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- 2024-04-10 发布
2016-2017学年山东省临沂市高二（上）期末数学试卷（文科）
一.选择题，每小题5分，共60分
1．不等式（x+1）（2﹣x）≥0的解集为（ ）
A．{x|﹣l≤x≤2} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|x≥2，或﹣1≤﹣1} D．{x|x＞2，或x＜﹣1}
2．抛物线x=2y2的焦点坐标是（ ）
A．（1，0） B．（，0） C．（，0） D．（0，）
3．如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是（ ）
A． B． C．ab＞b2 D．a2＞ab
4．已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1≤0，则（ ）
A．￢p：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．￢p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0
C．￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0 D．￢p：∃0x∈R，x02﹣x0+1＞0
5．等差败列{an}的前n项和为Sn，若a3+a16=10，则S18=（ ）
A．50 B．90 C．100 D．190
6．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a=2，b=，B=，则角A等于（ ）
A． B． C． D．或
7．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的部分图象如图所示，则y=f （x）的图象最有可能是图中的（ ）
A． B． C．
D．
8．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
9．不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立的充分不必要条件是（ ）
A．m＞2 B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞1
10．若二次函数f（x）=cx2+4x+a（x∈R）的值域为[0，+∞），则+的最小值为（ ）
A．3 B． C．5 D．7
11．在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C所对的边，且2acosB+bcosA=2c，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．斜三角形
12．已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）和虚轴端点E的直线交双曲线的右支于点P，若E为线段FP的中点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D． +1
二.填空题，每小题4分，满分16分
13．已知等比数列{an}的公比为正数，且a1•a7=2a32，a2=2，则a1的值是 ．
14．若x∈（1，+∞），则y=2x+的最小值是 ．
15．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，b）到焦点F的距离为2，则b= ．
16．要做一个母线长为30cm的圆锥形的漏斗，要使其体积最大，则其底面半径为 cm．
三.解答题，6个小题，共74分
17．已知命题p：∀x∈[1，]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R， x02﹣ax0+2﹣a=0，若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．
18．已知，在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且asinB=bcosA．
（1）求角A的大小；
（2）设△ABC的面积为，求a的取值范围．
19．已知函数f（x）=x3﹣ax2+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值．
20．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S1+S3=18，a1，a4，a13成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设{}是首项为1，公比为的等比数列，求数列{bn}前n项和Tn．
21．已知函数f（x）=x﹣alnx﹣1（a∈R）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x≥2时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同点，O为坐标原点，若△OPQ的面积为，证明：y12+y22为定值．
2016-2017学年山东省临沂市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一.选择题，每小题5分，共60分
1．不等式（x+1）（2﹣x）≥0的解集为（ ）
A．{x|﹣l≤x≤2} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|x≥2，或﹣1≤﹣1} D．{x|x＞2，或x＜﹣1}
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】解不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵（x+1）（2﹣x）≥0，
∴（x+1）（x﹣2）≤0，
解得：﹣1≤x≤2，
故选：A．
2．抛物线x=2y2的焦点坐标是（ ）
A．（1，0） B．（，0） C．（，0） D．（0，）
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】将抛物线化成标准方程得y2=x，根据抛物线的基本概念即可算出该抛物线的焦点坐标．
【解答】解：∵抛物线的方程为x=2y2，
∴化成标准方程，得y2=x，
由此可得抛物线的2p=，得=
∴抛物线的焦点坐标为（，0）
故选C．
3．如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是（ ）
A． B． C．ab＞b2 D．a2＞ab
【考点】不等式比较大小．
【分析】利用不等式的基本性质即可得出．
【解答】解：∵a＞b＞0，
∴ab＞b2，a2＞ab，即为，因此A，C，D正确，而B不正确．
故选：B．
4．已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1≤0，则（ ）
A．￢p：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0 B．￢p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0
C．￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0 D．￢p：∃0x∈R，x02﹣x0+1＞0
【考点】命题的否定．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是：
￢p：∃0x∈R，x02﹣x0+1＞0，
故选：D
5．等差败列{an}的前n项和为Sn，若a3+a16=10，则S18=（ ）
A．50 B．90 C．100 D．190
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式求解．
【解答】解：∵等差败列{an}的前n项和为Sn，a3+a16=10，
