2017年上海市长宁区高考一模数学 10页

2017 年上海市长宁区高考一模数学 一、填空题(共 12 小题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分) 1.设集合 A={x||x-2|＜1，x∈R}，集合 B=Z，则 A∩B=____. 解析：|x-2|＜1，即-1＜x-2＜1，解得 1＜x＜3，即 A=(1，3)， 集合 B=Z， 则 A∩B={2}. 答案：{2} 2.函数 sin( )3yx(ω＞0)的最小正周期是π，则ω=____. 解析：∵ sin( )3yx(ω＞0)， ∴ || 2T  ， ∴ω=2. 答案：2 3.设 i 为虚数单位，在复平面上，复数  2 3 2 i 对应的点到原点的距离为____. 解析：复数       2 3 3 43 3 9 12 3 4 3 4 3 4 252 i i i i ii       对应的点 91 25()2 25 ， 到原点的距离 = 229 12 3 25 25 5            . 答案： 3 5 4.若函数 f(x)=log2(x+1)+a 的反函数的图象经过点(4，1)，则实数 a=____. 解析：函数 f(x)=log2(x+1)+a 的反函数的图象经过点(4，1)， 即函数 f(x)=log2(x+1)+a 的图象经过点(1，4)， ∴4=log2(1+1)+a ∴4=1+a， a=3. 答案：3 5.已知(a+3b)n 展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64，则 n=____. 解析：令二项式中的 a=b=1 得到展开式中的各项系数的和 4n 又各项二项式系数的和为 2n 据题意得 4 642 n n ＝ ，解得 n=6. 答案：6 6.甲、乙两人从 5 门不同的选修课中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的 选法有____种. 解析：根据题意，采用间接法： ①由题意可得，所有两人各选修 2 门的种数 22 55 100CC  ， ②两人所选两门都相同的有为 2 5 10C  种，都不同的种数为 22 53 30CC  ， 故只恰好有 1 门相同的选法有 100-10-30=60 种. 答案：60 7.若圆锥的侧面展开图是半径为 2cm，圆心角为 270°的扇形，则这个圆锥的体积为 ____cm3. 解析：设此圆锥的底面半径为 r，由题意，得： 3222r， 解得 3 2r  . 故圆锥的高 974 42h    ， ∴圆锥的体积 231 3 7 38V r h cm . 答案： 37 8  . 8.若数列{an}的所有项都是正数，且 2 12 3na a a n n    (n∈N*)，则 12 2 1lim 2 3 1 n n aaa nn    ()=______. 解析：∵ (n∈N*)，∴n=1 时， 1 4a  ，解得 a1=16. n≥2 时，且 2 1 2 1 ( 1) 3( 1)na a a n n      ，可得： 22nan，∴ an=4(n+1)2. 4( 1)1 na nn  . ∴ 12 22 (2 1)41 2lim ( ) lim 22 3 1 n nn nn aaa n n n       . 答案：2. 9.如图，在△ABC 中，∠B=45°，D 是 BC 边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则 AB 的长为 ______. 解析：在△ADC 中，AD=5，AC=7，DC=3， 由余弦定理得 2 2 2 1cos 22 AD DC ACADC AD DC     ， ∴∠ADC=120°，∠ADB=60° 在△ABD 中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°， 由正弦定理得 sin sin AB AD ADB B ＝ ， ∴ 56 2AB  答案： 56 2 10.有以下命题： ①若函数 f(x)既是奇函数又是偶函数，则 f(x)的值域为{0}； ②若函数 f(x)是偶函数，则 f(|x|)=f(x)； ③若函数 f(x)在其定义域内不是单调函数，则 f(x)不存在反函数； ④若函数 f(x)存在反函数 f-1(x)，且 f-1(x)与 f(x)不完全相同，则 f(x)与 f-1(x)图象的公 共点必在直线 y=x 上； 其中真命题的序号是______.(写出所有真命题的序号) 解析：①若函数 f(x)既是奇函数又是偶函数，则 f(x)=0，为常数函数，所以 f(x)的值域 是{0}， 所以①正确. ②若函数为偶函数，则 f(-x)=f(x)，所以 f(|x|)=f(x)成立，所以②正确. ③因为函数 1()fx x 在定义域上不单调，但函数 f(x)存在反函数，所以③错误. ④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线 y=x 对称，但不一定在直线 y=x 上， 比如函数 1yx   与其反函数 y=x2-1(x≤0)的交点坐标有(-1，0)，(0，1)， 显然交点不在直线 y=x 上，所以④错误. 答案：①②. 11.设向量OA=(1，-2)，OB =(a，-1)，OC =(-b，0)，其中 O 为坐标原点，a＞0，b＞ 0，若 A、B、C 三点共线，则 12 ab 的最小值为______. 