湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学（理）试题 Word版含解析 24页

www.ks5u.com 湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试 数学（理科）试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出集合和，再求并集即可.‎ ‎【详解】解不等式得，即；‎ 由得，即；‎ 所以.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查集合并集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型.‎ ‎2.设，是的共轭复数，则（ ）‎ A. -1 B. C. 1 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，求得的值，可得，从而求得的值．‎ ‎【详解】，则，‎ 故，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i - 24 -‎ 的幂运算性质，属于基础题．‎ ‎3.“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.‎ 根据该走势图，下列结论正确的是（ ）‎ A. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化 B. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱 C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差 D. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 选项A错，并无周期变化，选项B错，并不是不断减弱，中间有增强。C选项错，10月的波动大小11月分，所以方差要大。D选项对，由图可知，12月起到1月份有下降的趋势，所以会比1月份。选D.‎ ‎4.将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将图象上所有的点向左平行移动个单位长度得，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍得，再利用诱导公式得出结果.‎ ‎【详解】先将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度得 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得 ‎ 故选A ‎【点睛】本题考查了正弦函数的图像变化和诱导公式，正确的掌握图像的平移变化和伸缩变化是解题的关键.‎ ‎5.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 执行程序框图，从执行的结果中，找到判断框内的取值范围.‎ ‎【详解】执行程序框图结果如下：‎ - 24 -‎ S ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎42‎ ‎56‎ k ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 输出的结果为7，则的取值范围是，故本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查了读框图的能力，通过执行框图的过程，找到输出结果为7时，应满足怎样的条件，是解题的关键.‎ ‎6.已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过三视图可知：该几何体是一个三棱锥和圆锥组成的几何体，利用几何体的体积求出的值.‎ ‎【详解】通过三视图可知：该几何体是一个三棱锥和圆锥组成的几何体，设组合体的体积为, 所以，故本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查了通过三视图识别组合体的形状，并根据体积求参数问题，考查了数学运算能力.‎ ‎7.已知抛物线，定点，，点是抛物线 - 24 -‎ 上不同于顶点的动点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像分析得到当直线与抛物线相切时，最大，联立直线和抛物线，使得得到参数,进而得到结果.‎ ‎【详解】作出抛物线，如图所示.‎ ‎ ‎ 由图可知，当直线与抛物线相切时，最大.‎ 设直线的方程为，联立 得.令，得，‎ 此时，所以.‎ ‎【点睛】在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况.‎ ‎8.如图在圆中，，是圆互相垂直的两条直径，现分别以，，，为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）‎ - 24 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设出圆的半径，然后算出阴影部分的面积，再计算出圆的面积，最后利用几何概型公式求出概率.‎ ‎【详解】设圆的半径为2，阴影部分为8个全等的弓形组成，设每个小弓形的面积为,则，圆的面积为，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是，则,故本题选D.‎ ‎【点睛】本题考查了几何概型，正确计算出阴影部分的面积是解题的关键，考查了数学运算能力.‎ ‎9.