2020年秋九年级数学上册 第3章相似三角形的性质 5页

‎3.4.2　‎相似三角形的性质 第1课时 与相似三角形的三线有关的性质 知识点 1　相似三角形对应高的比等于相似比 ‎1．2017·重庆若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为(　　)‎ A．3∶2 B．3∶‎5 C．9∶4 D．4∶9‎ ‎2．已知△ABC∽△A′B′C′，对应高＝，若AC＝‎3.6 cm，则A′C′＝________．‎ ‎3．如图3－4－58，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝‎2 m，CD＝‎6 m，点P到CD的距离是‎2.7 m，求AB与CD间的距离．‎ 图3－4－58‎ 知识点 2　相似三角形对应角平分线的比等于相似比 ‎4．已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3∶5，则对应角的平分线的比等于(　　)‎ A．3∶5 B．5∶‎3 C．9∶25 D．25∶9‎ ‎5．如图3－4－59所示，△ABC∽△A1B‎1C1，AD，A1D1分别是△ABC，△A1B‎1C1的角平分线，BC＝‎6 cm，B‎1C1＝‎4 cm，AD＝‎4.8 cm，则A1D1的长为________cm.‎ 图3－4－59‎ 知识点 3　相似三角形对应中线的比等于相似比 ‎6．2016·兰州已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为(　　)‎ A. B. C. D. ‎7．如果两个相似三角形对应高之比为1∶2，那么它们对应中线之比为(　　)‎ A．1∶2 B．1∶3‎ 5‎ C．1∶4 D．1∶8‎ ‎8．如图3－4－60，已知△ABC∽△A′B′C′，BC＝‎3.6 cm，B′C′＝‎6 cm，AE是△ABC的一条中线，AE＝‎2.4 cm，求△A′B′C′的中线A′E′的长．‎ 图3－4－60‎ ‎9．已知△ABC∽△A′B′C′，对应中线的比为2，且BC边上的高是5 ，则B′C′边上的高为________．‎ 图3－4－61‎ ‎10．如图3－4－61，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC边上一点，∠CBD＝∠A，E，F分别是AB，BD的中点，若AB＝5，AC＝4，则CF∶CE＝________．‎ ‎11．教材练习第2题变式如图3－4－62，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和角平分线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和角平分线，且AD＝6，A′D′＝5，B′E′＝10.5，求BE的长．‎ 图3－4－62‎ 5‎ ‎12．如图3－4－63，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC＝∠ACD＝90°，BM⊥AC于点M，CN⊥AD于点N，且AC＝15，CN＝10，AD＝20.求BM的长．‎ 图3－4－63‎ ‎13．如图3－4－64，△ABC是一张锐角三角形硬纸片，AD是BC边上的高，BC＝‎40 cm，AD＝‎30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长(HG)是宽(HE)的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.‎ ‎(1)求证：△AHG∽△ABC；‎ ‎(2)求证：＝；‎ ‎(3)求这个矩形EFGH的周长．‎ 图3－4－64‎ ‎ ‎ ‎14．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为‎1.5 m，面积为‎1.5 m2‎，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．小明设计了如图3－4－65①所示的加工方案，小华设计了如图②所示的加工方案，他们谁设计的加工方案符合要求？‎ 图3－4－65‎ ‎1．A　[解析] ∵△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，∴对应高的比为3∶2.‎ ‎2．‎2.7 cm　[解析] ∵△ABC∽△A′B′C′，‎ 5‎ ‎∴＝，∴＝，∴A′C′＝2.7(cm)．‎ ‎3．解： 因为AB∥CD，所以△PAB∽△PCD.设AB与CD间的距离是x m，根据相似三角形对应高的比等于相似比，得＝，即＝，解得x＝1.8.‎ 答：AB与CD间的距离是1.8 m.‎ ‎4．A　5.3.2　6.A ‎7．A　[解析] ∵两个相似三角形对应高之比为1∶2，∴这两个相似三角形的相似比为1∶2，∴它们的对应中线之比为1∶2.‎ ‎8．解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴＝.‎ ‎∵BC＝‎3.6 cm，B′C′＝‎6 cm，‎ ‎∴＝＝.‎ ‎∵AE＝‎2.4 cm，∴＝，‎ 解得A′E′＝4(cm)，‎ ‎∴△A′B′C′的中线A′E′的长为‎4 cm.‎ ‎9．7.5　[解析] 相似三角形对应中线的比＝对应高的比，设所求高为x，则＝，解得x＝7.5.‎ ‎10． 3∶4‎ ‎[解析] ∵∠ACB＝∠BCD，∠CBD＝∠A，‎ ‎∴△ABC∽△BDC，∴CF∶CE＝BC∶AC.∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，∴CF∶CE＝3∶4.‎ ‎11．解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和角平分线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和角平分线，‎ ‎∴＝.‎ ‎∵AD＝6，A′D′＝5，B′E′＝10.5，‎ ‎∴＝，‎ 解得BE＝12.6.‎ ‎12．∵AC平分∠BAD，‎ ‎∴∠BAC＝∠CAD.‎ 又∵∠ABC＝∠ACD＝90°，∴△ABC∽△ACD.‎ 又∵BM⊥AC，CN⊥AD，∴＝.‎ 又∵AC＝15，CN＝10，AD＝20，‎ ‎∴＝，解得BM＝7.5.‎ ‎13．：(1)证明：∵四边形EFGH为矩形，‎ ‎∴HG∥BC，‎ 5‎ ‎∴△AHG∽△ABC.‎ ‎(2)证明：∵HG∥BC，‎ ‎∴△AHM∽△ABD，∴＝.‎ 由(1)可知△AHG∽△ABC，‎ ‎∴＝，∴＝.‎ ‎(3)设HE＝x cm，则MD＝x cm，AM＝(30－x)cm，HG＝2x cm，‎ ‎∴＝，解得x＝12，即HE＝‎12 cm，‎ ‎∴HG＝‎24 cm.‎ ‎∴四边形EFGH的周长为(12＋24)×2＝72(cm)．‎ ‎14．小明的设计方案：设正方形BFED的边长为x m.‎ 由×BC×1.5＝1.5，解得BC＝2(m)．‎ 由DE∥AB，得△CDE∽△CBA，‎ 所以＝，即＝，解得x＝.‎ 小华的设计方案：设正方形DGFE的边长为y m，AC边上的高BH交DE于点M.‎ 由×BC×1.5＝1.5，解得BC＝2(m)．‎ 由勾股定理，得AC＝2.5 m，‎ 由·AC·BH＝1.5，得BH＝1.2(m)．‎ 因为DE∥AC，所以△BDE∽△BAC，‎ 所以＝，即＝，解得y＝.‎ 因为x＞y，所以x2＞y2.‎ 故采用小明设计的方案加工出的桌面的面积最大，符合要求．‎ 5‎