【推荐】专题06 圆锥曲线与方程（导学案）-2017-2018学年上学期期末复习备考高二数学（理）黄金讲练x 13页

一、学习目标： 1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. 3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. 4.了解圆锥曲线的简单应用. 5.理解数形结合的思想. 二、知识梳理 1、平面内与两个定点 1F ， 2F 的距离之和等于常数（大于 1 2F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即： |)|2(,2|||| 2121 FFaaMFMF  。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程   2 2 2 2 1 0x y a ba b       2 2 2 2 1 0y x a ba b     范围 a x a   且 b y b   b x b   且 a y a   顶点  1 ,0a  、  2 ,0a  1 0, b  、  2 0,b  1 0, a  、  2 0,a  1 ,0b  、  2 ,0b 轴长 短轴的长 2b 长轴的长 2a 焦点  1 ,0F c 、  2 ,0F c  1 0,F c 、  2 0,F c 焦距  2 2 2 1 2 2F F c c a b   对称性 关于 x 轴、 y 轴、原点对称 离心率   2 21 0 1c be ea a      3、平面内与两个定点 1F ， 2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于 1 2F F ）的点的轨迹称为双曲线．即： |)|2(,2|||||| 2121 FFaaMFMF  。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 4、双曲线的几何性质： 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b       2 2 2 2 1 0, 0y x a ba b     范围 x a  或 x a ， y R y a  或 y a ， x R 顶点  1 ,0a  、  2 ,0a  1 0, a  、  2 0,a 轴长 虚轴的长 2b 实轴的长 2a 焦点  1 ,0F c 、  2 ,0F c  1 0,F c 、  2 0,F c 焦距  2 2 2 1 2 2F F c c a b   对称性 关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称 离心率   2 21 1c be ea a     渐近线方程 by xa   ay xb   5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 6、平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点 F 称为抛物线的焦点， 定直线 l 称为抛物线的准线． 7、抛物线的几何性质： 标准方程 2 2y p x  0p  2 2y px   0p  2 2x p y  0p  2 2x py   0p  图形 顶点  0,0 对称轴 x 轴 y 轴 焦点 , 02 pF      , 02 pF     0 , 2 pF      0, 2 pF     准线方程 2 px   2 px  2 py   2 py  离心率 1e  范围 0x  0x  0y  0y  8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于  、  两点的线段  ，称为抛物线的“通径”，即 2p  ． 三、典型例题 例 1.已知动点 M 的坐标满足方程 5 x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点 M 的轨迹是( ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 【分析】利用动点满足的几何条件符合抛物线定义 【方法规律】求点的轨迹方程，应结合圆锥曲线的定义。 变式练习 1 巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 3 2 ，且G 上一点到G 的两个焦点的 距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为 ． 【答案】 1936 22  yx 【解析】 2 3e ， 122 a ， 6a ， 3b ，则所求椭圆方程为 1936 22  yx . 例 2.F1，F2 是椭圆 C1：x2 4 ＋y2＝1 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的公共点．若 四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.3 2 D. 6 2 【分析】由椭圆可求出|AF1|＋|AF2|，由矩形求出|AF1|2＋|AF2|2，再求出|AF2|－|AF1|即可求出双曲线方程 中的 a，进而求得双曲线的离心率． 【方法规律】求圆锥曲线的离心率，就是从条件中寻找 a,b,c 之间的关系，再结合 222 cba  ，求 e＝c a 。 变式练习 2.平面直角坐标系 xoy 中， 1 2 1 2, , ,A A B B 为椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的四个顶点，F 为其右焦点，直线 1 2A B 与直线 1B F 相交于点 T，线段OT 与椭圆的 交点 M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率为 . 【答案】 2 7 5e   【解析】考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程 直线 1 2A B 的方程为： 1x y a b   ； 直线 1B F 的方程为： 1x y c b   。二者联立解得： 2 ( )( , )ac b a cT a c a c    ，w.w.w..c.o.m 则 ( )( , )2( ) ac b a cM a c a c    在椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     上， 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1, 10 3 0, 10 3 0( ) 4( ) c a c c ac a e ea c a c          ，w.w.w..c.o.m 解得： 2 7 5e   例 3.已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)经过点(0， 3)，离心率为1 2 ，左、右焦点分别为 F1(－c，0)，F2(c，0)． (1)求椭圆的方程； (2)若直线 l：y＝－1 2 x＋m 与椭圆交于 A，B 两点，与以 F1F2 为直径的圆交于 C，D 两点，且满足|AB| |CD| ＝5 3 4 ， 求直线 l 的方程. 【分析】(1)利用定义解题．(2)利用勾股定理和弦长公式来解． 由|AB| |CD| ＝5 3 4 ，得 4－m2 5－4m2＝1，解得 m＝± 3 3 ，满足(*)． ∴直线 l 的方程为 y＝－1 2 x＋ 3 3 或 y＝－1 2 x－ 3 3 . 