设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论错误的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 与均为的最大值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：利用等比数列的通项公式，解出的通项公式，化简整理，这三个表达式，得出结论。‎ 详解：设等比数列，是其前项的积所以，由此 - 24 -‎ ‎，，‎ 所以，所以B正确，‎ 由，各项为正数的等比数列，可知，所以A正确 可知，由，所以单调递减，在时取最小值，所以在时取最大值，所以D正确。‎ 故选C 点睛：本题应用了函数的思想，将等比数列当作指数型函数对其单调性进行研究，为复合函数，对于复合函数的单调性“同增异减”。‎ ‎10.已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ）‎ A. -1 B. 1 C. 0 D. 无法计算 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为是定义在上的奇函数，所以有，结合已知的等式，可以得到，由是定义在上的偶函数，可得，可得，最后求出的值.‎ ‎【详解】因为是定义在上的奇函数，所以有，‎ ‎，因为是定义在上的偶函数，所以，所以，因此 ‎=0，故本题选C.‎ ‎【点睛】本题考查了抽象函数的性质，结合奇偶函数的性质，根据所给的式子进行变换是解题的关键.‎ - 24 -‎ ‎11.已知正方体的棱长为1，在对角线上取点，在上取点，使得线段平行于对角面，则的最小值为（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 作，垂足为，作，垂足为，根据面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、线面平行的性质定理可以得出，设，由此可以求出的最小值.‎ ‎【详解】作，垂足为，作，垂足为，如下图所示：‎ 在正方体中，根据面面垂直的性质定理，可得,都垂直于平面，由线面垂直的性质，可知，易知：，由面面平行的性质定理可知：，设，‎ 在直角梯形中，‎ ‎，当时，的最小值为，‎ 故本题选D.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查了线段长的最小值的求法，应用正方体的几何性质、运用面面垂直的性质定理、线面垂直的性质、线面平行的性质定理，是解题的关键.‎ ‎12.已知函数（为大于1的整数），若与的值域相同，则的最小值是（ ）（参考数据：，，）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，判断的单调性，进而求出的值域，判断最大值的正负性，令，显然知道的取值范围，，利用的单调性，结合已知与的值域相同，可以得到，构造函数，，求导，判断单调性，再判断的正负性，结合单调性，最后求出的最小值.‎ ‎【详解】，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，‎ 故，又当，所以函数的值域为，令 因此是单调递增函数，因此当时，‎ ‎，令由上可知：，‎ ‎，由上可知函数在时，单调递增，在时，单调递减，要想的值域为，只需，即，设，，，所以当时，函数单调递增，，‎ ‎，所以的最小值是5，故本题选A.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查了两函数值域相同时，求参问题，求出每个函数的单调性，结合一个函数的值域情况，确定参数的取值范围是解题的关键.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.‎ ‎13.设，满足约束条件，则的最小值为______.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式组表示的平面区域，结合图形求得最优解，再计算目标函数的最小值．‎ ‎【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，‎ 由图形知，当目标函数z＝2x+3y过点A时，z取得最小值；‎ 由，求得A（1，2）；‎ ‎∴z＝2x+3y的最小值是2×1+3×2＝8．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，解题时常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域，②求出可行域各个角点的坐标，③将坐标逐一代入目标函数，④验证求出最优解．‎ - 24 -‎ ‎14.现将6张连号的门票分给甲、乙等六人，每人1张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有______种不同的分法（用数字作答）.‎ ‎【答案】240‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出甲、乙连号的情况，然后再将剩余的4张票分给其余4个人即可．‎ ‎【详解】甲、乙分得的门票连号，共有种情况，其余四人没人分得1张门票，共有种情况，‎ 所以共有种．‎ 故答案为：240．‎ ‎【点睛】本题考查两个原理的应用和排列数的计算，考查应用所学知识解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎15.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作圆的切线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点为，连接，过作，垂足为,由三角形中位线定理和圆切线的性质，结合双曲线的定义，可以得到的关系，再结合，最后求出双曲线的离心率.‎ ‎【详解】设切点为，连接，过作，垂足为，如下图：‎ - 24 -‎ 由圆的切线性质可知：,，由三角形中位线定理可知：，，在中，，在中，，所以，，由双曲线定义可知：，‎ 即，所以，而，所以，因此，即双曲线的离心率为.