度为v(t)＝18－6t，则列车的刹车距离为(　　)‎ A． 27 B． 54‎ C． 81 D． 13.5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算平均速度，再代入距离公式即可。‎ ‎【详解】‎ 刹车后列车速度为v(t)＝18－6t可知，车的初速度为18，末速度为0，刹车时间为3，‎ 根据平均速度==9，‎ 刹车距离==.答案选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查平均速度的计算，只要掌握平均速度的计算公式即可，属于基础题。‎ ‎11．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)‎ A． 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)‎ B． 函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)‎ C． 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)‎ D． 函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．‎ 解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．‎ 又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f（2）．‎ 故选D．‎ ‎12．已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在x∈(－∞，＋∞)是增函数，则m的取值范围是(　　)‎ A． m<2或m>4‎ B． －40，当x∈(，10)时，V′(x)<0，‎ ‎∴当x＝时，V(x)取得最大值为π cm3.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查以下知识点：1、函数的应用问题；2、函数的单调性与导数；2、函数的最值与导数。‎ ‎19．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．‎ ‎【答案】（1） ； （2）是的极大值点，是的极小值点．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据切点是曲线与切线的公共点，可得，注意到直线y＝8的斜率为0，结合导数的几何意义可建立方程，联合成方程组，求解即可。‎ ‎（2）首先求导函数f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，可以看到a的取值直接影响到导函数的符号，故需对a进行分类讨论，由于a≠0，所以分a<0和a>0两种情况讨论，得到单调区间，同时根据单调性判断并求出极值。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)f′(x)＝3x2－3a.‎ 因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，‎ 所以，即 解得a＝4，b＝24.‎ ‎(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．‎ 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．‎ 当a>0时，由f′(x)＝0得x＝±.‎ 当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；‎ 当x∈(－，)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；‎ 当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．‎ 此时x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）关于函数某点处相切的问题要抓住以下几点：首先是切点，即曲线与切线的公共点；其次切线斜率为函数（曲线）在该点处的导数值，求导可算。‎ ‎（2）求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程，再判断的根是否是极值点，往往要结合函数单调性进行分析。若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论。‎ ‎20．某地区2008年至2014年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：‎ 年份 ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ 年份代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2．9‎ ‎3．3‎ ‎3．6‎ ‎4．4‎ ‎4．8‎ ‎5．2‎ ‎5．9‎ ‎（Ⅰ）求y关于的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2008年至2014年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入．‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）6．8千元．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，即可求得回归直线方程为；（Ⅱ）因为回归直线的斜率，故2008年至2014年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年递增，平均每年增加0．5千元，因为2008年对应的为x=1,以此类推，2016年为x=9，所以预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入只需将x=9代入即可 试题解析：（Ⅰ）由所给数据得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所求的回归直线方程为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故2008年至2014年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年递增，平均每年增加0．5千元．‎ 将2016年的年份代换代人回归直线方程，得 ‎，‎ 故预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入为6．8千元．‎ ‎【考点】1．求回归直线方程；2．运用回归直线计算 ‎21．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：‎ ‎ ‎ ‎（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；‎ ‎（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 ‎（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。‎ 附：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）0.62（2）有99%的把握 （3）新养殖法优于旧养殖法 ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由频率近似概率值，计算可得旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为0.62.据此，事件A的概率估计值为0.62.‎ ‎(2)由题意完成列联表，计算K2的观测值k＝≈15.705＞6.635，则有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．‎ ‎(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．‎ 试题解析：‎ ‎(1)旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 ‎(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.‎ 因此，事件A的概率估计值为0.62.‎ ‎(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ K2的观测值k＝≈15.705.‎ 由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．‎ ‎(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50kg到55kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45kg到50kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．‎ 点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．‎ ‎22．已知函数f(x)＝x2＋lnx.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)求证：当x>1时， x2＋lnx1时，，只需证当x>1时，，‎ 可设，只需证明时，，因此，利用导数研究的单调性，得出，结论得证。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}，‎ ‎∵f′(x)＝x＋，故f′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．‎ ‎(2)设g(x)＝x3－x2－lnx，∴g′(x)＝2x2－x－，‎ ‎∵当x>1时，g′(x)＝>0，‎ ‎∴g(x)在(1，＋∞)上为增函数，∴g(x)>g(1)＝>0，‎ ‎∴当x>1时， x2＋lnx