解析：向量 =(1，-2)， =(a，-1)， =(-b，0)，其中 O 为坐标原点，a＞0，b＞ 0， ∴ 1()1AB OB OA a    ，， 1()2AC OC OA b     ， ， ∵A、B、C 三点共线， ∴ AB AC ， ∴  11 12 ab     ＝ ＝ ， 解得 2a+b=1， ∴  1 2 1 2 4 42 2 2 4 2 8b a b aaba b a b a b a b           ，当且仅当 a= 1 4 ，b= 1 2 ，取等号， 故 的最小值为 8. 答案：8 12.如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2cm，高为 5cm，一质点自 A 点出发，沿 着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1 点的最短路线的长为______cm. 解析：将正三棱柱 ABC-A1B1C1 沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示， 在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离 的最小值. 由已知求得矩形的长等于 6×2=12，宽等于 5，由勾股定理 2212 5 13d    . 答案：13 二、选择题(共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分) 13.“x＜2”是“x2＜4”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 解析：由 x2＜4，解得：-2＜x＜2， 故 x＜2 是 x2＜4 的必要不充分条件. 答案：B. 14.若无穷等差数列{an}的首项 a1＜0，公差 d＞0，{an}的前 n 项和为 Sn，则以下结论中一 定正确的是( ) A.Sn 单调递增 B.Sn 单调递减 C.Sn 有最小值 D.Sn 有最大值 解析：   2 11 1 2 2 2n nn ddS na d n a n       ， ∵ 2 d ＞0，∴Sn 有最小值. 答案：C. 15.给出下列命题： (1)存在实数α使 3sin cos 2 ＝ . (2)直线 2x ＝ 是函数 y=sinx 图象的一条对称轴. (3)y=cos(cosx)(x∈R)的值域是[cos1，1]. (4)若α，β都是第一象限角，且α＞β，则 tanα＞tanβ. 其中正确命题的题号为( ) A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 解析：(1)∵ 3sin cos 2 s ( 4)in 2   ＝ ＜ ，∴(1)错误； (2)∵y=sinx 图象的对称轴方程为 2 ()x k k Z ＝ ，k=-1， 2x ＝ ，∴(2)正确； (3)根据余弦函数的性质可得 y=cos(cosx)的最大值为 ymax=cos0=1，ymin=cos(cos1)，其值 域是[cos1，1]，(3)正确； (4)不妨令 9 4＝ ， 3 ＝ ，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但 tanα＜tan β，(4)错误. 答案：B. 16.如果对一切实数 x、y，不等式 2 9cos sin4 y x a x y   恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A.(-∞， 4 3 ] B.[3，+∞) C.[ 2 2 2]2 ， D.[-3，3] 解析： 实数 x、y，不等式 恒成立  29 sin 1 sin4 y a x xy    恒成立， 令 9() 4 yfy y， 则 asinx+1-sin2x≤f(y)min， 当 y＞0 时， 99( ) 2 344 yyfy yy     (当且仅当 y=6 时取“=”)，f(y)min=3； 当 y＜0 时， 99( ) 2 ( ) ( ) 344 yyfy yy         (当且仅当 y=-6 时取“=”)， f(y)max=-3，f(y)min 不存在； 综上所述，f(y)min=3. 所以，asinx+1-sin2x≤3，即 asinx-sin2x≤2 恒成立. ①若 sinx＞0， 2sin sinaxx恒成立，令 sinx=t，则 0＜t≤1，再令 2()g t t t (0＜t ≤1)，则 a≤g(t)min. 由于 2 2( ) 1 0gt t   ＜ ， 所以， 在区间(0，1]上单调递减， 因此，g(t)min=g(1)=3， 所以 a≤3； ②若 sinx＜0，则 2sin sinaxx恒成立，同理可得 a≥-3； ③若 sinx=0，0≤2 恒成立，故 a∈R； 综合①②③，-3≤a≤3. 答案：D. 三、解答题(共 5 小题，满分 76 分) 17.如图，已知 AB⊥平面 BCD，BC⊥CD，AD 与平面 BCD 所成的角为 30°，且 AB=BC=2； (1)求三棱锥 A-BCD 的体积； (2)设 M 为 BD 的中点，求异面直线 AD 与 CM 所成角的大小(结果用反三角函数值表示). 