2018-2019学年吉林省扶余市第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题解析版 17页

绝密★启用前 吉林省扶余市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若复数，其中为虚数单位，则共轭复数（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 则复数的共轭复数为 故选 ‎2．用反证法证明命题“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，需假设原命题不成立，下列假设正确的是（ ）‎ A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c都是偶数 C．a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由于命题“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数”，‎ 考点：反证法 ‎3．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是(　　)‎ A．10 B．11 C．12 D．16‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由系统抽样的步骤知29号、42号的号码差为13，所以，即另一个同学的学号是16.‎ 考点：系统抽样的步骤.‎ ‎4．曲线：在点处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以切下的斜率为，‎ 所以切线方程为 ，即，选A ‎5．对于给定的样本点所建立的模型A和模型B，它们的残差平方和分别是 的值分别为b1，b2，下列说法正确的是（　　）‎ A．若a1＜a2，则b1＜b2，A的拟合效果更好 B．若a1＜a2，则b1＜b2，B的拟合效果更好 C．若a1＜a2，则b1＞b2，A的拟合效果更好 D．若a1＜a2，则b1＞b2，B的拟合效果更好 ‎【答案】C ‎【解析】由残差平方和以及 的定义式可得若a1＜a2，则b1＞b2，A的拟合效果更好.‎ 本题选择C选项.‎ ‎6．已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x＋2y－3＝0，则该双曲线的离心率为 （ ）‎ A.5或 B.或 C. 或 D.5或 ‎【答案】B ‎【解析】由条件知一条渐近线斜率为所以其中为实半轴，为虚半轴；则离心率满足故选B ‎7．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）‎ A．至多有1次中靶 B．2次都中靶 C．2次都不中靶 D．只有1次中靶 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件．‎ 解：由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件，‎ 再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”，‎ 故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，‎ 故选C．‎ 考点：互斥事件与对立事件．‎ ‎8．总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )‎ A．08 B．07 C．02 D．01‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，．其中第二个和第四个都是02，重复．‎ 可知对应的数值为08，02，14，07，01，‎ 则第5个个体的编号为01‎ 考点：随机抽样 ‎9．函数的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：因为 可见在x>0时，01，f(x)递减，则可排除C,D，然后看最大值x=1时，为-1/2，因此图像选B ‎10．某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下:小张说:“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说:“丁团队获得一等奖”；‎ 小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说:“甲团队获得一等奖”.‎ 若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得一等奖的团队是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;‎ ‎2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;‎ ‎3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;‎ ‎4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故选D.‎ ‎【思路点睛】本题主要考查演绎推理的定义与应用以及反证法的应用，属于中档题.本题中，若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符；若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符；若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符；若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.‎ ‎11．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从5个小球中选两个有10种方法，取出的小球标注的数字之和为3或6的有{1，2}，{1，5}，{2，4}共3种，根据古典概型公式，代入数据，求出结果．‎ ‎【详解】‎ 随机取出2个小球得到的结果数有种 取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{1，2}，{1，5}，{2，4}共3种，‎ ‎∴P，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次 ….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.‎ ‎12．观察，，，由归纳推理可得：若定义在R上的函数满足=，记为的的导函数,则=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；，我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数，若定义在上的函数满足，则函数为偶函数，又为的导函数，则奇函数，故，即，故选D.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知下列命题：‎ ‎①命题“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，x2＋1＜3x”；‎ ‎②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“”为真命题；‎ ‎③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；‎ ‎④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．‎ 其中所有真命题的序号是________．‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】‎ 命题“∃x∈R，x2＋1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”，故①错误；“p∨q”为假命题说明p假q假，则(p)∧(q)为真命题，故②正确；a＞5⇒a＞2，但a＞2⇒/ a＞5，故“a＞2”是“a＞5”的必要不充分条件，故③错误；因为“若xy＝0，则x＝0或y＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错误．‎ ‎14．如图是某学生次考试成绩的茎叶图，则该学生次考试成绩的标准差=____．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求考试成绩的平均值，再求该学生次考试成绩的标准差.‎ ‎【详解】‎ 由题得学生8次考试成绩的平均值为，‎ 则标准差为．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查茎叶图，考查平均数和标准差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是，，…，，且取这些值的概率分别是，，…，，那么＝＋＋…＋,初中的方差公式为.称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的是随机变量的期望．标准差.‎ ‎15．如图:圆内切于扇形，，若∠AOB=60O在扇形内任取一点， 则 该点不在圆的概率为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 试验发生包含的事件对应的包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，根据题意，构造直角三角形求得扇形的半径与圆的半径的关系，进而根据面积的求法求得扇形OAB的面积与⊙C的面积比．‎ ‎【详解】‎ 由题意知本题是一个等可能事件的概率，设圆C的半径为r，‎ 试验发生包含的事件对应的是扇形AOB，‎ 满足条件的事件是圆，其面积为⊙C的面积＝π•r2，‎ 连接OC，延长交扇形于P，如图所示：‎ 由于CE＝r，∠BOP，OC＝2r，OP＝3r，‎ 则S扇形AOB，‎ ‎∴⊙C的面积与扇形OAB的面积比是 ‎∴概率P＝1，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题是一个等可能事件的概率，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．