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- 2024-04-15 发布
2016-2017学年新疆昌吉州回民中学高二（上）期中数学试卷
一、选择题（每题5分共计60分）
1．下列叙述中正确的是（ ）
A．“m=2”是“l1：2x+（m+1）y+4=0与l2：mx+3y﹣2=0平行”的充分条件
B．“方程Ax2+By2=1表示椭圆”的充要条件是“A≠B”
C．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x0∈R，x02≥0”
D．命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为“a+b不是偶数，则a、b都是奇数”
2．已知命题p：若x＞0，则函数y=x+的最小值为1，命题q：若x＞1，则x2+2x﹣3＞0，则下列命题是真命题的是（ ）
A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q）
3．如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（ ）
A．k=7 B．k≤6 C．k＜6 D．k＞6
4．焦点在x轴上的椭圆的焦距为，则长轴长是（ ）
A．3 B．6 C． D．2
5．已知椭圆+=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8．弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（ ）
A．10 B．20 C．2 D．4
6．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A．3＜m＜4 B． C． D．
7．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a
8．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ）
A．57.2，3.6 B．57.2，56.4 C．62.8，63.6 D．62.8，3.6
9．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示：
甲
茎
乙
5 7
1
6 8
8 8 2
2
3 6 7
设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（ ）
A．，s1＜s2 B．，s1＞s2
C．，s1＞s2 D．，s1=s2
10．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：
x
0
1
2
3
4
y
2.2
4.3
4.5
4.8
6.7
回归方程是=bx+a，其中b=0.95，a=﹣b．则当x=6时，y的预测值为（ ）
A．8.1 B．8.2 C．8.3 D．8.4
11．抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为N粒，其中m（m＜N）粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分共计20分）
13．某产品共有100件，其中一、二、三、四等品的个数比为4：3：2：1，采用分层抽样的方法抽取一个样本，若从一等品中抽取8件，从三等品和四等品中抽取的个数分别为a，b，则直线ax+by+8=0上的点到原点的最短距离为 ．
14．椭圆mx2+y2=1（m＞1）的短轴长为m，则m= ．
15．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．
16．如图所示，分别以A，B，C为圆心，在△ABC内作半径为2的扇形（图中的阴影部分），在△ABC内任取一点P，如果点P落在阴影内的概率为，那么△ABC的面积是 ．
三、解答题（17题10分，18-22题每题12分）
17．已知三点P（，﹣）、A（﹣2，0）、B（2，0）．求以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程．
18．已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}
（Ⅰ）若A∩B=∅，A∪B=R，求实数a的值；
（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
19．已知椭圆x2+4y2=4，直线l：y=x+m
（1）若l与椭圆有一个公共点，求m的值；
（2）若l与椭圆相交于P、Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．
20．甲乙两人进行两种游戏，两种游戏规则如下：游戏Ⅰ：口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．游戏Ⅱ：口袋中有质地、大小完全相同的6个球，其中4个白球，2个红球，由裁判有放回的摸两次球，即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次，摸出两球同色算甲赢，摸出两球不同色算乙赢．
（Ⅰ）求游戏Ⅰ中甲赢的概率；
（Ⅱ）求游戏Ⅱ中乙赢的概率；并比较这两种游戏哪种游戏更公平？试说明理由．
21．总体（x，y）的一组样本数据为：
x
1
2
3
4
y
3
3
5
4
（1）若x，y线性相关，求回归直线方程；
（2）当x=6时，估计y的值．
附：回归直线方程=x+，其中=﹣， =．
22．在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在2015年公务员考试中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分为5组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求a值及这100名考生的平均成绩；
（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，现从这6名考生中抽取3名考生接受单位领导面试，设第四组中恰有1名考生接受领导面试的概率．
2016-2017学年新疆昌吉州回民中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分共计60分）