解析：(1)由 AB⊥平面 BCD，得 CD⊥平面 ABC，由此能求出三棱锥 A-BCD 的体积. (2)以 C 为原点，CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，过 C 作平面 BCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐 标系，由此能求出异面直线 AD 与 CM 所成角的大小. 答案：(1)如图，因为 AB⊥平面 BCD， 所以 AB⊥CD，又 BC⊥CD，所以 CD⊥平面 ABC， 因为 AB⊥平面 BCD，AD 与平面 BCD 所成的角为 30°，故∠ADB=30°， 由 AB=BC=2，得 AD=4， 22AC  ， ∴ 16 4 2 3BD    ，  2 22 3 2 2 2CD    ， 则 1 1 1 4 22 2 2 23 6 6 3A BCD BCDV S AB BC CD AB             . (2)以 C 为原点，CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，过 C 作平面 BCD 的垂线为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 则 A(0，2，2)，D( 22，0，0)，C(0，0，0)，B(0，2，0)，M( 2 ，1，0)， (2 2 2 2)AD   ， ， ， ( 210)CM  ，， ， 设异面直线 AD 与 CM 所成角为θ， 则 23cos 643 AD CM AD CM       . 3arccos 6  . ∴异面直线 AD 与 CM 所成角的大小为 3arccos 6 . 18.在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 28sin 2cos 2 72 BC A  ＝ . (I)求角 A 的大小； (II)若 a= 3 ，b+c=3，求 b 和 c 的值. 解析：(I)在△ABC 中有 B+C=π-A，由条件可得：4[1-cos(B+C)]-4cos2A+2=7，解方程求得 cosA 的值，即可得到 A 的值. (II)由余弦定理 2 2 2 1cos 22 b c aA bc ＝ ＝ 及 a= ，b+c=3，解方程组求得 b 和 c 的值. 答案：(I)在△ABC 中有 B+C=π-A，由条件可得：4[1-cos(B+C)]-4cos2A+2=7， 又∵cos(B+C)=-cosA，∴4cos2A-4cosA+1=0. 解得 cosA＝ 1 2 ，又 A∈(0，π)，∴ 3A ＝ . (II)由 cosA＝ 知 2 2 2 1 22 b c a bc ＝ ，即(b+c)2-a2＝3bc. 又 a＝ ，b+c＝3，代入得 bc＝2. 由 31 2 2 b c b bc c     ＝ ＝ ＝ ＝ 或 2 1 b c    ＝ ＝ . 19.某地要建造一个边长为 2(单位：km)的正方形市民休闲公园 OABC，将其中的区域 ODC 开 挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点 D 的坐标为(1，2)，曲线 OD 是函数 y=ax2 图象的一部分，对边 OA 上一点 M 在区域 OABD 内作一次函数 y=kx+b(k＞0)的图象，与线段 DB 交于点 N(点 N 不与点 D 重合)，且线段 MN 与曲线 OD 有且只有一个公共点 P，四边形 MABN 为绿化风景区： (1)求证： 2 8 kb  ； (2)设点 P 的横坐标为 t，①用 t 表示 M、N 两点坐标；②将四边形 MABN 的面积 S 表示成关 于 t 的函数 S=S(t)，并求 S 的最大值. 解析：(1)根据函数 y=ax2 过点 D，求出解析式 y=2x2； 由 22 y kx b yx   ＝ ＝ 消去 y，利用△=0 证明结论成立； (2)①写出点 P 的坐标(t，2t2)，代入直线 MN 的方程，用 t 表示出直线方程， 利用直线方程求出 M、N 的坐标； ②将四边形 MABN 的面积 S 表示成关于 t 的函数 S(t)， 利用基本不等式即可求出 S 的最大值. 答案：(1)证明：函数 y=ax2 过点 D(1，2)， 代入计算得 a=2， ∴y=2x2； 由 ，消去 y 得 2x2-kx-b=0， 由线段 MN 与曲线 OD 有且只有一个公共点 P， 得△=(-k)2-4×2×b=0， 解得 ； (2)解：设点 P 的横坐标为 t，则 0＜t＜1， ∴点 P(t，2t2)； ①直线 MN 的方程为 y=kx+b， 即 2 8 ky kx过点 P， ∴ 2 228 kkt t， 解得 k=4t； y=4tx-2t2 令 y=0，解得 x= 2 t ，∴M( 2 t ，0)； 令 y=2，解得 1 22 tx t ，∴N( 1 22 t t ，2)； ②将四边形 MABN 的面积 S 表示成关于 t 的函数为 [1 1 12 2 2 ( ) 4 ( )22]2 2 2 ttS S t ttt          （ ） ，其中 0＜t＜1； 由 112222tttt     ，当且仅当 1 2t t ，即 2 2t  时“=”成立， 所以 4 2 2S  ；即 S 的最大值是 4 2 2 . 20.