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的离心率，运用双曲线的定义、平面几何的相关知识是解题的关键.‎ ‎16.已知，是两个非零向量，且，，则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】设的起点为坐标原点，因为，所以设的终点坐标为，即，设，因为，所以，，，‎ 而，所以有，‎ - 24 -‎ ‎，当且仅当时，取等号，即时，取等号，即的最大值为，‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量模的公式，考查了两个向量模的和的最大值问题，利用向量的坐标表示、重要的基本不等式是解题的关键.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17.已知在中，，，分别为角，，的对应边，点为边的中点，的面积为.‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若，，求.‎ ‎【答案】（I）；（II）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（I）由为的中点可知：的面积为，‎ 由三角形的面积公式可知，‎ 由正弦定理可得，最后求出的值；‎ ‎ （II）已知，所以在中，由正弦定理可得，‎ 所以，由（1）可知，‎ 所以，，这样可以求出的大小，‎ 在直角中，利用，，可以求出，.‎ ‎，， 在中用余弦定理，可求出的值.‎ - 24 -‎ ‎【详解】（I）由的面积为且为的中点可知：的面积为，‎ 由三角形的面积公式可知，‎ 由正弦定理可得，所以.‎ ‎（II）因为，所以在中，由正弦定理可得，‎ 所以，由（1）可知，‎ 所以，，∵，∴，‎ 在直角中，，所以，.‎ ‎∵，， ‎ 在中用余弦定理，可得 ‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用、三角形面积公式的应用，考查了数学运算能力.‎ ‎18.设矩形中，，，点、分别是、的中点，如图1.现沿将折起，使点至点的位置，且，如图2.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ ‎(1)结合图形的特点以及垂直关系得到，再由勾股定理证得，进而得到线面垂直；（2）建立空间坐标系得到两个面的法向量，利用向量夹角公式得到结果.‎ ‎【详解】（1）证明：由题设知：又，；，面 ‎ 面，面，，在矩形中，，，、为中点，，‎ ‎，，又，面 ， 面 ‎（2）‎ ‎ ‎ 面，由（1）知面面，且 以为原点，为轴，为轴建立如图的空间直角坐标系 在中，过作于 ‎，，，，‎ ‎（也可用）‎ ‎、、、‎ 面的一个法向量为 设面的一个法向量为 ‎、‎ - 24 -‎ 由即令，‎ 则，，，‎ ‎, ‎ 二面角为 ‎【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角。在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直，或者可以通过建系的方法求两个面的法向量使得两个面的法向量互相垂直即可.求面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做。‎ ‎19.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为相圆上一点，与轴交于，，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过右焦点的直线交椭圆于、两点若的中点为，为原点，直线交直线于点.求的最大值.‎ ‎【答案】（I）；（II）‎ - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题意得，通过平面几何的知识，可以得到，根据，离心率为，结合，这样可以求出，，进而求出椭圆的标准方程；‎ ‎（II）直线与椭圆方程联立，可以得到一个一元二次方程，设、，利用根与系数关系可以求出的坐标，以及的长度，求出直线的方程，求出的坐标，求出的长度表达式，求出 平方的表达式，用换元法、配方法，最后求出的最大值.‎ ‎【详解】（I）连接，由题意得，所以为的中位线，‎ 又因为，所以，且 ‎ 又，，得，，‎ 故所求椭圆方程为.‎ ‎（II）联立，可得.‎ 设、，则，，‎ 所以为 所以的中点坐标为， ‎ 因此直线的方程为，从而点为，，‎ - 24 -‎ 设，令，则 ‎，‎ 因此当，即时取得最大值.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系，以及椭圆弦长公式，考查了数学运算能力.‎ ‎20.10月1日，某品牌的两款最新手机（记为型号，型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到下表：‎ 手机店 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 型号手机销量 ‎6‎ ‎6‎ ‎13‎ ‎8‎ ‎11‎ 型号手机销量 ‎12‎ ‎9‎ ‎13‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎（Ⅰ）若在10月1日当天，从，这两个手机店售出的新款手机中各随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有一部为型号手机的概率；‎ ‎（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用表示其中型号手机销量超过型号手机销量的手机店的个数，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（III）经测算，型号手机的销售成本（百元）与销量（部）满足关系.