2020年（学而思）第一届数理化全国联考数学卷试题（word版，含解析） 4页

‎2020年（学而思）第一届数理化全国联考 数学卷试题 一、填空题:本大题共8小题，每小题8分，满分64分 ‎1.将1,2,...,8排成一列，要求相邻两项互质，则共有____种排序方式.‎ ‎2.已知函数≠1)在x∈[2,3]上递增，则实数a的取值范围是____.‎ ‎3.椭圆中弦AB长为4,设椭圆的左焦点为F,若|AF|·|BF|的最大值为则a的值为___‎ ‎4.设θ为锐角，则的最小值为___‎ ‎5.如图为2*2的矩阵，一只蚂蚁从A出发，每一步随机向上下左右(若可前进)移动一个单位, 2020 步后回到点A的概率是___‎ ‎6.各面均为直角三角形且有至少三条棱长为1的非退化（四顶点不共面）的四面体有____种. （旋转、平移、对称后重合记为一种）‎ ‎7.6名同学分成3队进行围棋比赛，每队2人，规则为：首轮比赛抽签选出两队各派一名选手参赛，失败的选手被永久淘汰且该队下轮轮空，胜者与第三队的选手进行次轮比赛，以此类推，每轮失败的选手被永久淘汰，若有三支队伍存活则下轮由。上轮胜者和上轮轮空的队伍进行比赛，若只有两只队伍存活则他们互相比赛，直至三队中有两队的选手被全部永久淘汰游戏结束。假设6名同学已经分好组并确定了队内上场顺序，可能出现的不同比赛流程共有______种（只考虑每轮的比赛双方和结果）‎ ‎8.一个多边形剪一刀（截痕不过多边形的项点）分割为2个多边形，再将其中一个多边形剪一刀（截痕不过多边形的顶点）又分割出一个多边形,……如此下去，如果从一个正方形开始，要剪出一个三角形，一个四边形，一个五边形，…….. 一个2020边形，那么，所需要剪的最少刀数为______。‎ 二、解答题：本大题共3小题，满分56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎9. （本题满分16分）空间有n个平面（n≥4）。任意两个不平行，任意三个不共线，它们两两交线中，最多能有多少对异面直线？‎ ‎10. (本题满分20分) 一个函数f(x),如果对任意一个三角形,只要它的三边长a､b､c都在f(x)的定义域内,应有f(a)､ f(b)､f(c)也是某个三角形的三边长,则称f(x)为"保三角形函数".‎ ‎(1)若g(x)是定义在R上的周期函数,且值域为(0,+∞) ,证明:g(x)不是保三角形函数; ‎ ‎(2)若h(x)= sinx(x∈(0,M))是保三角形函数,求M的最大值｡‎ ‎11.(本题满分20分)是否存在函数f:N→N,使得对于每一个n∈N,都有及? 证明你的结论. (其中,)‎ 数学卷二试 一、（本题满分40分）如图，对任意四边形ABCD中，取BD中点E，取AC中点F，在BC上任取一点G，设射线GF与BA交于点M，射线EG和DC交于点N，求证：直线EF将线段MN平分。‎ 二、{本题满分40分)将这个自然数一数一格放到在n× n的正方形方格内，对于同一行或同一列中的任意两个数，计算较大数与较小数的商，得到个分数.把最小的分数称之为这种排列的"特征值".‎ 试求特征值的最大值.‎ 三、(本题满分50分)给定整数a> 1.数列定义如下:‎ ‎.‎ 若是素数，证明: 2m + 1是素数.‎ 四、{本题满分50分) n,k∈N*，有n个城市，两两之间连有若干条路，任何两个城市之间连有0或1条路.并且从任何一个城市出发，均无法恰穿过k + 1条路，路过k + 2个不同的城市，证明:道路总数不超过