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- 2024-04-13 发布
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2018-2019学年山东省济南市商河县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若a0 B.−a>−b C.a+2>b+2 D.ac2x3的一个解，求a的取值范围为（ ）
A.a>3 B.a<3 C.a<4 D.a>4
10. 若关于x的不等式组x>3x3
11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，且AD＝AE，则∠BAD与∠EDC的关系为（ ）
A.∠BAD＝∠EDC B.∠BAD＝2∠EDC
C.∠BAD+∠EDC＝45∘ D.∠BAD+∠EDC＝60∘
12. 把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90∘，∠A=45∘，∠D=30∘，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15∘得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长为( )
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A.32 B.5 C.4 D.31
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
如图，在⊙O中，AB=AC，∠A＝30∘，则∠B＝________∘．
如图，将三角形ABC沿射线BC方向平移3cm得到三角形DEF．若三角形ABC的周长为14cm，则四边形ABFD的周长为________．
如图，△ABC中，∠C＝90∘，AD是角平分线，若CD＝2，则点D到AB的距离等于________．
小明用30元钱买笔记本和练习本共30本，已知每个笔记本4元，每个练习本0.4元，那么他最多能买笔记本________本．
若关于x的不等式(1−a)x>2可化为x<21−a，则a的取值范围是________．
如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，底边BC＝6，点P是底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE＝________．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）
因式分解：
①m3n−mn
②ax2−4ax+4a
解不等式（组）并将解集在数轴上表示出来：
（1）−2x+12×33，
∴ a<4，
10.
【答案】
A
【考点】
不等式的解集
【解析】
原不等式组无解，即组成不等式组的两个不等式的解集没有交集．
【解答】
∵ 关于x的不等式组x>3x1
【考点】
不等式的性质
【解析】
依据不等式的性质解答即可．
【解答】
∵ 不等式(1−a)x>2可化为x<21−a，
∴ 1−a<0，
解得：a>1．
【答案】
4.8
【考点】
勾股定理
等腰三角形的性质
【解析】
连接AP，过A作AF⊥BC于F，由图可得：S△ABC＝S△ABP+S△ACP，代入数值，解答出即可．
【解答】
连接AP，过A作AF⊥BC于F，
∵ AB＝AC＝5，
∴ BF＝CF=12BC＝3，
由勾股定理得：AF=52−32=4，
由图可得，S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
∵ PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，
∴ 12BC⋅AF=12AB⋅PD+12AC⋅PE，
12×6×4=12×5PD+12×5PE，
24＝5(PD+PE)，
∴ PD+PE＝4.8，
三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）
【答案】
①原式＝mn(m2−1)＝mn(m+1)(m−1)．
②原式＝a(x2−4x+4)＝a(x−2)2．
【考点】
提公因式法与公式法的综合运用
【解析】
①首先提公因式mn，再利用平方差进行二次分解即可；