S18=（a1+a18）=9（a3+a16）=90．
故选：B．
6．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a=2，b=，B=，则角A等于（ ）
A． B． C． D．或
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理可得=，结合a＜b，即可得出结论．
【解答】解：由正弦定理可得=，∴sinA=，
∵a＜b，∴A=．
故选B．
7．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的部分图象如图所示，则y=f （x）的图象最有可能是图中的（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据f′（x）的零点及f′（x）＞0的解判断f（x）的极值点和在（﹣1，3）上的单调性．
【解答】解：由y=f′（x）的图象可知f′（﹣1）=f′（3）=0，
当x＜﹣1或x＞3时，f′（x）＜0，当﹣1＜x＜3时，f′（x）＞0．
∴f（x）在x=﹣1时取得极小值，在x=3时取得极大值，在（﹣1，3）上为增函数．
故选：C．
8．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线t=x﹣2y过点A（2，0）时，z最大值即可．
【解答】解：根据约束条件画出可行域，
直线t=x﹣2y过点A（2，0）时，t最大，
t最大值2，
即目标函数t=x﹣2y的最大值为2，
故选D．
9．不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立的充分不必要条件是（ ）
A．m＞2 B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞1
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】不等式x2﹣2x+m＞0化为：m＞﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，利用二次函数的单调性、充分不必要条件即可得出．
【解答】解：不等式x2﹣2x+m＞0化为：m＞﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，
∵﹣（x﹣1）2+1≤1，
∴m＞1．
∴不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立的充分不必要条件是m＞2．
故选：A．
10．若二次函数f（x）=cx2+4x+a（x∈R）的值域为[0，+∞），则+的最小值为（ ）
A．3 B． C．5 D．7
【考点】二次函数的性质；基本不等式．
【分析】先判断a、c是正数，且ac=4，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．
【解答】解：若二次函数f（x）=cx2+4x+a（x∈R）的值域为[0，+∞），
则c＞0，△=16﹣4ac=0，即ac=4，
则+≥2×=3，当且仅当=时取等号，
则+的最小值是3，
故选：A．
11．在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C所对的边，且2acosB+bcosA=2c，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．斜三角形
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理化简已知可得2sinAcosB+sinBcosA=2sinC，由三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得
2sinC=2sinAcosB+2sinBcosA，解得sinBcosA=0，由sinB≠0，可求cosA=0，结合范围A∈（0，π），可得A的值．
【解答】解：∵△ABC中，2acosB+bcosA=2c，
∴由正弦定理，得：2sinAcosB+sinBcosA=2sinC
又∵2sinC=2sin（A+B）=2sinAcosB+2sinBcosA，
∴sinBcosA=2sinBcosA，可得：sinBcosA=0，
∵sinB≠0，
∴可得：cosA=0，
∴由A∈（0，π），可得：A=．
故选：C．
12．已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）和虚轴端点E的直线交双曲线的右支于点P，若E为线段FP的中点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D． +1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意，P（c，2b），代入双曲线﹣=1，可得=1，即可求出该双曲线的离心率．
【解答】解：由题意，P（c，2b），代入双曲线﹣=1，可得=1，
∴e=，
故选B．
二.填空题，每小题4分，满分16分
13．已知等比数列{an}的公比为正数，且a1•a7=2a32，a2=2，则a1的值是 ．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由已知列式求得q，再由求得答案．
【解答】解：在等比数列{an}中，由a1•a7=2a32，得，
得q2=2，∵q＞0，∴．
又a2=2，
∴．
故答案为：．
14．若x∈（1，+∞），则y=2x+的最小值是 2+2 ．
【考点】基本不等式．
【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x∈（1，+∞），则y=2（x﹣1）++2≥2+2=2+2，当且仅当x=1+时取等号．
∴y=2x+的最小值是2+2．
故答案为：2+2．
15．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，b）到焦点F的距离为2，则b= ±2 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线的定义可知该点到准线的距离为2，进而利用抛物线方程求得其准线方程，利用点到直线的距离求得p，即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，b）到焦点F的距离为2，
∴该点到准线的距离为2，
抛物线的准线方程为x=﹣，
∴1+=2，求得p=2，
∴y2=4x，代入点M（1，b），可得b=±2
故答案为：±2．
16．要做一个母线长为30cm的圆锥形的漏斗，要使其体积最大，则其底面半径为 10 cm．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】设出圆锥的高，求出底面半径，推出体积的表达式，利用导数求出体积的最大值时的高即可．
【解答】解：设圆锥的高为h cm，
∴V圆锥=π×h，
∴V′（h）=π．令V′（h）=0，
得h2=300，∴h=10（cm）
当0＜h＜10时，V′＞0；
当10＜h＜30时，V′＜0，
∴当h=10，r=10cm时，V取最大值．
故答案为10．
三.解答题，6个小题，共74分
17．已知命题p：∀x∈[1，]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R， x02﹣ax0+2﹣a=0，若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】命题p：∀x∈[1，]，x2﹣a≥0，可得a≤（x2）min．命题q：∃x0∈R， x02﹣ax0+2﹣a=0，可得△≥0．再根据命题“p∧q”为真命题，即可得出．
【解答】解：命题p：∀x∈[1，]，x2﹣a≥0，∴a≤（x2）min=1．
命题q：∃x0∈R， x02﹣ax0+2﹣a=0，∴△=≥0，解得a≥1或a≤﹣2．
若命题“p∧q”为真命题，∴，
解得a=1或a≤﹣2．
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪{1}．