1．下列叙述中正确的是（ ）
A．“m=2”是“l1：2x+（m+1）y+4=0与l2：mx+3y﹣2=0平行”的充分条件
B．“方程Ax2+By2=1表示椭圆”的充要条件是“A≠B”
C．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x0∈R，x02≥0”
D．命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为“a+b不是偶数，则a、b都是奇数”
【考点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】A．根据充分条件的定义进行判断
B．根据椭圆的定义进行判断．
C．根据含有量词的命题的否定进行判断．
D．根据逆否命题的定义进行判断．
【解答】解：A．当m=2时，两直线方程为“l1：2x+3y+4=0与l2：2+3y﹣2=0”此时两直线平行，即“m=2”是“l1：2x+（m+1）y+4=0与l2：mx+3y﹣2=0平行”的充分条件正确．
B．若A2+By2=1表示椭圆，则A＞0，B＞0，且A≠B，则“方程Ax2+By2=1表示椭圆”的充要条件是“A≠B”错误．
C．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x0∈R，x02＜0”，故C错误，
D．命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为“a+b不是偶数，则a、b不都是偶数”，故D错误，
故选：A
2．已知命题p：若x＞0，则函数y=x+的最小值为1，命题q：若x＞1，则x2+2x﹣3＞0，则下列命题是真命题的是（ ）
A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q）
【考点】复合命题的真假．
【分析】根据级别不等式的性质判断p，根据二次函数的性质判断q，从而判断复合命题的真假即可．
【解答】解：x＞0时，y=x+≥2=，
故命题p是假命题，
∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，对称轴x=﹣1，
函数在（1，+∞）递增，
∴x2+2x﹣3＞0，
∴命题q是真命题，
∴p∨q是真命题，
故选：A．
3．如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（ ）
A．k=7 B．k≤6 C．k＜6 D．k＞6
【考点】程序框图．
【分析】根据程序，依次进行运行得到当S=35时，满足的条件，即可得到结论．
【解答】解：当k=10时，S=1+10=11，k=9，
当k=9时，S=11+9=20，k=8，
当k=8时，S=20+8=28，k=7，
当k=7时，S=28+7=35，k=6，
此时不满足条件输出，
∴判断框中应填入的关于k的条件是k＞6，
故选：D．
4．焦点在x轴上的椭圆的焦距为，则长轴长是（ ）
A．3 B．6 C． D．2
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】求得椭圆的a，b，c，由题意可得3n＞1，2c=，解得n=3，即可得到所求值．
【解答】解：椭圆的a=，b=1，c=，
由题意可知，
所以长轴长为2a=6，
故选：B．
5．已知椭圆+=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8．弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（ ）
A．10 B．20 C．2 D．4
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】求得椭圆的a，b，c，由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，计算即可得到所求值．
【解答】解：由题意可得椭圆+=1的b=5，c=4，
a==，
由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，
即有△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|
=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．
故选：D．．
6．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A．3＜m＜4 B． C． D．
【考点】椭圆的定义．
【分析】进而根据焦点在y轴推断出4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，求得m的范围．
【解答】解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，
所以4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，
解得：．
故选D．
7．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【考点】众数、中位数、平均数．
【分析】先由已知条件分别求出平均数a，中位数b，众数c，由此能求出结果．
【解答】解：由已知得：a=（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）=14.7；
b==15；
c=17，
∴c＞b＞a．
故选：D．
8．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ）
A．57.2，3.6 B．57.2，56.4 C．62.8，63.6 D．62.8，3.6
【考点】极差、方差与标准差．
【分析】首先写出原来数据的平均数表示式和方差的表示式，把数据都加上60以后，再表示出新数据的平均数和方差的表示式，两部分进行比较，得到结果．
【解答】解：设这组数据分别为x1，x2，xn，则=（x1+x2+…+xn），
方差为s2= [（x1﹣）2+…+（xn﹣）2]，
每一组数据都加60后，
′=（x1+x2+…+xn+60n）=+60
=2.8+60=62.8，
方差s′2=+…+（xn+60﹣62.8）2]
=s2=3.6．
故选D
9．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示：
