数学理卷·2019届云南省峨山彝族自治县第一中学高二上学期期末考试（2018-01） 12页

峨山一中2017-2018学年上学期期末考试 高二理科数学试卷 ‎ 出卷人：张 梅 审卷人：杨东笑 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。‎ ‎2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。‎ ‎3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式：‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝(　　)‎ A．{1} B．{2} C．{0,1} D．{1,2}‎ ‎2．设向量＝(2,4)与向量＝(x,6)共线，则实数x＝(　　)‎ A．2 B． 3 C．4 D．6‎ 3． 命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)‎ A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0‎ C．∃x0∈R，|x0|＋x<0 D．∃x0∈R，|x0|＋x≥0‎ ‎4．设a＝30.5，b＝0.53，c＝log0.5 3，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．b＜c＜a　　　 B．b＜a＜c ‎ C．c＜b＜a D．c＜a＜b ‎5．“x<0”是“ln(x＋1)<0 ”的 (　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．执行右面的程序框图，若输入的a，b，k分别 为1，2，3，则输出的M＝(　　)‎ A. B. C. D. 第6题图 ‎7．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)‎ A．2 B．2 C. D．1‎ ‎8．设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋3y的最小值为(　　)‎ A．7　　　　B．8 C．22 D．23‎ 9． 某四棱锥的三视图如右图所示，该四棱锥最长棱 的棱长为(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ 10． 已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0‎ 第9题图 所得弦的长度为4，则实数a的值是( )‎ A．－2 B．－4 ‎ C．－6 D．－8‎ ‎11．在R上的奇函数满足＝，当时，，则 ‎＝(　　)‎ A．－2 B．2 C．－ D. ‎12. 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)‎ A．36π B．64π C．144π D．256π 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ 13． 若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0,1)，则a＝ ‎ 14． 已知＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．‎ ‎15．已知，则x＋的最小值为________．‎ ‎16．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如下图所示，则φ＝________.‎ 第16题图 三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共6题，共70分.)‎ ‎17. (本小题满分10分)‎ 海关对同时从A, B, C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6 件样品进行检测．‎ 地区 B C 数量 ‎50‎ ‎150‎ ‎100‎ ‎(1) 求这 6 件样品中来自 A, B, C 各地区商品的数量；‎ ‎(2) 若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自同一地区的概率．‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知函数＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.‎ ‎(1)求函数的最小正周期；‎ ‎(2)求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎ ‎ 19． ‎(本小题满分12分)‎ 已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.‎ 19． ‎(本小题满分12分)‎ 中，角 所对的边分别为．已知 ‎(1) 求 的值；‎ ‎(2) 求 的面积．‎ ‎21. （本小题满分12分） ‎ 如图所示，在多面体 中，四边形 均为正方形，点 为 的中点，过的平面交 于 点．‎ ‎(1) 证明：∥；‎ ‎(2) 求二面角 的余弦值．‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 如图，椭圆E：(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不 同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的 斜率之和为2.‎ 峨山一中2017-2018学年上学期期末考试 高二理科数学试卷及答案 ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝(　D　)‎ A．{1} B．{2} C．{0,1} D．{1,2}‎ ‎2．设向量＝(2,4)与向量＝(x,6)共线，则实数x＝(　B　)‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ 3． 命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　C　)‎ A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0‎ C．∃x0∈R，|x0|＋x<0 D．∃x0∈R，|x0|＋x≥0‎ ‎4．设a＝30.5，b＝0.53，c＝log0.5 3，则a，b，c的大小关系为(　C　)‎ A．b＜c＜a　　　 B．b＜a＜c ‎ C．c＜b＜a D．c＜a＜b ‎5．