2019年相阳教育“黉门云”高考等值试卷★预测卷（全国Ⅱ卷）数学（理） 3页

全国Ⅱ卷 数 学（理） 第 1页（共 6 页） 全国Ⅱ卷 数 学（理） 第 2页（共 6 页） 2019年相阳教育“黉门云”高考等值试卷★预测卷 理科数学（全国Ⅱ卷） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘 贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用 0．5 毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷 上作答，答案无效。 3．考试结束，请将试题卷、答题卡一并收回。 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知复数  1 2 3z i i   （其中i 是虚数单位），则 z 在复平面内对应点在（ ）． A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 2．已知集合   22 1 , 6 5 0A x B y y yx       ，则 =A B （ ）  A. 0,5  B. 0,5  C. 0,3  D. 0,3 3．今有一组实验数据如下： x 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 分别用下列函数模型来拟合变量 y 与 x 的相关关系，其中拟合效果最好的是（ ） A．  21 12y x  B． 1 2 logy x C． 2logy x D． 2 2.y x  4．《四元玉鉴》是元朝著名数学家朱世杰阐述多年研究成果的一部力著，是宋元数学集大成者。 全书共分 3 卷，24 门，288 问，书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关。其中有一首诗：“我 有一壶酒，携着游春走．遇店添一倍，逢友饮一斗．店友经三处，没了壶中酒．借问此壶中，当原 多少酒？”（“店友经三处”意思是，经过酒店三次，碰到朋友三次．）用程序框图表达如图所示，即 最终输出的 0x  （斗），则一开始输入的 x 的值为（ ） A． 3 4 B． 7 8 C．15 16 D． 31 32 5．已知向量 a ， b 满足 =3a ， =2 3b ，且   a a b ，则 a 在 b 方向上的投影为（ ） A．3 B． 3 C． 3 3 2  D． 3 3 2 6．实数 x y， 满足 2 2 2 0 2 y x x y x         ，则 z x y  的最大值是（ ） A．2 B．4 C． 2 2 D．8 7．给出下列 4 个命题： ①方程 2 2 18 4 x y a a    表示双曲线的一个充分不必要条件是 4a  ； ②命题 :p “存在 x0∈R，使得 2 0 0 1 0x x   ”的否定是“对任意的 x∈R，均有 2 1 0x x  ＜ ”； ③回归直线 ˆˆ ˆy a bx  ，恒过样本数据的中心 ,x y ； ④若直线 a 平行于平面 内的一条直线b ，则 a ∥ ． 其中真命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 8． △ ABC 的三内角 A，B，C 所对边长分别是 a，b，c，设向量 n＝( 3a＋c，sin B－sin A)，m＝(a ＋b，sin C)，若 m∥n，则角 B 的大小为( ) A． π 6 B． π 3 C． 5π 6 D．2π 3 全国Ⅱ卷 数 学（理） 第 3页（共 6 页） 全国Ⅱ卷 数 学（理） 第 4页（共 6 页） 9．下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量“优良”, 空气质量指数大于 200 表示空气“重度污染”,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该 市,并停留两天（于第二天晚上离开）．以下由统计图所做的推断中，不正确的是（ ） A．此人停留的 2 天空气质量都“优良”的概率为 4 13 B．此人到达当日空气“重度污染”的概率为 2 13 C．此人到达当日空气“优良”的条件下，次日空气“优良”的概率为 2 3 D．此人停留两日至少一天空气“优良”的概率为 7 13 10．函数 ( ) xef x x x   的图象大致是（ ） A B C D 11．正四面体 ABCD 的棱长为 4，E 为棱 BC 的中点，过 E 作其外接球的截面，则截面面积的最小 值为( ) A． 2π B． 4π C． 8π D．16π 12. 已知定义在 R 上的偶函数 ( )f x 满足 (1 ) (1 )f x f x   ，且当 0 1x  时， 21f x x （ ） ．若直线 y x a  与曲线 ( )y f x 恰有三个公共点，那么实数 a 的取值的集合为（ ） A． 5( +1 + ) Z4k k k ， （ ） B． 52 +1 + Z4k k k （ ，2 ）（ ） C． 5(2 1) Z4k k k  ，2 （ ） D． 5 1 Z4k k k  （ ， ）（ ） 第Ⅱ卷（13-21 为必做题，22-23 为选做题,共 90 分．） 二．填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在答题卡相应的 题号后的横线上．） 13．在 3 1( )2 nx x  的展开式中，只有第5 项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 。 14．设当 x  时，函数 ( ) sin 2cosf x x x  取得最大值，则 cos  ________。 