甲
茎
乙
5 7
1
6 8
8 8 2
2
3 6 7
设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（ ）
A．，s1＜s2 B．，s1＞s2
C．，s1＞s2 D．，s1=s2
【考点】极差、方差与标准差；茎叶图；众数、中位数、平均数．
【分析】由茎叶图看出两组数据的具体数值，分别求出两组数据的平均数和方差，把平均数和方差进行比较，知两组数据的平均数相等，甲的方差大于乙的方差．
【解答】解：∵由茎叶图知甲的平均数是=22，
乙的平均数是=22，
∴甲和乙的平均数相等．
∵甲的方差是
乙的方差是=16.8
∴s1＞s2，
总上可知，s1＞s2
故选B．
10．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：
x
0
1
2
3
4
y
2.2
4.3
4.5
4.8
6.7
回归方程是=bx+a，其中b=0.95，a=﹣b．则当x=6时，y的预测值为（ ）
A．8.1 B．8.2 C．8.3 D．8.4
【考点】线性回归方程．
【分析】线性回归方程=0.95x+2.6，必过样本中心点（，），首先计算出横标和纵标的平均数，代入回归直线方程求出a即可得到回归直线的方程，代入x=6，可得y的预测值．
【解答】解：由题意可知： ==2， ==4.5，
由a=﹣b=4.5﹣0.95×2=2.6，
∴=0.95x+2.6，
∴当x=6， =0.95×6+2.6=8.3，
∴y的预测值为8.3，
故选C．
11．抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式；互斥事件与对立事件．
【分析】设抛掷两次骰子，两个点分别为x、y，所有的（x，y）共有6×6=36个，由于满足两个点的和等于8的（x，y）有5个，由此可以求得两个点的和等于8的概率，再用1减去此概率，即得所求．
【解答】解：设抛掷两次骰子，两个点分别为x、y，则 1≤x≤6、1≤y≤6，故所有的（x，y）共有6×6=36个．
其中，满足两个点的和等于8的（x，y）有：（2，6）、（6，2）、（3，5）、（5，3）、（4，4），共有5个，
故抛掷两次骰子，两个点的和等于8的概率为，
故抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为 1﹣=，
故选B．
12．一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为N粒，其中m（m＜N）粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】根据几何概型的概率公式，即可以进行估计，得到结论．
【解答】解：设圆的半径为1．则正方形的边长为2，
根据几何概型的概率公式可以得到，
即，
故选：D．
二、填空题（每题5分共计20分）
13．某产品共有100件，其中一、二、三、四等品的个数比为4：3：2：1，采用分层抽样的方法抽取一个样本，若从一等品中抽取8件，从三等品和四等品中抽取的个数分别为a，b，则直线ax+by+8=0上的点到原点的最短距离为 ． ．
【考点】点到直线的距离公式；分层抽样方法．
【分析】利用分层抽样，求出a，b，利用点到直线的距离公式，求出直线ax+by+8=0上的点到原点的最短距离
【解答】解：由题意a==2，b=1，
∴直线ax+by+8=0上的点到原点的最短距离为=．
故答案为．
14．椭圆mx2+y2=1（m＞1）的短轴长为m，则m= 2 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据题意，将椭圆mx2+y2=1的方程变形为标准方程可得+=1，比较与1的大小可得该椭圆的焦点在y轴上，且b=，进而依据题意可得m=2，解可得m的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆mx2+y2=1的方程可以变形为+=1，
又由m＞1，则＜1，
故该椭圆的焦点在y轴上，则b=，
又由该椭圆的短轴长为m，则有m=2，
解可得m=2；
故答案为：2．
15．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．
【考点】椭圆的简单性质；等差数列的性质．
【分析】由题意可得，2b=a+c，平方可得4b2=a2+2ac+c2结合b2=a2﹣c2可得关于a，c的二次方程，然后由及0＜e＜1可求
【解答】解：由题意可得，2a，2b，2c成等差数列
∴2b=a+c
∴4b2=a2+2ac+c2①
∵b2=a2﹣c2②
①②联立可得，5c2+2ac﹣3a2=0
∵
∴5e2+2e﹣3=0
∵0＜e＜1
∴
故答案为：
16．如图所示，分别以A，B，C为圆心，在△ABC内作半径为2的扇形（图中的阴影部分），在△ABC内任取一点P，如果点P落在阴影内的概率为，那么△ABC的面积是 6π ．
【考点】模拟方法估计概率．
【分析】由题意知本题是一个几何概型，先试验发生包含的所有事件是三角形的面积S，然后求出阴影部分的面积，代入几何概率的计算公式即可求解．
【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，
∵试验发生包含的所有事件是直角三角形的面积S，
阴影部分的面积S1=π22=2π．
点P落在区域M内的概率为P==．
故S=6π，
故答案为：6π．
三、解答题（17题10分，18-22题每题12分）
17．已知三点P（，﹣）、A（﹣2，0）、B（2，0）．求以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程．
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】利用椭圆定义，求出2a，得出a，可求得椭圆的标准方程．
【解答】解：（1）2a=PA+PB=2，
所以a=，又c=2，所以b2=a2﹣c2=6
则以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程为： +=1．
18．已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}
（Ⅰ）若A∩B=∅，A∪B=R，求实数a的值；
（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
【考点】充分条件；集合关系中的参数取值问题．