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②首先提公因式a，再利用完全平方公式进行分解即可．
【解答】
①原式＝mn(m2−1)＝mn(m+1)(m−1)．
②原式＝a(x2−4x+4)＝a(x−2)2．
【答案】
移项，得：−2x−x<4−1，
合并同类项，得：−3x<3，
系数化为1，得：x>−1，
将解集表示在数轴上如下：
解不等式2x−13−5x+12≤1，得：x≥−1，
解不等式5x−1<3(x+1)，得：x<2，
则不等式组的解集为−1≤x<2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【考点】
解一元一次不等式组
解一元一次不等式
在数轴上表示不等式的解集
【解析】
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】
移项，得：−2x−x<4−1，
合并同类项，得：−3x<3，
系数化为1，得：x>−1，
将解集表示在数轴上如下：
解不等式2x−13−5x+12≤1，得：x≥−1，
解不等式5x−1<3(x+1)，得：x<2，
则不等式组的解集为−1≤x<2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【答案】
如图所示：
(2, −4),(−a, −b)
【考点】
作图-旋转变换
【解析】
（1）首先找出对应点的位置，再顺次连接即可；
（2）①根据图形可直接写出坐标；②根据关于原点对称点的坐标特点可得答案．
【解答】
如图所示：
①根据图形可得A1坐标为(2, −4)；
②点P1的坐标为(−a, −b)．
故答案为：(2, −4)；(−a, −b)．
【答案】
证明：∵ ∠A＝∠D＝90∘，AC＝BD，BC＝BC，
∴ Rt△BAC≅Rt△CDB(HL)
∴ ∠ACB＝∠DBC．
∴ ∠OCB＝∠OBC．
∴ OB＝OC（等角对等边）．
【考点】
全等三角形的性质
直角三角形全等的判定
【解析】
因为∠A＝∠D＝90∘，AC＝BD，BC＝BC，知Rt△BAC≅Rt△CDB(HL)，所以∠ACB＝∠DBC，即∠OCB＝∠OBC，所以有OB＝OC．
【解答】
证明：∵ ∠A＝∠D＝90∘，AC＝BD，BC＝BC，
∴ Rt△BAC≅Rt△CDB(HL)
∴ ∠ACB＝∠DBC．
∴ ∠OCB＝∠OBC．
∴ OB＝OC（等角对等边）．
【答案】
kx+b＝0,y=kx+by=k1x+b1 ,kx+b>0,kx+b<0
x≥1
【考点】
一次函数与一元一次不等式
【解析】
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（1）①由于点B是函数y＝kx+b与x轴的交点，因此B点的横坐标即为方程kx+b＝0的解；
②因为C点是两个函数图象的交点，因此C点坐标必为两函数解析式联立所得方程组的解；
③函数y＝kx+b中，当y>0时，kx+b>0，因此x的取值范围是不等式kx+b>0的解集；
同理可求得④的结论．
（2）由图可知：在C点右侧时，直线y＝kx+b的函数值要小于直线y＝k1x+b1的函数值．
【解答】
根据观察得：①kx+b＝0，②y=kx+by=k1x+b1 ，③kx+b>0，④kx+b<0；
故答案为：kx+b＝0，y=kx+by=k1x+b1 ，kx+b>0，kx+b<0；
∵ 点C的坐标为(1, 3)，
∴ 不等式kx+b≤k1x+b1的解集为x≥1．
故答案为：x≥1．
【答案】
结论：AO＝CM．理由如下：
∵ ∠OBM＝60∘，OB＝BM，
∴ △OBM是等边三角形，
∴ BM＝OB＝10，∠ABC＝∠OBC＝60∘，
∴ ∠ABO＝∠CBM，
在△AOB和△CMB中，
∵ OB＝BM，∠ABO＝∠CBM，AB＝BC，
∴ △AOB≅△CMB(SAS)，
∴ OA＝MC．
△OMC是直角三角形；理由如下：
在△OMC中，OM2＝100，OC2+CM2＝62+82＝100，
∴ OM2＝OC2+CM2，
∴ △OMC是直角三角形．
【考点】
勾股定理
旋转的性质
等边三角形的性质
全等三角形的性质与判定
【解析】
（1）结论：AO＝CM．证明△AOB≅△CMB(SAS)即可解决问题．
（2）利用勾股定理的逆定理即可解决问题．
【解答】
结论：AO＝CM．理由如下：
∵ ∠OBM＝60∘，OB＝BM，
∴ △OBM是等边三角形，
∴ BM＝OB＝10，∠ABC＝∠OBC＝60∘，
∴ ∠ABO＝∠CBM，
在△AOB和△CMB中，
∵ OB＝BM，∠ABO＝∠CBM，AB＝BC，