连接圆心和切点是常用的辅助线做法，本题的关键是求得扇形半径与圆半径之间的关系．‎ ‎16．已知，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，则_____________．‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义知,,再由余弦定理 可得 ‎ ‎，即可解出.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆定义可知，且，‎ 根据余弦定理得：，‎ 所以 ‎ 解得，故填36.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的定义，椭圆方程，余弦定理，属于中档题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知复数，‎ ‎（1）若为纯虚数，求实数的值；‎ ‎（2）在复平面内，若对应的点在第四象限，对应的点在第一象限，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 实数的取值范围为:.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由题意得到关于x的方程组，求解方程组可得.‎ ‎（2）对应的点在第四象限，则，对应的点在第一象限，则，据此可得的取值范围为：.‎ 详解：（1）∵为纯虚数，∴，解得；‎ ‎（2）∵对应的点在第四象限，∴，解得：，‎ ‎∵对应的点在第一象限，∴，解得：，‎ 综上，实数的取值范围为：.‎ 点睛：这个题目考查了复数问题，复数分为虚数和实数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，需要注意的是已知数的性质求参时，会出增根，比如纯虚数，既要求实部为0，也要求虚部不为0.‎ ‎18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）求月平均用电量的平均数、众数和中位数；‎ ‎（3）在月平均用电量为，，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？‎ ‎【答案】（1）；（2）平均数，众数，中位数；（3）户.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，解方程可得；‎ ‎（2）用每个矩形下端的中点值乘以相应的概率值，累加得到平均数，由直方图中众数为最高矩形下端的中点可得，易知中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）＝0.5可得；‎ ‎（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由直方图的性质可得，解方程可得，∴直方图中的值为0.0075；‎ ‎（2）月平均用电量的平均数 月平均用电量的众数是，‎ ‎∵，‎ ‎∴月平均用电量的中位数在内，‎ 设中位数为，由可得，‎ ‎∴月平均用电量的中位数为224；‎ ‎（3）月平均用电量为的用户有，‎ 月平均用电量为的用户有，‎ 月平均用电量为的用户有，‎ 月平均用电量为的用户有，‎ ‎∴抽取比例为，‎ ‎∴月平均用电量在的用户中应抽取户．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图，涉及平均数、众数和中位数的计算以及分层抽样的应用，属基础题．‎ ‎19．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ ‎（1）求回归直线方程.‎ ‎（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)‎ 参考数据如下：‎ ‎【答案】（1）；（2）元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据表中数据，计算、，求出回归系数，写出回归直线方程；‎ ‎（2）写出工厂利润函数，根据二次函数的图象与性质得到最大利润时的单价．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)x＝xi＝9.5，y＝ yi＝90，故＝-14，＝0.7， 故＝＝－20，从而＝－＝280，‎ 因此＝－20x＋280.‎ ‎(2)设该产品的单价定为x元，工厂获得的利润为L元， ‎ 则L＝(x－5)(－20x＋280)＝，即x＝9.5时，利润最大 因此单价应定为9.5元．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎20．已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点.‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）设不过原点O的直线，与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为，满足，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意列出方程组：解出即可；（2）联立直线和椭圆得到方程：(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，4k＝k1＋k2＝，由韦达定理得到表达式，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则由题意得解得a＝2，b＝1，‎ ‎∴椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，‎ 令Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，得m2<4k2＋1(*)，‎ ‎∴x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∴k1＝，k2＝，‎ 则4k＝k1＋k2＝＋＝＝＝2k－，‎ ‎∴m2＝，满足(*)式，故m2＝.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．‎ ‎21．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了各个城市的大街小巷．为了解共享单车在市的使用情况，某调研机构在该市随机抽取了位市民进行调查，得到的列联表（单位：人）‎ ‎（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为使用共享单车的情况与年龄有关？(结果保留3位小数）‎ ‎（2）现从所抽取的岁以上的市民中利用分层抽样的方法再抽取5人 ‎（i）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；‎ ‎（ii）从这5人中，再随机抽取2人赠送一件礼物，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.‎ 参考公式及数据：，．‎ ‎【答案】（1）能；（2）（i）经常使用人、偶尔或不用共享单车人；（ii）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算k2，与2.027比较大小得出结论，‎ ‎（2）（i）根据分层抽样即可求出，‎ ‎（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a，b，c；偶尔或不用共享单车的2人分别为d，e，根据古典概率公式计算即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由列联表可知，．‎ 因为2.198＞2.072，‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车情况与年龄有关．‎ ‎（2）（i）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有 ‎（人），‎ 偶尔或不用共享单车的有（人）．‎ ‎（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a，b，c；偶尔或不用共享单车的2人分别为d，e．‎ 则从5人中选出2人的所有可能结果为（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10种．‎ 其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为（d，e），共1种．‎ 故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率．‎ ‎【点睛】‎ 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）‎ ‎22．已知函数,若曲线在点处的切线与直线平行.‎ ‎（1）求的值．‎ ‎（2）求函数的单调区间和极值．‎ ‎（3）试判断函数的零点个数，并说明理由．‎ ‎【答案】（）．（）单调递减区间，单调递减区间，极大值为．（）个，理由见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数的几何意义求出x＝1处的切线方程；‎ ‎（2）当a＝0时，利用导数判断出f（x）的单调增区间与单调减区间，从而求出极值；‎ ‎（3）函数的零点个数等价于y=与图象的交点个数．‎ ‎【详解】‎ ‎（）∵，‎ ‎，‎ ‎∴，即．‎ ‎（）∵，‎ ‎，令， ，‎ 极大值 ‎∴单调递增区间为，单调递减区间为．‎ 极大值为． ‎ ‎（）∵，当时，即为，由（）作出大致图象，由图可知与有两个点．即有个零点．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．‎ ‎（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意图象的渐近线。‎