【分析】（Ⅰ）把集合B化简后，由A∩B=∅，A∪B=R，借助于数轴列方程组可解a的值；
（Ⅱ）把p是q的充分条件转化为集合A和集合B之间的关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，
由A∩B=∅，A∪B=R，得，得a=2，
所以满足A∩B=∅，A∪B=R的实数a的值为2；
（Ⅱ）因p是q的充分条件，所以A⊆B，且A≠∅，所以结合数轴可知，
a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，
所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．
19．已知椭圆x2+4y2=4，直线l：y=x+m
（1）若l与椭圆有一个公共点，求m的值；
（2）若l与椭圆相交于P、Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【分析】（1）将直线的方程y=x+m与椭圆的方程x2+4y2=4联立，得到5x2+2mx+m2﹣1=0，利用△=0，即可求得m的取值范围；
（2）利用两点间的距离公式，再借助于韦达定理即可得到：两交点AB之间的距离，列出|AB|=2，从而可求得m的值．
【解答】解：（1）把直线y=x+m代入椭圆方程得：x2+4（x+m）2=4，即：5x2+8mx+4m2﹣4=0，
△=（8m）2﹣4×5×（4m2﹣4）=﹣16m2+80=0
解得：m=．
（2）设该直线与椭圆相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1，x2是方程5x2+8mx+4m2﹣4=0的两根，
由韦达定理可得：x1+x2=﹣，x1•x2=，
∴|AB|====2；
∴m=±．
20．甲乙两人进行两种游戏，两种游戏规则如下：游戏Ⅰ：口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．游戏Ⅱ：口袋中有质地、大小完全相同的6个球，其中4个白球，2个红球，由裁判有放回的摸两次球，即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次，摸出两球同色算甲赢，摸出两球不同色算乙赢．
（Ⅰ）求游戏Ⅰ中甲赢的概率；
（Ⅱ）求游戏Ⅱ中乙赢的概率；并比较这两种游戏哪种游戏更公平？试说明理由．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（Ⅰ）列出甲赢包含基本事件总数，所有基本事件数目，即可求解游戏Ⅰ中甲赢的概率．
（Ⅱ）设4个白球为a，b，c，d，2个红球为A，B，则游戏Ⅱ中有放回地依次摸出两球基本事件有6*6=36种，其中乙赢包含16种基本事件，求出概率，即可判断游戏的公平程度．
【解答】解：（Ⅰ）∵游戏Ⅰ中有放回地依次摸出两球基本事件有5*5=25种，其中甲赢包含（1，1）（1，3）（1，5）（3，3）（3，5）（5，5）（3，1）（5，1）（5，3）（2，2）（2，4）（4，4）（4，2）13种基本事件，
∴游戏Ⅰ中甲赢的概率为：P=…..…..
（Ⅱ）设4个白球为a，b，c，d，2个红球为A，B，则游戏Ⅱ中有放回地依次摸出两球基本事件有6*6=36种，其中乙赢包含（a，A），（b，A），（c，A）（d，A）（a，B）（b，B）（c，B）（d，B）（A，a）（A，b）（A，c）（A，d）（B，a）（B，b）（B，c）（B，d）16种基本事件，
∴游戏Ⅱ中乙赢的概率为：P’=…．
∵．∴游戏Ⅰ更公平 …
21．总体（x，y）的一组样本数据为：
x
1
2
3
4
y
3
3
5
4
（1）若x，y线性相关，求回归直线方程；
（2）当x=6时，估计y的值．
附：回归直线方程=x+，其中=﹣， =．
【考点】线性回归方程．
【分析】（1）根据所给的数据作出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法作出线性回归方程的系数，进而写出线性回归方程．
（2）当x=6时，代入回归方程，即可估计y的值．
【解答】解：（1）∵…2分；
∴…6分
，…8分
∴回归直线方程为．…10分
（2）当x=6 时，．…12分
22．在公务员招聘中，既有笔试又有面试，某单位在2015年公务员考试中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分为5组[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求a值及这100名考生的平均成绩；
（2）若该单位决定在成绩较高的第三、四、五组中按分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试，现从这6名考生中抽取3名考生接受单位领导面试，设第四组中恰有1名考生接受领导面试的概率．
【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．
【分析】（1）根据频率之和为1，即可求出a的值，再根据平均数的定义即可求出．
（2）根据分层抽样，即可求出各组的人数，分别记第3组中3人为a1，a2，a3，第4组中2人为b1，b2，第5组中1人为c，一一列举所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）由（0.005+0.035+a+0.02+0.01）×10=1，
得a=0.03．
平均成绩约为（55×0.005+65×0.035+75×0.03+85×0.02+95×0.01）×10=74.5．
（2）第3，4，5组考生分别有30、20、10人，
按分层抽样，各组抽取人数为3，2，1
记第3组中3人为a1，a2，a3，第4组中2人为b1，b2，第5组中1人为c，
则抽取3人的所有情形为：
（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），
（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），
（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），
（a2，b2，c），（a3，b1，b2），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c）共20种
第4组中恰有1人的情形有12种
∴．
2017年1月1日