18．已知，在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且asinB=
bcosA．
（1）求角A的大小；
（2）设△ABC的面积为，求a的取值范围．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）根据正弦定理，化简整理得sinAsinB=sinBcosA，结合sinB≠0解出tanA=，从而可得A的值．
（2）由三角形的面积公式，从而解出bc=4，再结合基本不等式求最值，即可得到a的取值范围．
【解答】解：（1）∵asinB=bcosA．
∴由正弦定理可得：sinAsinB=sinBcosA，
又∵sinB≠0，
∴可得：tanA=，
∴A=．
（2）∵A=，△ABC的面积为=bcsinA=bc，
∴解得：bc=4，
∴由余弦定理可得：a==≥==2，当且仅当b=c=2时等号成立．
综上，边a的取值范围为[2，+∞）．
19．已知函数f（x）=x3﹣ax2+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，建立等式关系，再根据切点在函数图象建立等式关系，解方程组即可求出a和b，从而得到函数f（x）的解析式；
（2）先求出f′（x）=0的值，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值．
【解答】解：（1）f′（x）=x2﹣2ax，
∵（1，f（1））在x+y﹣3=0上，
∴y=﹣x+3=f（1）=﹣a+b=2①，
f′（1）=﹣1=1﹣2a②，
由①②解得：a=1，b=；
（2）∵f（x）=x3﹣x2+，
∴f′（x）=x2﹣2x，
由f′（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点，所以有
x
（﹣∞，0）
0
（0，2）
2
（2，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
增
极大值
减
极小值
增
所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．
∵f（0）=，f（2）=，f（﹣2）=﹣4，f（4）=8，
∴在区间[﹣2，4]上的最大值为8．
20．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S1+S3=18，a1，a4，a13成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设{}是首项为1，公比为的等比数列，求数列{bn}前n项和Tn．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【分析】（1）由S1+S3=18，a1，a4，a13成等比数列．可得4a1+3d=18， =a1•（a1+12d），解出即可得出．
（2）由{}是首项为1，公比为的等比数列，可得=
，bn=（2n+1）•3n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1）∵S1+S3=18，a1，a4，a13成等比数列．
∴4a1+3d=18，，即=a1•（a1+12d），
解得a1=3，d=2．
∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．
（2）∵{}是首项为1，公比为的等比数列，
∴=，∴bn=（2n+1）•3n﹣1．
∴数列{bn}前n项和Tn=3+5×3+7×32+…+（2n+1）•3n﹣1．
3Tn=32+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1+（2n+1）•3n，
∴﹣2Tn=3+2×（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）•3n=+1﹣（2n+1）•3n
∴Tn=n•3n．
21．已知函数f（x）=x﹣alnx﹣1（a∈R）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x≥2时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）正确求得函数的导函数是关键，再求得导函数后，利用f'（x）＞0，解自变量的取值范围时要对参数a进行讨论，由f′（x）以及x＞0，可分a≤0和a＞0来讨论得解．
（2）由f（x）≥0对x∈[2，+∞）上恒成立可分a≤2和a＞2来讨论转化为函数的最小值大于等于0的问题来求解．
【解答】解：（1）f′（x）=1﹣=（x＞0），
当a≤0时，f'（x）＞0，在（0，+∞）上为增函数，
当a＞0时，令f′（x）==0，解得：x=a，
f（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数；
（2）f′（x）=1﹣=，
当a≤2时，f'（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，
则f（x）是单调递增的，
则f（x）＞f（2）＞f（1）=0恒成立，则a≤2，
当a＞2时，在（2，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
所以x∈（2，a）时，f（x）＜f（2）＜f（1）=0这与f（x）≥0恒成立矛盾，
故不成立
综上：a≤2．
22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同点，O为坐标原点，若△OPQ的面积为，证明：y12+y22为定值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由离心率为e==，a=2c，2ab=4，由a2=b2+c2，解得：a=2，b=，即可求得椭圆C的方程；
（2）直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，x1=x2，y1=﹣y2，由三角形面积公式即可求得|x1|和|y1|的值，可知y12+y22均为定值，当直线斜率存在，设出直线方程代入椭圆方程，利用△＞0及韦达定理求得x1+x2和x1•x2的关系，利用点到直线的距离公式和弦长公式求得△OPQ的面积，求得a和k的关系式，即可证明x12+x22=4，利用y1=kx1+b，y2=kx2+b，即可求得y12+y22为定值；
【解答】解：（1）椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦点在x轴上，离心率为e==，a=2c，
椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为4，即2ab=4，
由a2=b2+c2，解得：a=2，b=，
∴椭圆的标准方程为：；
（2）证明：当直线l⊥x轴时，，△OPQ的面积S=•丨x1丨•丨2y1丨=，
解得：丨x1丨=，丨y1丨=，
故y12+y22=3
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，m≠0，
，整理得：（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12=0，
△=（8kb）2﹣4（3+4k2）•（4b2﹣12）=48（3+4k2﹣b2）＞0，即3+4k2＞b2，
由韦达定理可知x1+x2=﹣，x1•x2=，
∴丨PQ丨=•=4••，
点O到直线l的距离为d=，
则△OPQ的面积S=•d•丨PQ丨=••4••=2•，
即2•=，整理得：3+4k2=b2，满足△＞0，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=（﹣）2﹣2×=4，
y1=kx1+b，y2=kx2+b，
∴y12+y22=k2（x12+x22）+2kb（x1+x2）+2b2=4k2﹣8k2+2b2=3，
综上可知：y12+y22=3均为定值．
2017年2月1日