15．一种酒杯是抛物线 2 4x y 绕 y 轴旋转而成的，将长为定值  的质地均匀的玻璃棒随意地放入 酒杯内（假设杯壁足够高，能没入玻璃棒），则玻璃棒的重心到杯底水平线的最小距离 d 关于棒长  的关系式  =d  。 16．在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 是 A1D1 的中点，点 P 在侧面 BCC1B1 上运动．现 有下列命题： ①若点 P 总保持 PA⊥BD，则动点 P 的轨迹是一条线段； ②若点 P 到点 A 的距离为 2 3 3 ，则动点 P 的轨迹是一段圆弧； ③若 P 满足∠PAC1=∠MAC1，则动点 P 的轨迹是一段抛物线； ④若 P 到直线 AD 与直线 CC1 的距离相等，则动点 P 的轨迹是一段抛物线； ⑤若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离比为 1：2，则动点 P 的轨迹是一段双曲线； 其中真命题是 ． （写出所有真命题的序号） 全国Ⅱ卷 数 学（理） 第 5页（共 6 页） 全国Ⅱ卷 数 学（理） 第 6页（共 6 页） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必做题，每个 试题考生都必修作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．(12 分)设数列 na 的前 n 项和为 nS ，点  *,n na S n N 在直线 2 1 0x y   上． （1）求证：数列 na 是等比数列，并求其通项公式； （2）设直线 nx a 与函数   2f x x 的图象交于点 nA ，与函数 2( ) logg x x 的图象交于点 nB ， 记 n n nb OA OB   （其中O 为坐标原点），求数列 nb 的前 n 项和 .nT 18．(12 分)本市摄影协会准备在 2019 年 10 月举办主题为“庆祖国 70 华诞——我们都是追梦人”摄影 图片展。通过平常人的镜头，记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼．摄影协会收到了 来自社会各界的大量作品, 打算从众多照片中选取 100 张照片展出,其参赛者年龄集中在[ 25 85 ]， 之 间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下： 0.005 0.020 25 35 45 55 65 75 85 频率/组距 年龄 0.015 0.025 0.030 0.035 0.010 （1）求这 100 位作者年龄的样本平均数 x 和样本方差 2s （同一组数据用该区间的中点值作代 表）； （2）由频率分布直方图可以认为，作者年龄 X 服从正态分布 2( , )N   ，其中  近似为样本平 均数 x ， 2 近似为样本方差 2s ． （i）利用该正态分布，求 (60 73.4)P X  ； 附： 4.13180  ，若 2~ ( , )X N   ，则 ( ) 0.6826P X        ， ( 2 2 ) 0.9544P X        ， ( 3 3 ) 0.9974P X        . （ii）摄影协会从年龄在[ 45 55 ]， 和[ 65 75 ]， 的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了 7 人参加 “讲述图片背后的故事”座谈会，现要从中选出 3 人作为代表发言，设这 3 位发言者的年龄落在区 间[ 45 55 ]， 的人数是 Y，求变量 Y 的分布列和数学期望． 19．(12 分)一个多面体的三视图和直观图如图所 示，其中正视图和俯视图均为矩形，侧视图为直 角三角形，M 是 AB 的中点． （1）求证：CM⊥平面 FDM； （2）若 N 为线段 FC 上一点，且 FN FC  ， 二面角 F DM N  的余弦值为 3 3 ，求  的值． 20．(12 分)已知直线 : 1l y kx  与曲线 :C 2 2 2 2 1x y a b   ( 0, 0)a b  交于不同的两点 ,A B ， O 为坐标 原点． （1）若 1,k  | | | |OA OB ，求证：曲线 C 是一个圆； （2）若曲线C 过（0,2）、（1,0），是否存在一定点Q ，使得 QA QB  为定值？若存在，求出定 点 Q 和定值；若不存在，请说明理由． 21．(12 分) 已知函数 2( ) 1 .xf x e x ax    （1）当 0x  时，若不等式   0f x  恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）求证： 0x  时， 2 ln 3sin 2.xe x x x   （二）选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分) 已知曲线 1 1 2 2 x tC y t      ： （t 为参数）；以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 6sin  ． （1）分别求曲线 1 2C C、 的直角坐标方程； （2）若曲线 1 2C C、 交于两点 A B， ， 点 P 是曲线 2C 上异于点 A B， 任意一点，求 △ PAB 的面积 S 的最大值． 23．[选修 4-5：不等式选讲](10 分) 已知函数 3 6f x x x   （ ） （1）求不等式 12f x （ ） 的解集； （2）对于正实数 , ,a b c 若不等式 1 2 3f x a b c   （ ） 对任意实数 x 恒成立，求 2 3a b c  的最小值．