若表中型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的型号手机销售成本的方差的值.（用表示，结论不要求证明）‎ ‎【答案】（I）；（II）见解析；(Ⅲ)‎ ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将从，这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的1部手机记为甲和乙，记事件“甲手机为型号手机”为，记事件“乙手机为型号手机”为，分别求出的值，根据相互独立事件的公式求出，最后利用对立事件概率公式求出抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率；‎ ‎（Ⅱ）由表可知：型号手机销量超过型号手机销量的手机店共有2个，故的所有可能取值为：0，1，2，分别求出的值，写出随机变量的分布列，并根据数学期望计算公式求出；‎ ‎（III）根据方差的性质和变量的关系即可求出方差的值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）将从，这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的1部手机记为甲和乙，‎ 记事件“甲手机为型号手机”为，记事件“乙手机为型号手机”为，‎ 依题意，有，，且事件、相互独立 设“抽取的2部手机中至少有1部为型号手机”为事件，‎ 则 ‎ 即抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率为 ‎ ‎（Ⅱ）由表可知：型号手机销量超过型号手机销量的手机店共有2个，‎ 故的所有可能取值为：0，1，2‎ 且，， ‎ 所以随机变量的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 24 -‎ 故 ‎ ‎（III）.‎ ‎【点睛】本题考查了相互独立事件的概率，离散型随机变量分布列、数学期望的计算，以及方差的性质，考查了数学运算能力.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）比较 与的大小且，并证明你的结论.‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）运用零点法，把函数的解析式进行分段表示，然后利用导数，判断每段函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）由由（Ⅰ）可知当，时，，即，所以.这样，注意到，最后可以得出：‎ ‎.‎ ‎【详解】（Ⅰ）函数可化为，‎ 当时，，从而在上总是递减的，‎ 当时，，此时要考虑与1的大小.‎ 若，则，故在上递增，‎ - 24 -‎ 若，则当时，，当时，，故在上递减，‎ 在上递增，而在处连续，所以 当时，在上递减，在上递增；‎ 当时，在上递减，在上递增.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当，时，，即，所以.所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究分段函数的单调性，利用数列与函数的关系，判断数列的和求代数式之间的大小关系，放缩法是解题的关键.‎ 选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作的第一题计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线和直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线过点与曲线交于不同两点，，的中点为，与的交点为，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）C: ；直线直角坐标方程 （Ⅱ）8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可直接得出结果；‎ ‎（Ⅱ）先写出直线的参数方程，代入曲线的普通方程，得到，再由直线 - 24 -‎ 的参数方程代入，得到，进而可得出结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为：；‎ 即 的直角坐标方程为：‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程（为参数），‎ 将其代入曲线的普通方程并整理得，‎ 设两点的参数分别为，则 ‎ ‎ 因为为的中点，故点的参数为， ‎ 设点的参数分别为，把代入整理得 ‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可；本题也考查了参数的方法求弦长的问题，熟记参数方程即可求解，属于常考题型.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若时，不等式成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用零点法，进行分段，然后求解不等式的解集；‎ - 24 -‎ ‎（Ⅱ）根据，进行分类，当时，原不等式等价于 ‎，即，这样可以求出的取值范围；‎ 当时，原不等式等价于 ‎ 这样可以求出的取值范围，综上所述求出的取值范围.‎ ‎【详解】（I）当时，原不等式即，即.‎ 当时，，解得，∴；‎ 当时，，无解；‎ 当时，，解得，∴；‎ 综上，原不等式的解集为 ‎（II）由得（*）‎ 当时，（*）等价于 ‎ 即，所以恒成立，所以 ‎ 当时，（*）等价于 ‎ 即，所以恒成立，所以 ‎ 综上，的取值范围是 ‎【点睛】本题考查了解绝对值不等式，以及不等式恒成立时，求参数的取值范围问题，进行分类讨论是解题的关键.‎ ‎ ‎ - 24 -‎ ‎ ‎ - 24 -‎