已知函数 ( ) 9 2 3 3xxf x a    ： (1)若 a=1，x∈[0，1]时，求 f(x)的值域； (2)当 x∈[-1，1]时，求 f(x)的最小值 h(a)； (3)是否存在实数 m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当 h(a)的定义域为[m，n]时， 其值域为[m2，n2]，若存在，求出 m、n 的值，若不存在，请说明理由. 解析：(1)设 t=3x，则φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2，φ(t)的对称轴为 t=a，当 a=1 时，即 可求出 f(x)的值域； (2)由函数φ(t)的对称轴为 t=a，分类讨论当 a＜ 1 3 时，当 1 3 ≤a≤3 时，当 a＞3 时，求出 最小值，则 h(a)的表达式可求； (3)假设满足题意的 m，n 存在，函数 h(a)在(3，+∞)上是减函数，求出 h(a)的定义域，值 域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论. 答案：(1)∵函数 ， 设 t=3x，t∈[1，3]， 则φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2，对称轴为 t=a. 当 a=1 时，φ(t)=(t-1)2+2 在[1，3]递增， ∴φ(t)∈[φ(1)，φ(3)]， ∴函数 f(x)的值域是：[2，6]； (Ⅱ)∵函数φ(t)的对称轴为 t=a， 当 x∈[-1，1]时，t∈[ ，3]， 当 a＜ 时， min 1 28 2()3 9 3 ay h a    （ ） ； 当 ≤a≤3 时，ymin=h(a)=φ(a)=3-a2； 当 a＞3 时，ymin=h(a)=φ(3)=12-6a. 故 2 28 2 1 9 3 3 1( ) 3 33 12 6 3 a a h a a a aa             ， ＜ ， ， ＞ ； (Ⅲ)假设满足题意的 m，n 存在，∵n＞m＞3，∴h(a)=12-6a， ∴函数 h(a)在(3，+∞)上是减函数. 又∵h(a)的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]， 则 2 2 12 6 12 6 mn nm     ＝ ＝ ， 两式相减得 6(n-m)=(n-m)·(m+n)， 又∵n＞m＞3，∴m-n≠0，∴m+n=6，与 n＞m＞3 矛盾. ∴满足题意的 m，n 不存在. 21.已知无穷数列{an}的各项都是正数，其前 n 项和为 Sn，且满足：a1=a，rSn=anan+1-1，其 中 a≠1，常数 r∈N； (1)求证：an+2-an 是一个定值； (2)若数列{an}是一个周期数列(存在正整数 T，使得对任意 n∈N*，都有 an+T=an 成立，则称 {an}为周期数列，T 为它的一个周期，求该数列的最小周期； (3)若数列{an}是各项均为有理数的等差数列，cn=2·3n-1(n∈N*)，问：数列{cn}中的所有 项是否都是数列{an}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例. 解析：(1)由 rSn=anan+1-1，利用迭代法得：ran+1=an+1(an+2-an)，由此能够证明 an+2-an 为定值. (2)当 n=1 时，ra=aa2-1，故 2 1 raa a  ，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再 由 r＞0 和 r=0 两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期. (3)因为数列{an}是一个有理等差数列，所以 12a a r r a     ，化简 2a2-ar-2=0，解 得 a 是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出 Sn. 答案：(1)证明：∵rSn=anan+1-1，① ∴rSn+1=an+1an+2-1，② ②-①，得：ran+1=an+1(an+2-an)， ∵an＞0，∴an+2-an=r. (2)解：当 n=1 时，ra=aa2-1，∴ ， 根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+ 1 a ，a+r，2r+ 1 a ，a+2r，3r+ 1 a ，…. 当 r＞0 时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列， ∴r=0 时，数列写出数列的前几项：a， 1 a ，a， 1 a ，…. 所以当 a＞0 且 a≠1 时，该数列的周期是 2， (3)解：因为数列{an}是一个有理等差数列，a+a+r=2(r+ 1 a )， 化简 2a2-ar-2=0， 2 16 4 rra  是有理数. 设 2 16r  =k，是一个完全平方数， 则 r2+16=k2，r，k 均是非负整数 r=0 时，a=1，an=1，Sn=n. r≠0 时(k-r)(k+r)=16=2×8=4×4 可以分解成 8 组， 其中只有 3 5 r k    ＝ ＝ ，符合要求， 此时 a=2， 31 2n na  ，  35 4n nnS  ， ∵ 123n nc  (n∈N*)，an=1 时，不符合，舍去. 时，若 1 3123 2 n k  ，则：3k=4×3n-1-1，n=2 时， 11 3k  ，不是整数， 因此数列{cn}中的所有项不都是数列{an}中的项.