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- 2024-04-16 发布
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2017-2018学年度高二上学期文科数学期末考试
命题人：彭志敏
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，则（ ）
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数
3. 函数的部分图象如图所示，则的值分别是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）
A. B.
C. D.
5. 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）
A． 7 B． 9 C． 10 D． 11
6. 若x,y满足约束条件则的最大值为（ ）
A． 10 B． 8 C． 7 D． 6
7. 已知sin cos ), 则sin 等于( )
A. -1 B. C. D. 1
8. 若从2个海滨城市和2个内陆城市中随机选2个去旅游，至少选一个海滨城市的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知双曲线E：的渐近线与圆：相切，则双曲线E的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D. 2
10.已知数列满足，，则的前10项和等于（ ）
A． B． C. D．
11. 已知四面体的外接球球心O恰好在棱AD上，且，，DC=，则这个四面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
12.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 平面向量a与b的夹角为，| a | =2，|b|=1 ，则|a+2b|= ；
14. 若“∀x∈，tan x≤m”是假命题，则实数m的取值范围是________．
15. 函数在其极值点处的切线方程为____________.
16．抛物线：的焦点为是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积为，则 ；
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．的内角所对的边分别为，且满足.
(I)求；
(II)若, 求的面积.
18．已知等差数列中，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，数列的前n项和为，求.
19．如图1，在直角梯形中，，是的中点，是AC与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.
(I)证明：平面；
(II)当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.
20. 某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
保费
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
频数
60
50
30
30
20
10
（Ⅰ）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求的估计值；
（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.
求的估计值；
（III）求续保人本年度的平均保费估计值.
21．如图，椭圆经过点，且离心率为.
(I)求椭圆的方程；
(II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），
问：直线与的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由。
22.已知，函数
（1）讨论的单调区间和极值；
（2）将函数的图象向下平移1个单位后得到的图象，且为自然对数的底数）和是函数的两个不同的零点，求的值并证明：。
2017-2018学年度高二上学期文科数学期末考试参考答案
CBADB, CACBC, BA； ；m<1；；8；
17解：(I)因为
由正弦定理，得，又，从而，
由于, 所以 ……6分；
(II)解法一：由余弦定理，得，而，，
得，即, 因为，所以，
故面积为. ……12分；
解法二：由正弦定理，得, 从而
又由知，所以
故，
所以面积为. ……12分；
18解：（Ⅰ）是等差数列
由已知得 ， ， ……6分；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
……12分；
19解：（1）在图1中，∵，E为AD中点，∠BAD=，
∴BE⊥AC，即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，A1O∩OC=0
∴BE⊥平面A1OC
又CD∥BE，∴CD⊥平面A1OC ……6分；
(II)由已知，平面平面，且平面平面
又由(I)知，，所以平面，即是四棱锥的高，
由图1可知，，平行四边形面积，
从而四棱锥的为，
由，得. ……12分；
20解：（Ⅰ）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为， 故P(A)的估计值为0.55. ……3分；
（Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为，故P(B)的估计值为0.3. ……7分；
(Ⅲ)由题所求分布列为：
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查200名续保人的平均保费为
，
因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a. ……12分；
21解：(I)由题意知，综合，解得，
所以，椭圆的方程为. ……4分；
(II)由题设知，直线的方程为，代入，得
，
由已知，设，
则，
从而直线与的斜率之和
.
∴斜率之和为定值2. ……12分；
22.解：（1）函数f(x)的定义域为（0，＋∞）.求导得f ′(x)＝m－＝.
①若m≤0，则f ′(x)<0，f(x)是（0，＋∞）上的减函数，无极值； ……………2分
②若m＞0，令f ′(x)＝0，得x＝. …………………3分
当x∈（0，）时，f ′(x)<0，f(x)是减函数；
当x∈（，＋∞）时，f ′(x)>0，f(x)是增函数. …………………5分
所以当x＝ 时，f(x)有极小值，极小值为f()＝2—ln＝2+lnm.
综上所述，当m≤0时，f(x)的递减区间为（0，＋∞），无极值；当m＞0时，f(x)的递增区间为（，＋∞），递减区间为（0，），极小值为2+lnm…………………6分[来源:Zxxk.Com]
（2）因为,且x1＝是函数g(x)的零点，
所以g()＝0，即m—＝0，解得m＝. ……………8分
所以g(x)＝－lnx. 因为g(e)＝－<0，g(e)＝－>0，
所以g(e)g(e)＜0.
由（1）知，函数g(x)在（2，＋∞）上单调递增，…………………10分
所以函数g (x)在区间（e，e）上有唯一零点，
因此x2＞e，即x2＞ …………………12分
