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- 2024-04-09 发布
湖南省岳阳县2017-2018学年高二上学期期末考试
数学（文科）
时量：120分钟 分值：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．“若,则”的否命题是 （ ）
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
2．有50件产品，编号从1到50，现在从中抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的第一个样本编号为7，则第三个样本编号是 （ ）
A. 12 B. 17 C. 27 D. 37
3．已知复数,满足，则复数等于 ( )
A. B. C. D.
4．若，则下列不等式中不成立的是 ( )
A. B. C. D.
5．若命题“”是真命题，则实数的取值范围为 （ ）
A. -1≤≤3 B. 1≤≤3 C. －3≤≤3 D. －1≤≤1
6．在等差数列中，已知， ，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
7．设是“”的 ( )
A． 必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”
．执行该程序框图，若输入的分别为14,18，则输出的等于 ( )
A．0 B．2 C．4 D．14
9．三个内角所对的边为，已知且，则角等于（ ）
A. B. C. D. 或
10．已知点是抛物线的焦点， 是抛物线上两点， ，则中点的横坐标为 （ ）
A. B. C. D.
11．若的最大值为 ( )
A. B．1 C．2 D．4
12．已知双曲线（）的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．)
13．若复数（为正实数）的模为5，则 .
14．若从上任取一个实数作正方形的边长，则该正方形的面积大于4的概率为 ．
15．若双曲线的焦距为8，点在其渐近线上，则C的方程为 ．
16．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知命题且，命题且
（1）若，求实数的范围；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.
18．(本小题满分12分)我校组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．
（1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？
（2）在（Ⅰ）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有一名男生的概率．
19．(本小题满分12分)如图，在中， ， 是边上一点，且.
（1）求的长；
（2）若，求的长及的面积.
20．(本小题满分12分)设等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
21．(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为，椭圆C的长轴长为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
22.(本小题满分12分)已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）证明当时，关于的不等式恒成立。
数学（文科）
参考答案
1．A 2．C 3．A 4．D 5．A 6．C 7．B 8．B 9．A 10．B 11．C 12．C
13．4 14． 15． 16．
17． 解析：(1)
………… 5分
(2)由题意得所以。 ………… 10分
18．（1）,；（2）.
【解析】（1）由题可得，男生优秀人数为人，
女生优秀人数为人． ………… 4分
（2）因为样本容量与总体中的个体数的比是，
所以样本中包含男生人数为人，女生人数为人．………… 6分
设两名男生为， ，三名女生为， ， ．
则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共10个，每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．………… 9分
记事件：“选取的2人中至少有一名男生”，则事件包含的基本事件有： ， ， ， ， ， ， 共7个．
所以，即选取的2人中至少有一名男生的概率为． ………… 12分
18． 【解析】（1）在中，由正弦定理得，
即 ∴ ………… 5分
（2）∵，∴
在中 ，由余弦定理得
∴ ………… 9分
∴.
综上， 的面积为。 ………… 12分
20．【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，
由， ，解得， ，因此（）．
………… 6分
（2）因为，
∴ ………… 12分
21． 【解析】（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得，解得，
………2分
所以，故所求椭圆C的方程为． ………… 4分
（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：
设点，，将直线的方程代入，
并整理，得．（*） …………………………………6分
则，． ………………………………………8分
因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以，即．
又,于是， ……………10分
解得， ………………………………11分
经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．
所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O． ………………12分
22．【解析】（1），
由f'（x）＜0，得2x2﹣x﹣1＞0．又x＞0，所以x＞1，
所以f（x）的单调递减区间为（1，+∞），函数f（x）的单增区间为（0，1）．… 4分
（2）令，
所以， ………… 6分
因为a≥2，所以，
令g'（x）=0，得，所以当，
当时，g'（x）＜0，
因此函数g（x）在是增函数，在是减函数，
故函数g（x）的最大值为，
………… 9分
令，因为，又因为h（a）在a∈（0，+∞）是减函数，所以当a≥2时，h（a）＜0，即对于任意正数x总有g（x）＜0，所以关于x的不等式恒成立． ………… 12分