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- 2024-04-05 发布
微专题：教材P154数学活动——中点四边形
1．(2017·秦皇岛青龙县期末)阅读下面材料：
数学课上，老师让同学们解答课本中的习题：如图①，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是各边的中点，猜想四边形EFGH的形状并证明自己的猜想．
小丽在思考问题时，有如下思路：连接AC.
结合小丽的思路作答：
(1)若只改变图①中的四边形ABCD的形状(如图②)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由；
参考小丽思考问题方法，解决以下问题：
(2)如图②，在(1)的条件下，若连接AC，BD.
①当AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是菱形？写出结论并证明．
②当AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是正方形？直接写出结论．
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2．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
(1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，易知中点四边形EFGH是平行四边形；当四边形ABCD的对角线__________时，四边形EFGH是矩形；
(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状(不必证明)．
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参考答案与解析
1．解：(1)四边形EFGH还是平行四边形．理由如下：如图，连接AC.∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，同理：GH∥AC，GH＝AC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形．
①结论：当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形．理由如下：如图②中，由(1)得四边形EFGH是平行四边形．∵E，F是AB，BC的中点，∴EF＝AC，同理：EH＝BD，∵AC＝BD，∴EF＝EH，∴平行四边形EFGH是菱形．
②结论：当AC⊥BD且AC＝BD时，四边形EFGH是正方形．
2.解：(1)相互垂直
(2) 四边形EFGH是菱形．证明如下：如图，连接AC，BD.∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，即∠APC＝∠BPD.在△APC和△BPD中，∴△APC≌△BPD，∴AC＝BD.∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF＝AC，FG＝BD，∴EF＝FG.∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．
(3)四边形EFGH是正方形． 解析：设AC与BD交于点O，AC与PD交于点M，AC与EH交于点N.∵△APC≌△BPD，∴∠ACP＝∠BDP.∵∠DMO＝∠CMP，∴∠COD＝∠CPD＝90°.∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴菱形EFGH是正方形．
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