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- 2024-04-05 发布
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§6.2 等差数列及其前n项和
一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)
1．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8＝________.
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7＝________.
3．(2010·温州十校模拟)若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＋a10＝4，则S11的值为________．
4．(2010·盐城调研)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a8＋a11＝30，那么S13的值是 ______．
5．已知数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若是等差数列，则a11＝________.
6．(2010·辽宁)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.
9．(2010·徐州模拟)等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列 的前10项和为________．
二、解答题(本大题共3小题，共46分)
10．(14分)(1)在等差数列{an}中，若a3＝50，a5＝30，求a7；
(2)在等差数列{an}中，已知a15＝33，a61＝217，判断153是不是这个数列的项．如果是，是第几项？
11.(16分)已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn (p、q∈R，且p、q为常数)．
(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列；
(2)求证：对任意实数p和q，数列{an＋1－an}是等差数列．
12．(16分)(2010·北京东城区期末)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＝nan－ n(n－1) (n＝1,2,3，…)．
(1)求证：数列{an}为等差数列，并写出an关于n的表达式；
(2)若数列的前n项和为Tn，求满足Tn>的最小正整数n.
答案
1．32 2．49 3．22. 4．130 5．0 6．15 7.
8．24 9．75
10．解 (1)∵d＝＝＝－10，
∴a7＝a3＋(7－3)d＝50＋4×(－10)＝10，∴a7＝10.
(2)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵a15＝33，a61＝217，∴
解得a1＝－23，d＝4.
∴an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27.
令an＝153，即4n－27＝153，得n＝45∈N*，
∴153是所给数列的第45项．
11．(1)解 an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)
＝2pn＋p＋q，
要使{an}是等差数列，则2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，所以只有2p＝0，即p＝0.
故当p＝0，q∈R时，数列{an}是等差数列．
(2)证明 ∵an＋1－an＝2pn＋p＋q，
∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，
∴(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p为一个常数．
∴{an＋1－an}是等差数列．
12．(1)证明 当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－2(n－1)，
得an－an－1＝2 (n＝2,3,4，…)．
所以数列{an}是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列．
所以an＝2n－1.
(2)解 Tn＝＋＋…＋＋
＝＋＋＋…＋
＝[＋＋＋…＋]＝＝，
由Tn＝>，得n>，所以满足Tn>的最小正整数n为12.