∴ △AOB≅△CMB(SAS)，
∴ OA＝MC．
△OMC是直角三角形；理由如下：
在△OMC中，OM2＝100，OC2+CM2＝62+82＝100，
∴ OM2＝OC2+CM2，
∴ △OMC是直角三角形．
【答案】
从纸箱厂定制购买纸箱费用：y1＝4x，
蔬菜加工厂自己加工纸箱费用：y2＝2.4x+16000．
y2−y1＝2.4x+16000−4x＝16000−1.6x，
由y1＝y2得，16000−1.6x＝0，
解得x＝10000，
∴ 当x<10000时，y1<y2，
选择方案一，从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低．
当x>10000时，y1>y2，
选择方案二，加工厂自己加工制作纸箱所需的费用低．
当x＝10000时，y1＝y2，
选择两个方案的费用相同．
【考点】
一次函数的应用
【解析】
（1）由已知条件可以得出两个方案的解析式y1＝4x，y2＝2.4x+16000．
（2）使y2−y1得，16000−1.6x＝0，解得x＝10000，讨论x的取值范围来比较来比较两个方案的优缺点．
【解答】
从纸箱厂定制购买纸箱费用：y1＝4x，
蔬菜加工厂自己加工纸箱费用：y2＝2.4x+16000．
y2−y1＝2.4x+16000−4x＝16000−1.6x，
由y1＝y2得，16000−1.6x＝0，
解得x＝10000，
∴ 当x<10000时，y1<y2，
选择方案一，从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低．
当x>10000时，y1>y2，
选择方案二，加工厂自己加工制作纸箱所需的费用低．
当x＝10000时，y1＝y2，
选择两个方案的费用相同．
【答案】
60∘,2α
小扬同学猜想是正确的，证明如下：
过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，
∵ ∠ACB＝
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∠DCE＝90∘，
∴ ∠1+∠2＝90∘，∠3+∠2＝90∘，
∴ ∠1＝∠3，
∵ BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，
∴ ∠BNC＝∠EMC＝90∘，
∵ △ACB≅△DCE，
∴ BC＝EC，
在△CBN和△CEM中，
∠BNC＝∠EMC，∠1＝∠3，BC＝EC，
∴ △CBN≅△CEM(AAS)，
∴ BN＝EM，
∵ S△BDC=12⋅CD⋅BN，S△ACE=12⋅AC⋅EM，
∵ CD＝AC，
∴ S△BDC＝S△ACE．
【考点】
旋转的性质
【解析】
（1）①证明△ADC是等边三角形即可．
②如图2中，作CH⊥AD于H．想办法证明∠ACD＝2∠B即可解决问题．
（2）小扬同学猜想是正确的．过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，想办法证明△CBN≅△CEM(AAS)即可解决问题．
【解答】
①∵ ∠B＝30∘，∠ACB＝90∘，
∴ ∠CAD＝90∘−30∘＝60∘，
∵ CA＝CD，
∴ △ACD是等边三角形，
∴ ∠ACD＝60∘，
∴ 旋转角为60∘，
故答案为60∘．
②如图2中，作CH⊥AD于H．
∵ CA＝CD，CH⊥AD，
∴ ∠ACH＝∠DCH，
∵ ∠ACH+∠CAB＝90∘，∠CAB+∠B＝90∘，
∴ ∠ACH＝∠B，
∴ ∠ACD＝2∠ACH＝2∠B＝2α，
∴ 旋转角为2α．
故答案为2α．
小扬同学猜想是正确的，证明如下：
过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，
∵ ∠ACB＝∠DCE＝90∘，
∴ ∠1+∠2＝90∘，∠3+∠2＝90∘，
∴ ∠1＝∠3，
∵ BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，
∴ ∠BNC＝∠EMC＝90∘，
∵ △ACB≅△DCE，
∴ BC＝EC，
在△CBN和△CEM中，
∠BNC＝∠EMC，∠1＝∠3，BC＝EC，
∴ △CBN≅△CEM(AAS)，
∴ BN＝EM，
∵ S△BDC=12⋅CD⋅BN，S△ACE=12⋅AC⋅EM，
∵ CD＝AC，
∴ S△BDC＝S△ACE．
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