变式练习 3:已知椭圆 E：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)，其焦点为 F1，F2，离心率为 2 2 ，直线 l：x＋2y－2＝0 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B. (1)若点 A 是椭圆 E 的一个顶点，求椭圆的方程； (2)若线段 AB 上存在点 P 满足|PF1|＋|PF2|＝2a，求 a 的取值范围． 【方法规律】直线与圆锥曲线的位置关系主要有： (1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合； (2)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系； (3)有关垂直问题，应注意运用斜率关系及根与系数的关系，尽量设而不求，简化运算． 例 4.已知椭圆 C 经过点 A 1，3 2 ，两个焦点为(－1，0)，(1，0)． (1)求椭圆 C 的方程； (2)E，F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值， 并求出这个定值． 【方法规律】求曲线方程的常用方法有： (1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求 x，y 之间的关系式． (2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地 说，就是用所求动点的坐标 x，y 来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得 所求动点坐标 x，y 之间的关系式． (3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知 曲线的方程写出动点的轨迹方程． 变式练习 4.以知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的两个焦点分别为 1 2( ,0) ( ,0)( 0)F c F c c 和 ，过点 2 ( ,0)aE c 的直线与椭圆相交与 ,A B 两点，且 1 2 1 2/ / , 2F A F B F A F B （1）求椭圆的离心率； （2）求直线 AB 的斜率； （3）设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 2F B 上有一点 ( , )( 0)H m n m  在  1AFC 的外接圆上，求 n m 的 值 将 1 2,x x 代入②中，解得 2 3k   . (3)解：由（2）可知 1 2 30, 2 cx x  当 2 3k   时，得 (0, 2 )A c ，由已知得 (0, 2 )C c .线段 1AF 的垂直平分线 l 的方程为 2 2 2 2 2 cy c x       直线 l 与 x 轴的交点 ,02 c     是 1AFC 外接圆的圆心，因此外接圆的方程为 2 2 2x 2 2 c cy c             . 直线 2F B 的方程为 2( )y x c  ，于是点 H（m，n）的坐标满足方程组 2 2 2 9 2 4 2( ) c cm n n m c          ， 由 0,m  解得 5 3 2 2 3 m c n c     故 2 2 5 n m  当 2 3k  时，同理可得 2 2 5 n m   . 三、课堂练习 1.设 P 是椭圆x2 25 ＋y2 16 ＝1 上的点．若 F1，F2 是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( ) A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【解析】由题可知 a＝5，P 为椭圆上一点，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.故选 D。 2.在抛物线 pxy 22  上,横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5,则 p 的值为( ) A.2 B.1 C. 1 2 D.4 【答案】A 【解析】抛物线的标准方程为 2 px  ,由抛物线的定义知 524  p ,解得 2p 。故选 A. 3.若直线 01  yax 经过抛物线 xy 42  的焦点,则实数 a =__________． 【答案】-1 【解析】直线 01  yax 经过抛物线 xy 42  的焦点 )0,1(F ,则 1,01  aa 4.过抛物线 xy 42  的焦点引一直线,已知直线被抛物线截得的弦被焦点分成 2:1,求这条直线的方程.． 【答案】见解析 四、课后练习 1.双曲线 3mx2－my2＝3 的一个焦点是(0,2)，则 m 的值是( ) A ．－1 B．1 C．－ 10 20 D. 10 2 【答案】A 【解析】把方程化为标准形式－ x2 －1 m ＋ y2 －3 m ＝1， ∴a2＝－3 m ，b2＝－1 m .∴c2＝－3 m －1 m ＝4，解得 m＝－1.故选 A。 2.已知双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是 y＝ 3x，它的一个焦点在抛物线 y2＝24x 的准线上， 则双曲线的方程为( ) A.x2 36 － y2 108 ＝1 B.x2 9 －y2 27 ＝1 C. x2 108 －y2 36 ＝1 D.x2 27 －y2 9 ＝1 【答案】B 3.过抛物线 xy 42  的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3,则 || AB 等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】D 【解析】易知线段 AB 的中点到准线的距离为 4,设 A,B 两点到准线的距离分别为 21,dd 由抛物线的定义知 842|||||| 21  ddBFAFAB 。故选 D。 4.一个动圆的圆心在抛物线 2 8y x 上,且动圆恒与直线 2 0x   相切,则动圆必过定点( ) A. (0 2)， B. (0 2)， C. (2 0)， D. (4 0)， 【答案】C 【解析】 由抛物线 xy 82  的准线方程为 2x ,由题可知动圆的圆心在 xy 82  上,且恒与抛物线的准线 相切,由定义可知,动圆恒过抛物线的焦点 )0,2( 。故选 C。 5.若双曲线x2 4 －y2 b2＝1(b>0)的渐近线方程为 y＝±1 2 x，则 b 等于________． 【答案】1 【解析】由题意知b 2 ＝1 2 ，解得 b＝1. 6.设 F1 和 F2 是双曲线x2 4 －y2＝1 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2 的面积为 ________． 【答案】1 【解析】由题设知 ||PF1|－|PF2||＝4， ① |PF1|2＋|PF2|2＝20， ② ) ②－①2 得|PF1|·|PF2|＝2.∴△F1PF2 的面积 S＝1 2 |PF1|·|PF2|＝1. 7.求与椭圆 4x2＋9y2＝36 有相同的焦距，且离心率为 5 5 的椭圆的标准方程． 【答案】x2 25 ＋y2 20 ＝1，或y2 25 ＋x2 20 ＝1. 8.如图,直线 l 与抛物线 xy 2 交于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 两点,与 x 轴相交于点 M ,且 121 yy . x y O A B M (1)求证: M 点的坐标为 )0,1( ; (2)求证: OBOA  ; (3)求 AOB 的面积的最小值. 【答案】(3) 1 【解析】解:(1) 设 M 点的坐标为 )0,( 0x , 直线 l 方程为 0xmyx  , 代入 xy 2 得 00 2  xmyy ① 21, yy 是此方程的两根, ∴ 1210  yyx ,即 M 点的坐标为(1, 0).