“x<0”是“ln(x＋1)<0 ”的(　B　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．执行右面的程序框图，若输入的a，b，k分别 为1，2，3，则输出的M＝(　D　)‎ A. B. C. D. 第6题图 ‎7．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为 (　A　)‎ A．2 B．2 C. D．1‎ ‎8．设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋3y的最小值为(　A　)‎ A．7　　　　B．8 C．22 D．23‎ 9． 某四棱锥的三视图如右图所示，该四棱锥最长棱 的棱长为(　C　)‎ A．1 B. 第9题图 C. D．2‎ 9． 已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( B )‎ A．－2 B．－4 ‎ C．－6 D．－8‎ ‎11．在R上的奇函数满足＝，当时，，则 ‎＝(　A　)‎ A．－2 B．2 C．－ D. ‎12. 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　C　)‎ A．36π B．64π C．144π D．256π 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ 13． 若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0,1)，则a＝ ‎ 14． 已知＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是__（或）__．‎ ‎15．已知，则x＋的最小值为___5_____．‎ ‎16．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如下图所示，则φ＝________.‎ 第16题图 三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共6题，共70分.)‎ ‎17. (本小题10分)‎ 海关对同时从A, B, C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6 件样品进行检测．‎ 地区 B C 数量 ‎50‎ ‎150‎ ‎100‎ ‎(1) 求这 6 件样品中来自 A, B, C 各地区商品的数量；‎ ‎(2) 若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自同一地区的概率．‎ 解：（1） 各地区抽取商品的比例为：‎ 按照分层抽样，各地区抽取商品数为：‎ ‎ （2） 设 件来自 ，， 三个地区的样本分别为：；，，；，．‎ 基本事件空间为：‎ 共 个．‎ 符合题意的基本事件为：‎ 所以这两件商品来自同一地区的概率为：‎ ‎18.(本小题12分)‎ 已知函数＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.‎ ‎(1)求函数的最小正周期；‎ ‎(2)求函数在区间上的最大值和最小值 解：(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，‎ 所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝sin＋1.‎ 当x∈时，2x＋∈，‎ 由正弦函数y＝sin x在上的图象知，‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.‎ 综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.‎ 19． ‎(本小题12分)‎ 已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.‎ 解：(1)设{an}的公差为d，则由已知条件得 a1＋2d＝2,3a1＋d＝，‎ 即a1＋2d＝2，a1＋d＝，‎ 解得a1＝1，d＝，‎ 故通项公式为an＝1＋，即an＝.‎ ‎(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8.‎ 设{bn}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2，‎ 故{bn}的前n项和 Tn＝＝＝2n－1.‎ 20． ‎(本小题12分)‎ 中，角 所对的边分别为．已知 ‎(1) 求 的值；‎ ‎(2) 求 的面积．‎ ‎ （1） 在 中，由题意知 由正弦定理得 ，所以 ‎ （2） 由余弦定理得 所以 又因为 为钝角，所以 ，，所以 ‎21. （本小题12分） ‎ 如图所示，在多面体 中，四边形 均为正方形， 为 的中点，过的平面交 于 ．‎ ‎(1) 证明：∥；‎ ‎(2) 求二面角 的余弦值．‎ 解：（1） 由正方形的性质可知 ，‎ 且 ，所以四边形 为平行四边形，‎ 从而 ．又 ，，‎ 于是 ∥‎ ‎ （2） 因为四边形 ，， 均为正方形，‎ 所以 ，， 且 ．‎ 以 为原点，分别以 ，， 为 轴， 轴和 轴单位 正向量建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 可得点的坐标 ，，，，，，而 点为 的中点，所以 点的坐标为 ．‎ 设面 的法向量为 ，而该面上向量 ，，由 ， 得 ，， 应满足方程组 ‎ ‎ 为其一组解，所以可取 ．‎ 设面 的法向量为 ，而该面上向量 ，，‎ 由此同理可得 ，‎ 所以结合图形知二面角 的余弦值为 ．‎ ‎22.(本小题12分)‎ 如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不 同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的 斜率之和为2.‎ 解：(1)由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝.所以椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明：设直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.‎ 由已知Δ>0.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 从而直线AP，AQ的斜率之和 kAP＋kAQ＝＋＝＋ ‎＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k) ‎＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.‎